Диссертация (1149840), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Óâåëè÷åíèå èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ïðèíÿòî ñâÿçûâàòü ñ èçíîñîì îáîðóäîâàíèÿ ïðè ïðîèçâîäñòâå.3. Ê òðåòüåé ãðóïïå îòíîñÿòñÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì δ < 1.  äàííîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè óáûâàåò. Ýòîò ôàêò îáû÷íî ñâÿçûâàþò ñ ðàííèìè îòêàçàìè îáðóäîâàíèÿ âïåðèîäå ïðèðàáîòêè.Ïåðåéä¼ì ê äàëüíåéøåìó ïîñòðîåíèþ ìîäåëè óïðàâëåíèÿ âðåäíûìè âûáðîñàìè. Ìíîæåñòâî âñåõ èãðîêîâ áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç N = {1, 2, .
. . , n}.Êàæäûé èãðîê ñòðåìèòñÿ ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîé îæèäàåìûé âûèãðûø, çàäàâàåìûé ñëåäóþùèì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì: TZKi (0, P0 , e1 , . . . , en ) = E (Ri (ei (τ )) − di P (τ ))dτ , i ∈ N.0Ïîëàãàåì, ÷òî èãðîêè ñòðîÿò ñâîè ñòðåòåãèè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíèè íå ïðåäïîëàãàþò èçìåíÿòü óïðàâëåíèÿ â çàâèñèìîñòè îò ôàçîâîé ïåðåìåííîé. Ïîýòîìó â äàííîì ïðèìåðå áóäåì èñêàòü îïòèìàëüíîå ðåøåíèå â êëàññåïðîãðàììíûõ ñòðàòåãèé ei (t), ãäå ei (t) êóñî÷íî-íåïðåðûâíûå ôóíêöèè âðåìåíè.322.2.Ôóíêöèÿ âûèãðûøàÂûèãðûø èãðîêà i ∈ N èìååò âèäZ∞ Z tKi (0, P0 , e1 , . . . , en ) =0δ(Ri (ei (τ )) − di P (τ ))dτ λδtδ−1 e−λt dt,(2.3)0ïðè óñëîâèè, ÷òî ñõîäèòñÿ èíòåãðàëZ∞ Z t (Ri (ei (τ )) − di P (τ ))dτ λδtδ−1 e−λtδ dt.0(2.4)0Äëÿ ïðîâåðêè ñóùåñòâîâàíèÿ èíòåãðàëà (2.4) ïðèâåä¼ì ñëåäóþùèå îöåíêèP (τ ) ≤ P0 +Pni=1 bi τ= P0 + Bτ , a Ri (ei (τ )) ≤b2i2,ãäå B =Pni=1 bi .Îöåíèì èíòåãðàë (2.4):Z∞ Z t (Ri (ei (τ )) − di P (τ ))dτ λδtδ−1 e−λtδ dt ≤00Z∞ Z t≤0 0Z∞ Z t≤0δ|(Ri (ei (τ )) − di P (τ ))| dτ λδtδ−1 e−λt dt ≤δ(|Ri (ei (τ ))| + |di P (τ )|)dτ λδtδ−1 e−λt dt ≤0Z∞ Z tZtδ≤ Ri (ei (τ ))dτ + di P (τ )dτ λδtδ−1 e−λt dt.00033Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ îöåíêó:Z∞ Z t (Ri (ei (τ )) − di P (τ ))dτ λδtδ−1 e−λtδ dt ≤00λδ≤2Z∞δb2i + di P0 tδ + di Btδ+1 e−λt dt.0Ïîñëåäíèé èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ àáñîëþòíî ñõîäÿùèìñÿ, à, ñëåäîâàòåëüíî[7], èíòåãðàë (2.4) ñõîäèòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè ëþáîì âûáîðå èãðîêàìè ñâîèõ äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé (êóñî÷íî-íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé, äëÿ êàæäîãî èãðîêà i, i ∈ N ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà [0, bi ]),âûðàæåíèå (2.3) îïðåäåëÿåò ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå âûèãðûøà èãðîêà i.Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ (1.9):ZTlim (F (T ) − 1)T →∞hi (t)dt = − lim e−λTδZT(Ri (ei (τ )) − di P (τ ))dτ.T →∞00Ïðèìåíÿÿ ïîëó÷åííûå ðàíåå îöåíêè, ïîëó÷èì: TZ 2ZTZT −λT δ ≤ e−λT δ bi dτ + di (P0 + Bτ )dτ =e(R(e(τ))−dP(τ))dτi ii200 2 0 2bBTδi= e−λTT + di P0 T +.22Çàìåòèì, ÷òîlim e−λTT →∞δb2iBT 2T + di P 0 T += 0,2234ñëåäîâàòåëüíî, âåðíî è ñëåäóþùåålim e−λTδZT(Ri (ei (τ )) − di P (τ ))dτ = 0.T →∞0Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (1.9) âûïîëíÿåòñÿ è âûèãðûø (2.3) ìîæåò áûòüçàïèñàí â âèäåZ∞δKi (0, P0 , e1 , . .
. , en ) = (Ri (ei (t)) − di P (t)) e−λt dt.(2.5)0Ïðè òàêîì ïðåäñòàâëåíèè èíòåãðàëüíîãî âûèãðûøà ðåøåíèå èãðû óïðîùàåòñÿ.2.3.Ðàâíîâåñèå ïî Íýøó êà÷åñòâå ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè â äàííîé íåàíòàãîíèñòè÷åñêîé äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå áóäåì èñïîëüçîâàòü ðàâíîâåñèå ïî Íýøó â ïðîãðàììíûõñòðàòåãèÿõ ( [34], [24]).Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé èãðå ñóùåñòâóåò íàáîð ñòðàòåãèé {e∗i (t) = ζi∗ (t, P0 ), i ∈ 1, n}, îáðàçóþùèé ðàâíîâåñèå ïî Íýøó.
Äðóãèìèñëîâàìè, ïîëàãàåì, ÷òî äëÿ âñåõ i è äëÿ âñåõ νi (t) ∈ [0; bi ] âûïîëíåíû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâàZ∞(Ri (e∗i (s))∗− di P (s)) eδ−λsZds ≥0∞δRi (νi (s)) − di P (s) e−λs ds,[i]0ãäå äëÿ t ∈ [0; ∞) âûïîëíåíî∗Ṗ (t) =nXe∗k (t), P ∗ (0) = P0 ;k=1Ṗ [i] (t) = e∗1 (t) + . . . + e∗i−1 (t) + νi (t) + e∗i+1 (t) + . . . + e∗n (t), P [i] (0) = P0 .35Äëÿ íàõîæäåíèÿ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé îïòèìàëüíîñòè áóäåì èñïîëüçîâàòü ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà [30]. Åñëè íàáîð ñòðàòåãèé {e∗i (t) =ζi∗ (t, P0 ), i ∈ 1, n}, îáðàçóåò ðàâíîâåñèå ïî Íýøó â ïðîãðàììíûõ ñòðàòåãèÿõ,òî ñóùåñòâóåò n ñîïðÿæ¼ííûõ ôóíêöèé Λi (t) : [0; ∞) 7→ R, i ∈ N , òàêèõ ÷òîâûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ:ζi∗ (t, P0 ) = e∗i (t) = arg max Hi (t, Λi (t), P ∗ (t), e∗1 (t),ei ∈[0;bi ].
. . , e∗i−1 (t), ei , e∗i+1 (t), . . . , e∗n (t)),Λ̇i (t) = −∂Hi (t, Λi (t), P ∗ , e∗1 (t), . . . , e∗n (t)).∗∂P(2.6)(2.7) äàííîì ñëó÷àå ãàìèëüòîíèàí èìååò âèä: nX1−λtδHi (t, Λi , P, e1 , . . . , en ) = ei bi − ei − di P e+ Λiei .2i=1 äàëüíåéøåì áóäåì îïóñêàòü àðãóìåíòû ôóíêöèé äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàïèñè è íàðÿäó ñ îáîçíà÷åíèÿìè ei (t), λi (t), Λ(t) áóäåì èñïîëüçîâàòü ei , λi , Λi .Äëÿ íàõîæäåíèÿ ìàêñèìóìà ãàìèëüòîíèàíà (2.6) âîñïîëüçóåìcÿ óñëîâèÿìè Êóíà-Òàêêåðà [1]. Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàëL(ei ) = −Hi + λ1 (−ei ) + λ2 (ei − bi ).Äëÿ îïòèìàëüíîñòè óïðàâëåíèÿ e∗i íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñëåäóþùèõ óñëîâèé:1.
Ñòàöèîíàðíîñòü: min Li (ei ) = Li (e∗i ).ei2. Äîïîëíÿþùàÿ íåæ¼ñòêîñòü: λ1 (−e∗i ) = 0; λ2 (e∗i − bi ) = 0.3. Íåîòðèöàòåëüíîñòü: λj ≥ 0, j = 1, 2.ÏîñêîëüêódL−λtδ= − (bi − ei )e+ Λi − λ1 + λ2 ,dei36òî èç óñëîâèÿ ñòàöèîíàðíîñòè ïîëó÷àåì:− (bi −δe∗i )e−λt+ Λi − λ1 + λ2 = 0.(2.8)Ðàññìîòðèì âîçìîæíûå ñëó÷àè:1. λ2 (t) 6= 0. Èç óñëîâèé íåîòðèöàòåëüíîñòè ñëåäóåò λ2 (t) > 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî óñëîâèÿì äîïîëíÿþùåé íåæ¼ñòêîñòè (e∗i (t) − bi ) = 0. Òàêèìîáðàçîì, e∗i (t) = bi è, êàê ñëåäóåò èç óñëîâèé äîïîëíÿþùåé íåæ¼ñòêîñòè, λ1 = 0. Òîãäà óðàâíåíèå (2.8) ïðèìåò âèä λ2 (t) = Λi (t). Êàê áóäåòïîêàçàíî äàëåå, Λi (t) ≤ 0, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ ïîëîæèòåëüíîñòè λ2 (t). Ïîýòîìó äàííîå ïðåäïîëîæåíèå íåâåðíî.2. λ2 (t) = 0.
 ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (2.8) ïðèìåò âèä− (bi −δe∗i (t))e−λt+ Λi (t) − λ1 (t) = 0.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî λ1 (t) 6= 0. Ïî óñëîâèþ äîïîëíÿþùåé íåæ¼ñòêîñòè e∗i (t)= 0.  ýòîì ñëó÷àå èç óðàâíåíèÿ (2.8) ïîëó÷àåì−λtδλ1 (t) = − bi e+ Λi (t) .  ñëó÷àå λ1 (t) = 0 èç óðàâíåíèÿ (2.8) ïîëó δ−λtδ∗÷àåì ei (t) = bi e+ Λi (t) eλt . Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî:bi + Λi (t)eλtδ , åñëè bi e−λtδ + Λi (t) ≥ 0,e∗i (t) =−λtδ0,åñëè bi e+ Λi (t) < 0.Ñîïðÿæ¼ííûå ïåðåìåííûå Λi (t) íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ (2.7).
Ïîëó÷àåìδäèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå Λ̇i (t) = di e−λt , ðåøåíèå êîòîðîãî èìååò âèä:Λi (t) = diRtδ−λsds + c. Çàäà÷à ðàññìàòðèâàåòñÿ íà áåñêîíå÷íîì âðåìåí0 eíîì ïðîìåæóòêå, ïîýòîìó óñëîâèå íà Λi (t) âûãëÿäèò ñëåäóþùèì îáðàçîì:lim Λi (t) = 0.t→∞37Ðàññìîòðèì äàëåå âîçìîæíûå âàðèàíòû ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà. Äëÿ íà÷àëà ïîëîæèì ïàðàìåòð δ = 2.  òàêîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (2.2)ïðèìåò âèä:2F (t) = 1 − e−λt ,t ≥ 0, λ > 0.Îòìåòèì, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå òàêîãî âèäà íîñèò íàçâàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ Ðýëåÿ. Ãðàôèê ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ Ðýëåÿ äëÿ ðàçëè÷íûõ ïàðàìòðîâ λïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 2.1Ðèñóíîê 2.1. Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ èãðû ïðè δ = 2.Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ Λi (t), èñïîëüçóÿ erf(·) òàê íàçûâàåìóþ ôóíêöèþ îøèáîê (àíãë.
error function):√√πΛi (t) = di √ erf( λ t) + c,2 λãäå erf(t) =√2πRt2e−s ds.0√πÒàê êàê lim erf(t) = 1, òî lim Λi (t) = di 2√λ + c = 0, è, ñëåäîâàòåëüíî,c=t→∞√π√−di 2 λ èt→∞√√πΛi (t) = di √ (erf( λ t) − 1).2 λ38Ïîëó÷àåì, ÷òî íåîáõîäèìîìó óñëîâèþ ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøóâ ïðîãðàììíûõ ñòðàòåãèÿõ óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî óïðàâëåíèÿ ñëåäóþùåãîâèäà:e∗i (t)√√π2√= bi + Λi (t)e = bi − di(1 − erf( λ t))eλt , i ∈ N,2 λt2(2.9)åñëè ýòî âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî, à â ïðîòèâíîì ñëó÷àå e∗i (t) = 0. Òàêèìîáðàçîì, ïðè ïðåäïîëîæåíèè î ñóùåñòâîâàíèè ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó â ïðîãðàììíûõ ñòðàòåãèÿõ âûðàæåíèå (2.9) çàäàåò ðàâíîâåñíûå âûáðîñû äëÿ èãðîêà i ∈ N .Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t = 0 âûðàæåíèå(2.9) ïîëîæèòåëüíî, à èìåííî√πbi > √ di ,2 λòî ðàâíîâåñíûå âðåäíûå âûáðîñû èãðîêà i îñòàþòñÿ ïîëîæèòåëüíûìè â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t ∈ [0, ∞).Êðîìå òîãî, ñ òå÷åíèåì âðåìåíè îïòèìàëüíûé îáú¼ì âðåäíûõ âûáðîñîâñòðåìèòñÿ ê ñâîåìó ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ bi (ðèñóíîê 2.2).Ñòîèò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî èãðîêè, íåñóùèå ìåíüøèå ðàñõîäû íà óñòðàíåíèå çàãðÿçíåíèé, â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ èìåþò áîëüøèå âðåäíûå âûáðîñûíåæåëè ÷åì èãðîêè, ðàñõîäû êîòîðûõ áîëüøå.
Òî åñòü, åñëè di < dj , òî â ýòîìñëó÷àå e∗i (t) > e∗j (t),∀t ∈ [0; ∞). Ýòî íàãëÿäíî îòðàæåíî íà ðèñóíêå 2.2, ãäåïðåäñòàâëåíû ðàâíîâåñíûå âûáðîñû èãðîêîâ, èìåþùèõ ðàçëè÷íóþ ñòîèìîñòüóñòðàíåíèÿ çàãðÿçíåíèé.39Ðèñóíîê 2.2. Îïòèìàëüíûå âûáðîñû e∗i (t) (bi = 20, λ = 1).Ïðè ýòîì îáùèé óðîâåíü çàãðÿçíåíèÿ P (t) áûñòðî âîçðàñòàåò, è èãðîêèíåñóò ñóùåñòâåííûå ðàñõîäû íà óñòðàíåíèå çàãðÿçíåíèé. Òàêèå äåéñòâèÿ èãðîêîâ ìîæíî îáúÿñíèòü, åñëè ïðèíÿòü âî âíèìàíèå ñëó÷àéíûé ìîìåíò îêîí÷àíèÿ èãðû. Âåðîÿòíîñòü å¼ îêîí÷àíèÿ áûñòðî âîçðàñòàåò ñ òå÷åíèåì âðåìåíè (ðèñóíîê 2.1), à, ñëåäîâàòåëüíî, èãðîêè ïðè âûáîðå îáúåìîâ âûáðîñîâ íàìîìåíò íà÷àëà èãðû ¾ìåíüøå¿ ó÷èòûâàþò âêëàä ìãíîâåííîãî âûèãðûøà âáîëåå ïîçäíèå ìîìåíòû âðåìåíè.Ìîæíî ãîâîðèòü î òîì, ÷òî èãðîêè äèñêîíòèðóþò ìãíîâåííûé âûèãðûø âíåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè âåðîÿòíîñòüþ îêîí÷àíèÿ èãðû ê ýòîìó ìîìåíòó.Òàêèì îáðàçîì, äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà ñ óïðîù¼ííûì ôóíêöèîíàëîìâûèãðûøà (2.5) â íåêîòîðîì ñìûñëå àíàëîãè÷íà äèôôåðåíöèàëüíûì èãðàì,â êîòîðûõ äèñêîíòèðîâàíèå â èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëàõ âûèãðûøà ïðîèçâîäèòñÿ ñ íåïîñòîÿííîé ñòàâêîé (àíãë.
non-constant discount rate [47, 51]),íàïðèìåð, ñ ïîìîùüþ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ôóíêöèé äèñêîíòèðîâàíèÿ (àíãë.hyperbolic discount functions [57]).40Äàëåå ðàññìîòðèì åùå îäèí ÷àñòíûé ñëó÷àé ðàñïðåäåëåíèÿ Âåéáóëëà. Íàýòîò ðàç ïîëîæèì ïàðàìåòð δ = 21 .  òàêîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ(2.2) áóäåò èìåòü âèä:√−λ tF (t) = 1 − e,t ≥ 0, λ > 0.(2.10)Ãðàôèê ôóíêöèé ðàñïðåäåëåíèÿ (2.10) äëÿ ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ λ ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå 2.3.Ðèñóíîê 2.3.
Ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ èãðû ïðè δ = 12 .Ìîæíî îòìåòèòü, ÷òî âåðîÿòíîñü îêîí÷àíèÿ èãðû ê îïðåäåë¼ííîìó ìîìåíòóâðåìåíè â ñëó÷àå δ =12âîçðàñòàåò ãîðàçäî ìåäëåííåå, ÷åì â ñëó÷àå δ = 2.Äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ (2.10) óäà¼òñÿ âû÷èñëèòü èíòåãðàë äëÿ îïðåäåëåíèÿΛi (t): 2 −λ√seλ√s − eλ√s t + c.Λi (t) = diλ20Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ñëó÷àþ íàõîäèì çíà÷åíèå êîíñòàíòû c è ïîëó÷àåìΛi (t) = −√ −λ √t2di(1+λt)e.λ241Òàêèì îáðàçîì, íàéäåííûå ðàâíîâåñíûå ñòðàòåãèè èìåþò ñëåäóþùèé âèä:e∗i (t) = bi −√2di(1+λt),λ2i ∈ N,(2.11)åñëè ýòî âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî, à â ïðîòèâíîì ñëó÷àå e∗i (t) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
