Диссертация (1149874), страница 18

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 18)

Например,тот же результат получается в случае движения заряда в простейшей недиспергирующейизотропной среде. При этом потери энергии на излучение для точечного заряда становятсяконечными, если учесть частотную дисперсию среды.Однако в рассматриваемой ситуации наличие дисперсии не помогает, так как среда весьмаспецифична (частотная дисперсия сочетается с анизотропией и пространственной дисперсиейспецифического характера). Однако другой известный способ разрешения энергетическогопарадокса — учёт конечного размера пучка — позволяет дать разумную оценку потерь энергии.Покажем это.Рассмотрим линейный пучок с распределением плотности заряда (1.2.38).

На элементпучка длиной d  с зарядом qd  2 в точке  с со стороны остального пучка действует силаdF     qd E z    x 0 ,2y 0(2.2.76)где Ez проекция полного поля «прямоугольного» пучка с величиной полного заряда q иполудлиной  (2.2.36). Тогда полная работа поля над пучком на единицу длины пути равнаdqF  d  E z    x 0 .dz02 (2.2.77)y 0Из формулы (2.2.77), очевидно, следует то, что квазистатическое поле (которое нечётно по ) не вносит вклад в потери энергии. Поэтому далее будем рассматривать только волновуючасть компоненты Ez , определяемую выражением (2.2.71).

После подстановки (2.2.71) в(2.2.77) и некоторых преобразований, получаем90dq 2 2dz022k p0z K1  z   1dz.z(2.2.78)Подынтегральное выражение имеет первообразную  K0  z   ln  z  . Чтобы вычислить еёзначение на нижнем пределе, представим результат вычисления интеграла (2.2.78) в виде d  q 2q 2 2 K 0 2k p   ln 2k p   2 lim   K 0 dz0 22 0  ln   (2.2.79)и воспользуемся разложением функции K 0  z  в окрестности нуля [139]:z2 z(2.2.80)   1  ln  ,4 2где   0.577 — постоянная Эйлера. Очевидно, что предел в выражении (2.2.79) равенK 0  z  ~  ln z    ln 2 константе   ln 2 . Таким образом, выражение для силы радиационного торможения пучка, тоесть потерь энергии на единице длины пути, принимает вид:  d  q 2K 0 2k p   ln k p    .(2.2.81)dz0 22Данное выражение конечно и положительно для любых   0 .

Как видим, потери на единицудлины пути прямо пропорциональны скорости пучка, как это было и для случая движениявдоль планарной структуры из проводников (1.2.48). Это утверждение может быть обобщено напучки с произвольным продольным распределением плотности заряда из-за того, чтокомпонента волнового поля Ez (2.2.63) пропорциональна первой степени  .Еслимырассмотримоченькороткиепучки,длякоторыхp  c  0 ,то,воспользовавшись следующим членом в разложении (2.2.80) функции K 0  z  , получим2 2d  q k p   1  ln (2.2.82)    1 .dz02   k p  Из этой формулы видно, что если источник хотя бы немного «размыт» в пространстве вдольоси своего движения, то его полные потери энергии в рассматриваемой модельной средестановятся конечными. Формально для данной модели среды потери стремятся к бесконечностилогарифмическим образом при стремлении длины пучка к нулю.

Аналогичная особенность, какбыло отмечено, имеется в волновом поле точечного заряда.Подчеркнём, что во всей данной работе, как и в подавляющем большинстве работ поизлучению частиц в средах и структурах, предполагалось, что скорость частиц постоянна.Данное допущение может быть оправдано, к примеру, тем, что на частицы пучка, наряду ссилой радиационного торможения, действует ускоряющая сила, компенсирующая потериэнергии на излучение.

Такая ситуация имеет место в ускорителях заряженных частиц. С другойстороны, зачастую можно считать движение пучка равномерным и в отсутствие ускоряющейсилы, так как радиационное торможение оказывается невелико. Полученная оценка потерьэнергии на единицу длины пути позволяет оценить степень применимости моделиравномерного движения пучка в отсутствие внешних сил.Запишем выражение (2.2.81) для пучка из N частиц с зарядом e в видеd  e 2 N 2F,dz02291где F  K0 2k p   ln k p    .

Кинетическая энергия частиц пучка равнаK  Nmc 2    1 ,где   11  2 — Лоренц-фактор, m — масса покоя частицы.Приближение постоянной скорости движения оправдано на таких расстояниях, накоторых потери энергии малы по сравнению с её запасом. Отношение потерь на единицу длиныпути к кинетической энергии частиц пучка равноe2N FdK 2.dz02c m    1 2Для пучка электронов получаемN FdK  1.4 1013 .dz0   1 2Величина F зависит от отношения длины пучка  к периоду метаматериала a (т.к. k pa 1 ).При этом с ростом отношения  a величина F меняется слабо: в пределах от 1 до 8 дляпучков, чья длина не более чем на три порядка превышает период структуры.

Тогда, длянанокулонных пучков ( N ~ 1010 ) длинной 1 см, относительные потери (при F  10 ) непревышают величинуd.K ~ 102 dz0   1Можно сделать вывод, что наноулонные релятивистские пучки электронов должныпробегать, по меньшей мере, расстояние, существенно превышающее их длину, почти неиспытывая радиационного торможения. А пучки с Лоренц-фактором  1 не испытаютзначимых потерь энергии ни на каких разумных для метаматериальных структур дистанциях.Это тем более верно для пучков тяжёлых частиц.

Тем самым, представляется вполнеоправданным использование допущения о постоянстве скорости частиц пучка при расчёте егоэлектромагнитного излучения даже в том случае, когда нет внешних сил, компенсирующихтормозящее действие излучения. Отметим также, что полученные оценки значения потериэнергии примерно на порядок превышают аналогичные оценки для пучка, движущегося вдольпланарной периодической проволочной структуры (параграф 1.2.4).922.3. Поле пучка заряженныхпроволочного метаматериалачастиц,движущегосявдольграницыВ предыдущей главе было получено поле заряда, движущегося в безграничном проволочномметаматериале.

Однако при этом сложно избежать столкновений частиц с проводникамиструктуры, что может привести к разрушению пучка. Поэтому логично рассмотретьэлектромагнитное поле пучка частиц, движущегося в вакууме вдоль границы с метаматериаломна некотором расстоянии от неё, и проанализировать, насколько изменятся при этомхарактеристики излучения по сравнению со случаем движения в неограниченномметаматериале.

Направление движения, как и ранее, предполагается перпендикулярнымпроводникам.Рис. 2.11. Движение заряда вдоль границы с проволочным метаматериалом.2.3.1. Решение задачи о поле тонкого пучкаРассмотрим задачу о поле пучка заряженных частиц, движущегося равномерно и прямолинейнов вакууме на расстоянии a0 от плоской границы проволочного метаматериала ортогональнопроводам. Ось z направлена вдоль скорости движения пучка, ось x — вдоль проводов (награнице x  0 ). Метаматериал с тензором диэлектрической проницаемости (2.1.2) заполняетполупространство x  0 , а область x  0 является вакуумной. Как и в предыдущих разделах,будем считать, что пучок имеет бесконечно малые поперечные размеры и произвольныйпродольный профиль     .

В этом случае, если скорость пучка V  cez , то плотность токапучка определяется какj  V   x  a0    y      ez .(2.3.1)Сшивание решений уравнений Максвелла в вакууме и среде требует примененияграничных условий. Стандартные граничные условия, означающие отсутствие на границеповерхностных токов (как электрических, так и «магнитных»), имеют видE y, zH y,zx 0 E y, zx 0 H y,z93x 0,x 0(2.3.2).Как мы видели, в метаматериале могут возбуждаться волны трёх типов: обыкновенная,«необыкновенная изотропная» и «необыкновенная анизотропная».

Вместе с двумя волнамиразных поляризаций, которые могут отражаться от границы в вакуум, мы имеем совокупностьпяти волн, которые, в принципе, могут уходить от границы раздела. Поэтому четырёх условий(2.3.2) недостаточно для получения единственного решения. Такая ситуация типична дляграничных задач в случае сред, обладающих пространственной дисперсией [140].

Особенночасто подобного рода проблемы анализировались для ограниченной плазмы спространственной дисперсией [141 – 144]. Такие задачи решались также в случае ограниченнойдвижущейся среды, обладающей «конвективной» пространственной дисперсией [143] и в рядедругих ситуаций.Известным способом обеспечить единственность решения задачи в такой ситуацииявляется применение так называемых «дополнительных граничных условий» (ДГУ) [140–142].Воспользуемся дополнительным граничным условием непрерывности нормальной к границекомпоненты электрического поля(2.3.3)Ex x0  Ex x0 ,которое получено для рассматриваемого проволочного метаматериала в работе [145]. На«микроскопическом» уровне это условие объяснятся практическим отсутствием тока на торцахпроводов на границе раздела вследствие их малой толщины.Будем решать задачу, представляя падающее, отражённое и проходящее поля в видеразложений по плоским волнам, то есть в виде обратных интегралов Фурье по частоте  икомпонентам волнового вектора k y и k z .

При этом для построения физически корректногорешения мы должны учитывать требование затухания уходящих от границы волн за счётдиссипации в среде. Далее мы будем рассматривать случай исчезающе малой диссипации.Установить правила фиксации корней дисперсионного уравнения позволяют выражения(2.2.19), полученные при учёте конечных потерь в среде. Как видим из них, для двух типовнеобыкновенных волн (названных «изотропной» и «анизотропной») следует, что2k xei k02  k 2p  k y2  k z2  i  0  sgn(),2k xea k02 i  0  sgn().(2.3.4)Извлекая квадратный корень, имеем для каждой из волн две возможности:2 k xei  k02  k 2p  k y2  k z2 1  i  0  sgn() ,2k xeak021  i  0  sgn().(2.3.5)Радикалы в правых частях (2.3.5) определим в области их вещественности как нечётныефункции частоты, положительные на положительной полуоси, а в области мнимости (чтовозможно только в первой из этих формул) будем считать, что радикал имеет положительнуюмнимую часть: ...

Характеристики

Список файлов диссертации