Диссертация (1149847), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Координаты точекбифуркаций системы на фазовых плоскостях(ε, I) и (ε, φ). Δ = 0,0. Оставшиесяпараметры системы соответствуют приведенным в таблице 4.БифуркацияТочка бифуркации (BP)Бифуркация Хопфа (H)Бифуркация-cедло (LP1)Бифуркация-седло (LP2)ε, отн. ед.4,1451332,5857232,9164908,704911I, отн. ед.0,5005300,1039910,5890990,226745φ, рад0,9692551,2703750,1775941,472144Здесь особое внимание следует уделить точке бифуркации – седло (LP1).Топология фазового пространства в окрестности данной точки играет ключевуюроль при генерации возбужденных колебаний I рода.Рассмотримдалееповедениесистемыприналичиистохастичнойкомпоненты более детально.

При этом интенсивность инжекции выберем такимобразом, чтобы в отсутствии шума система находилась в стационарномсостоянии, соответствующем на бифуркационной диаграмме (ε, I) какой-либоточке устойчивой ветви в окрестности бифуркации LP1 (см. рисунок 28).В качестве шума будет рассматриваться белый шум с равномернымраспределением и нулевым математическим ожиданием. В модель данный шумвводится в виде дополнительного слагаемого в уравнениях для амплитуды и фазыизлучения из основного энергетического состояния следующим образом:   dAggg dt  g  ne  nh  1  0.5  A    cos      ,dsingggeee     dt    g  ne  nh  1  0.5  2    g  ne  nh  1 A(20)где ξ – текущая реализация шумовой компоненты с равномерным распределением[-1; 1]; Ω – амплитуда шума.Амплитуда шума должна быть достаточной для того, чтобы системапотеряла устойчивость.

Последнее соответствует срыву с устойчивой ветви вокрестности LP1 и началу эволюции, представляющей собой последовательноепрохождениеряданеустойчивыхсостояний,возвращается в исходное устойчивое состояние.послекоторогосистема88На рисунках 30, 31 приведены характерные временные зависимостиинтенсивности излучения из основного и первого возбужденного состояний, атакже гистограммы периода следования импульсов излучения (см. рисунок 27),возникающих вследствие указанной выше эволюции. Кроме того, на данныхрисунках приведены графики для соответствующей плотности вероятности.Вероятность того, что длительность периода между импульсами составит Pвычислялась как отношение периодов данной длительности к общему числупериодов за время моделирования.

Оранжевые кривые на данных рисункахпредставляют собой экспоненциальную аппроксимацию данных. Выражения дляуказанных кривых, а также коэффициенты аппроксимации сведены в таблицу 6.89Рисунок 30 – Режим возбужденных колебаний I рода. Данные численногомоделирования. а) временная зависимость интенсивности излучения в режиме возбужденныхколебаний I рода; б) гистограмма длительности периода следования импульсов;в) соответствующая плотность вероятности.

Интенсивность инжекции ε = 3,09, величинарасстройки Δ = 0,1. Красным цветом показана интенсивность излучения из основногоэнергетического состояния, синим – из первого возбужденного энергетического состояния.Оранжевая кривая представляет собой аппроксимацию данных. Значения оставшихсяпараметров динамической системы соответствуют приведенным в таблице 4.90Рисунок 31 – Режим возбужденных колебаний I рода. Данные численногомоделирования.

а) временная зависимость интенсивности излучения в режиме возбужденныхколебаний I рода; б) гистограмма длительности периода следования импульсов;в) соответствующая плотность вероятности. Интенсивность инжекции ε = 3,1, величинарасстройки Δ = 0,1. Красным цветом показана интенсивность излучения из основногоэнергетического состояния, синим – из первого возбужденного энергетического состояния.Оранжевая кривая представляет собой аппроксимацию данных. Значения оставшихсяпараметров динамической системы соответствуют приведенным в таблице 4.91Таблица 6 – Кривые аппроксимации для плотности вероятности распределениядлительности периода следования импульсов. P  m  exp n  P P  m  exp n  P3,093,1Коэффициентыаппроксимацииmn1,10370,48660,04030,0378 P  n 2  P   exp 2 2   m 2  m 3,00,0417Уравнение аппроксимацииε1Полученныерезультатыпозволяютсделать0,7739следующиевыводы.Экспоненциальный характер плотности вероятности распределения длительностипериода следования импульсов свидетельствует, как и следовало ожидать, остохастической природе исследуемого режима [72].Шумприложенныйксистемевызываетпотерюустойчивостистационарного состояния, соответствующего некоторой точке на фазовойплоскости (ε, I), расположенной на устойчивой ветви в окрестности бифуркацииLP1 (см.

рисунок 28). После срыва с указанной ветви система претерпеваетэволюцию из ряда неустойчивых состояний с последующим возвращением наустойчивую ветвь. Последнее соответствует возникновению импульса вовременной зависимости интенсивности излучения из первого возбужденногоэнергетическогосостоянияирезкогоспадавовременнойзависимостиинтенсивности излучения из основного энергетического состояния.

Длительностьнахождения системы в устойчивом стационарном состоянии в присутствии шумаопределяет период следования указанных импульсов.Необходимо отметить, что в нашем случае наблюдается отклонение отэкспоненциального закона в области малых длительностей периода следованияимпульсов (см. рисунок 30). По-видимому, последнее связано с чрезвычайносложной топологией фазового пространства в окрестности бифуркации LP1.Сказанное подтверждается, тем что при достаточном удалении стационарногосостояния системы от указанной точки (увеличении ε) данное отклонениеотсутствует (см.

рисунок 31).92Также необходимо отметить, что по мере роста ε при постоянной амплитудешума наблюдается значительное снижение числа импульсов при значительномувеличении длительности периода их следования (см. рисунки 30, 31). Так приувеличении ε от 3,09 до 3,1 данные величины изменяются на порядок.Причина данных изменений заключается в том, что по мере роста значенияε увеличивается расстояние между устойчивой и неустойчивой ветвями,соединяющимися в точке бифуркации LP1 на фазовой плоскости (ε, I)(см.

рисунок 28). Очевидно, что при этом частота срыва с устойчивого состоянияпри заданной фиксированной амплитуде шума снижается, а длительность периодаследования импульсов увеличивается. При дальнейшем увеличении ε происходитполное подавление режима возбужденных колебаний I рода.На рисунке 32 приведены временные зависимости интенсивности излученияиз основного и первого возбужденного энергетических состояний, гистограммадлительности периода следования импульсов и соответствующая плотностьвероятности для случая, когда в отсутствии шума система находится вустойчивом колебательном состоянии.93Рисунок 32 – Режим возбужденных колебаний I рода. Данные численногомоделирования.

а) временная зависимость интенсивности излучения в устойчивомпериодическом режиме генерации; б) распределение длительности периода следованияимпульсов; в) соответствующая плотность вероятности. Интенсивность инжекцииε = 3,0, величина расстройки Δ = 0,1. Красным цветом показана интенсивность излучения изосновного энергетического состояния, синим – из первого возбужденного энергетическогосостояния.

Оранжевая кривая представляет собой аппроксимацию данных. Значенияоставшихся параметров динамической системы соответствуют приведенным в таблице 4.94Здесь наблюдается нормальное распределение, обусловленное тем, чтостохастическая компонента приводит лишь к случайному изменению длиныпредельного цикла, соответствующего указанному устойчивому состоянию.Максимум распределенияприходится на период следования импульсов,соответствующий периоду при отсутствии шумовой компоненты.Указанное изменение длины предельного цикла можно рассматривать какрезультат суммарного воздействия большого числа равномерно распределенныхслучайных величин за некоторый интервал времени.

Последнее, как известно,приводит к нормальному распределению.Таким образом, проведенный теоретический анализ выявил явныйстохастический характер наблюдаемого режима возбужденных колебаний I рода.Подобное воздействие шума на динамическую систему обусловлено топологиейфазового пространства системы, а именно наличием точки бифуркации типаседло (LP1) и соединяющимися в ней устойчивой и неустойчивой ветвями,которые соответствуют стационарным состояниям системы.4.2 Динамика изменения фазы в режиме возбужденных колебаний I родаДля исследования динамики изменения фазы излучения управляемоголазера, систему управляющий-управляемый лазеры удобно рассматривать каксистемусвязанныхвзаимодействияосцилляторов.осцилляторов.ТакимНаиболееобразом,компактныйвозникаети,вместезадачастем,эффективный подход к решению данной задачи основан на использованииуравнения Адлера [42].Уравнение Адлера представляет собой нелинейное дифференциальноеуравнение первого порядка, которое позволяет в зависимости от начальнойразности фаз и силы связи между осцилляторами определять динамику измененияразности фаз между ними.

Уравнение записывается следующим образом:d       sin   ,dt(21)95где Δφ – разность фаз между связанными осцилляторами; Δ – начальное значениерасстройки; l – коэффициент связи между осцилляторами, определяемый, в нашемслучае, интенсивностью инжекции.С точки зрения теории динамических систем данное уравнения задает потоквекторногополянакольцеcдвумяособымиточками:устойчивой – Δφ0 = arcsin(-Δ /μ) и неустойчивой Δφ1 = π - arcsin(Δ/ μ).На рисунке 33 рассмотрены возможные варианты динамики изменениявеличины Δφ в зависимости значения соотношения Δ/η.Рисунок 33 – Динамика изменения разности фаз связных осцилляторов для различныхзначений отношения Δ/ μ. Вырожденный случай η = 0 не рассматривается.

O – устойчиваястационарная точка; X – неустойчивая стационарная точка; φ – начальная фаза излученияуправляемого лазера; φi – фиксированная фаза излучения управляющего лазера.При значениях Δ/μ близких к единице может наблюдаться два типапереходного процесса (см.

Характеристики

Список файлов диссертации