Диссертация (1149840), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Ïðîâîäèòñÿ ñðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ â èãðå â íîâîé ïîñòàíîâêå è ðàâíîâåñèÿ â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå ñî ñëó÷àéíûì ìîìåíòîì îêîí÷àíèÿ â îáùåïðèíÿòîé ïîñòàíîâêå. çàêëþ÷åíèè ïðèâîäÿòñÿ îñíîâíûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â ðàáîòå.14 äèññåðòàöèîííîé ðàáîòå èñïîëüçîâàíà äâîéíàÿ íóìåðàöèÿ ôîðìóë. Ïåðâàÿ öèôðà îçíà÷àåò íîìåð ãëàâû, âòîðàÿ íîìåð ôîðìóëû â ãëàâå. Äëÿ òåîðåì, ëåìì, óòâåðæäåíèé, çàìå÷àíèé è ñëåäñòâèé èñïîëüçóåòñÿ äâîéíàÿ íóìåðàöèÿ. Ïåðâàÿ öèôðà îçíà÷àåò íîìåð ãëàâû, âòîðàÿ íîìåð â ãëàâå. Ïàðàãðàôû èìåþò äâîéíóþ íóìåðàöèþ, ãäå ïåðâàÿ öèôðà îçíà÷àåò íîìåð ãëàâû, àâòîðàÿ íîìåð ïàðàãðàôà â ãëàâå.
Ïîäïàðàãðàôû èìåþò òðîéíóþ íóìåðàöèþ,ãäå ïåðâàÿ öèôðà îçíà÷àåò íîìåð ãëàâû, âòîðàÿ íîìåð ïàðàãðàôà â ãëàâå,òðåòüÿ íîìåð ïîäïàðàãðàôà â ïàðàãðàôå. Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ïðèâåäåí âàëôàâèòíîì ïîðÿäêå.15Ãëàâà 1ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÛÅ ÈÃÐÛ ÑÎ ÑËÓ×ÀÉÍÎÉÏÐÎÄÎËÆÈÒÅËÜÍÎÑÒÜÞ. ÏÎÑÒÐÎÅÍÈÅÔÓÍÊÖÈÎÍÀËÀ ÂÛÈÃÐÛØÀ1.1.Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíóþ èãðó n ëèö Γ(x0 ) ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ T − t0 è íà÷àëüíûì ñîñòîÿíèåì x0 [25, 27].
Äèíàìèêà èãðû çàäà¼òñÿ ñèñòåìîé îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â âåêòîðíîéôîðìå:ẋ = φ(t, x, u1 , . . . , un ),(1.1)x(t0 ) = x0 ,ãäå φ(t, x, u1 , . . . , un ) âåêòîð-ôóíêöèÿ ñ êîìïîíåíòàìè:φ1 (t, x, u1 , . . . , un ), φ2 (t, x, u1 , . . .
, un ), . . . , φm (t, x, u1 , . . . , un ).Ôóíêöèè φj (t, x, u1 , . . . , un ),j = 1, . . . , m, îïðåäåëåíû ïðè x ∈ Rm èui ∈ Ui ⊆ compRl .Îäíèì èç èíòåðåñíûõ âîïðîñîâ òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ èãð ÿâëÿåòñÿâîïðîñ òî÷íîãî îïðåäåëåíèÿ ìíîæåñòâà ñòðàòåãèé èãðîêîâ. Îäíàêî â äàííîìñëó÷àå íàñ áóäåò áîëåå èíòåðåñîâàòü íå ñòðîãîå ðåøåíèå èãð, à ëèøü âûâîäóñëîâèé ïðèâåäåíèÿ ôóíêöèîíàëà âûèãðûøà èãðîêà ê áîëåå ïðîñòîé ôîðìå.Ïîýòîìó áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ çàäàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî äëÿ ëþáûõ äîïóñòèìûõ ñòðàòåãèé èãðîêîâ ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííîå íåïðåðûâíîå, ïî êðàéíåé ìåðå êóñî÷íî-äèôôåðåíöèðóåìîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1.1), ïðîäîëæèìîå íà [t0 , ∞).Èãðà íà÷èíàåòñÿ â ìîìåíò t0 èç ñîñòîÿíèÿ x0 , îäíàêî ìîìåíò åå îêîí-16÷àíèÿ íå ôèêñèðîâàí çàðàíåå, à ÿâëÿåòñÿ ðåàëèçàöèåé íåêîòîðîé ñëó÷àéíîéâåëè÷èíû T .
Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî äëÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû T çàäàíà ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ F (t), êîòîðàÿ îïðåäåëåíà ïðè t ∈ [t0 , ∞) è óäîâëåòâîðÿåòóñëîâèþ íîðìèðîâêè:Z∞dF (t) = 1.t0Ôóíêöèþ ïëîòíîñòè âûèãðûøà (ôóíêöèþ ïîëåçíîñòè) èãðîêà i â ìîìåíò âðåìåíè τ , τ ∈ [t0 , ∞) áóäåì îáîçíà÷àòü êàê hi (τ, x(τ ), u1 , . . . , un ).Áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ïðè ëþáîì âîçìîæíîì âûáîðå ñòðàòåãèé èãðîêàìè ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âûèãðûøà èãðîêà i ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé êóñî÷íîíåïðåðûâíîé ôóíêöèåé âðåìåíè τ (êóñî÷íàÿ íåïðåðûâíîñòü ïîíèìàåòñÿ âòîì ñìûñëå, ÷òî íà êàæäîì îòðåçêå [t0 , t] ôóíêöèÿ hi (τ, x(τ ), u1 , . . . , un ) ìîæåò èìåòü ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî ðàçðûâîâ ïåðâîãî ðîäà), äëÿ êðàòêîñòè áóäåì îáîçíà÷àòü ôóíêöèþ ïëîòíîñòè âûèãðûøà hi (τ ).
Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ôóíêöèè hi (τ ) ÿâëÿþòñÿ èíòåãðèðóåìûìè ïî Ðèìàíó íà ëþáîìîòðåçêå [t0 , t], ò. å. äëÿ êàæäîãî t ∈ [t0 , ∞) ñóùåñòâóåò èíòåãðàëRtt0hi (τ )dτ .Öåëüþ êàæäîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìèçàöèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ñâîåãî âûèãðûøà TZKi (t0 , x0 , u1 , . . . , un ) = E hi (τ )dτ ,i = 1, .
. . , n,t0êîòîðîå çàäà¼òñÿ â âèäå èíòåãðàëà Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà [13]:Z∞ Z tKi (t0 , x0 , u1 , . . . , un ) =hi (τ )dτ dF (t),i = 1, . . . , n.(1.2)t0 t0Äàëåå ïîä âûèãðûøåì èãðîêà i áóäåò ïîíèìàòü èìåííî åãî ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå (1.2).Ðåøåíèå èãðû ñ ôóíêöèîíàëîì âûèãðûøà â âèäå ïîâòîðíîãî èíòåãðàëà17(1.2) ìîæåò ïðåäñòàâëÿòü íåêîòîðóþ òåõíè÷åñêóþ òðóäíîñòü, ïîýòîìó åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàåò âîïðîñ î âîçìîæíîñòè åãî óïðîùåíèÿ.1.2.1.2.1.Ïðåîáðàçîâàíèå ôóíêöèîíàëà âûèãðûøà ê óäîáíîìó âèäóÑëó÷àé íåîòðèöàòåëüíîé ôóíêöèè ïëîòíîñòè âûèãðûøàÏðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè ëþáîì âûáîðå ñòðàòåãèé èãðîêàìè ïëîòíîñòü âûèãðûøà èãðîêà i óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íåîòðèöàòåëüíîñòè:hi (τ, x(τ ), u1 , .
. . , un ) ≥ 0, ∀τ ∈ [t0 , ∞).(1.3)Îãðàíè÷èâ òàêèì îáðàçîì ìíîæåñòâî ðàññìàòðèâàåìûõ ôóíêöèé ïëîòíîñòè âûèãðûøà, ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 1.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âûèãðûøà hi (t), i = 1, . . . , n óäî-âëåòâîðÿåò óñëîâèþ íåîòðèöàòåëüíîñòè ∀t ∈ [t0 , ∞) è ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé êóñî÷íîíåïðåðûâíîé ôóíêöèåé âðåìåíè t. Òîãäà âûèãðûø èãðîêà i(1.2) ïðåäñòàâèì â óïðîù¼ííîé ôîðìå:Z∞hi (τ )(1 − F (τ ))dτ,Ki (t0 , x0 , u1 , . .
. , un ) =i = 1, . . . , n.(1.4)t0Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A ⊂ [t0 , ∞) × [t0 , ∞), çàäàííîåñëåäóþùèì îáðàçîì:A = {(t, τ )|t ∈ [t0 , ∞), τ ∈ [t0 , t]} .Äëÿ ñå÷åíèé ìíîæåñòâà A ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ (ðèñóíîê 1.1)At = {τ |(t, τ ) ∈ A} ,Aτ = {t|(t, τ ) ∈ A} .18Ðèñóíîê 1.1. Ñå÷åíèÿ ìíîæåñòâà A.Íà ïîëóïðÿìîé [t0 , ∞) ðàññìîòðèì ìåðó Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà µF , îòâå÷àþùóþ ôóíêöèè F (t) [13], à òàêæå îäíîìåðíóþ ìåðó Ëåáåãà µτ . Ðàâåíñòâî (1.2)â ââåä¼ííûõ îáîçíà÷åíèÿõ ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:ZZKi (t0 , x0 , u1 , .
. . , un ) =hi (τ )dµτ dµF ,[t0 ,∞]i = 1, . . . , n.(1.5)AtÏðè ñäåëàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèÿõ ôóíêöèÿ hi (τ ) èìååò íå áîëåå ÷åìñ÷åòíîå ìíîæåñòâî òî÷åê ðàçðûâà E ⊂ [t0 , ∞). Òàê êàê µτ (E) = 0, à ñóæåíèå ôóíêöèè hi (τ ) íà ìíîæåñòâî [t0 , ∞)\E åñòü íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, òîôóíêöèÿ hi (τ ) èçìåðèìà ïî Ëåáåãó [21]. Íî òîãäà è ôóíêöèÿ h̃i (τ, t) = hi (τ ),îïðåäåë¼ííàÿ íà ìíîæåñòâå A, èçìåðèìà íà í¼ì ¾êàê ôóíêöèÿ äâóõ ïåðåìåííûõ¿.
 ýòîì ñëó÷àå ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ (1.3) ñïðàâåäëèâà òåîðåìàÒîíåëëè [21]:19ZZZhi (τ )dµτ dµF =At[t0 ,∞]Zhi (τ )dµF dµτ ,i = 1, . . . , n.(1.6)Aτ[t0 ,∞]Ïðåîáðàçóåì äàëåå ïðàâóþ ÷àñòü ïîëó÷åííîãî ðàâåíñòâà:ZZhi (τ )dµF dµτ =[t0 ,∞]ZAτ[ hi (τ )µF (Aτ )] dµτ ,i = 1, . . . , n.[t0 ,∞] ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåìZ∞Zhi (τ )(1 − F (τ ))dτ,[ hi (τ )µF (Aτ )] dµτ =i = 1, . . . , n.t0[t0 ,∞]Ýòî ïðèâîäèò íàñ ê ðàâåíñòâóZhi (τ )(1 − F (τ ))dτ,hi (τ )dµτ dµF =[t0 ,∞]Z∞Zi = 1, . . . , n,t0Atêîòîðîå ñîâìåñòíî ñ âûðàæåíèåì (1.5) è ïðèâîäèò íàñ ê èñêîìîìó ïðåäñòàâëåíèþ (1.4).Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî èíòåãðàëû â (1.2) è (1.4) êîíå÷íû èëè áåñêîíå÷íû îäíîâðåìåííî.
Ïîýòîìó, åñëè äëÿ ëþáîãî íàáîðà ñòðàòåãèé u1 , . . . , un ôóíêöèÿhi (τ, x(τ ), u1 , . . . , un ) = hi (τ ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1.3), òî ïðè ðåøåíèèèãðû â êà÷åñòâå èíòåãðàëüíîãî âûèãðûøà èãðîêà i óäîáíåå èñïîëüçîâàòü âûðàæåíèå (1.4).Ñëåäñòâèå 1.1. Ïóñòü ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âûèãðûøà hi (t), i = 1, .
. . , níåïîëîæèòåëüíà ∀t∈[t0 , ∞) è ÿâëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé êóñî÷íîíåïðåðûâíîé ôóíêöèåé âðåìåíè t. Òîãäà îæèäàåìûé âûèãðûø èãðîêà i (1.2)20ïðåäñòàâèì â âèäå (1.4).Äîêàçàòåëüñòâî. Äîñòàòî÷íî â êà÷åñòâå ôóíêöèè ïëîòíîñòè âûèãðûøàèãðîêà i ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ gi (τ ) = −hi (τ ) è ïðèìåíèòü òåîðåìó 1.1. Îñòàåòñÿ òîëüêî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñâîéñòâîì îäíîðîäíîñòè èíòåãðàëà è ïîëó÷èòüòðåáóåìîå ðàâåíñòâî.Çàìå÷àíèå. Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû è ñëåäñòâèÿ ñóùåñòâåííûìèóñëîâèÿìè áûëè ëèøü èçìåðèìîñòü ôóíêöèè hi (τ ) ïî Ëåáåãó íà ìíîæåñòâå[t0 , ∞) è åå íåîòðèöàòåëüíîñòü (íåïîëîæèòåëüíîñòü) íà äàííîì ìíîæåñòâå.Ïîýòîìó äîêàçàòåëüñòâî ëåãêî ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî, åñëè çàìåíèòü ïðåäïîëîæåíèå î êóñî÷íîé íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè hi (τ ) ïðåäïîëîæåíèåì, íàïðèìåð, îá èçìåðèìîñòè äàííîé ôóíêöèè ïî Ëåáåãó è åå îãðàíè÷åííîñòè íàëþáîì îòðåçêå [t0 , t], ∀t ∈ (t0 , ∞).1.2.2.Îáùèé ñëó÷àéÏóñòü òåïåðü íà ôóíêöèþ ïëîòíîñòè âûèãðûøà hi íå íàêëàäûâàåòñÿ òðåáîâàíèå ñîõðàíåíèÿ çíàêà (íåîòðèöàòåëüíîñòè èëè íåïîëîæèòåëüíîñòè).
Âäàííîì ïóíêòå áóäåì ðàññìàòðèâàòü èíòåãðàëû â ïðàâîé ÷àñòè (1.2) êàê èíòåãðàëû Ðèìàíà (â òîì ÷èñëå è êàê íåñîáñòâåííûå èíòåãðàëû Ðèìàíà). Ïðèòàêîì ðàññìîòðåíèè ïðàâàÿ ÷àñòü (1.2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îæèäàåìûé âûèãðûø èãðîêà i â ñëó÷àå àáñîëþòíîé ñõîäèìîñòè âíåøíåãî èíòåãðàëà. Èíûìèñëîâàìè, äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé â (1.2) íåîáõîäèìî èäîñòàòî÷íî, ÷òîáû ñëåäóþùèå èíòåãðàëû ñóùåñòâîâàëè â ñìûñëå íåñîáñòâåííûõ èíòåãðàëîâ Ðèìàíà:Z∞ Z t hi (τ )dτ dF (t) < +∞,t0i = 1, . . . , n.(1.7)t0Îáîçíà÷èì ÷åðåç Hi (t) =Rtt0hi (τ )dτ . Òàê êàê ôóíêöèè hi (t) ïðåä-21ïîëàãàþòñÿ êóñî÷íîíåïðåðûâíûìè, òî Hi (t) íåïðåðûâíû è êóñî÷íîäèôôåðåíöèðóåìû.Òàêæå áóäåì ïðåäïîëàãàòü ñóùåñòâîâàíèå íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ èãðû f (t) = F 0 (t) íà âñåì ìíîæåñòâå [t0 , ∞).Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé (1.7) îæèäàåìûå âûèãðûøè çàäàþòñÿ ñëåäóþùèìîáðàçîì:ZTKi (t0 , x0 , u1 , . .
. , un ) = limHi (t)dF (t),T →∞i = 1, . . . , n.(1.8)t0Òåîðåìà 1.2. Ïóñòü ôóíêöèÿ ïëîòíîñòè âûèãðûøà hi (t), i = 1, . . . , n ÿâ-ëÿåòñÿ îãðàíè÷åííîé êóñî÷íîíåïðåðûâíîé ôóíêöèåé âðåìåíè t, òîãäà ïðèâûïîëíåíèè óñëîâèé (1.7) îæèäàåìûé âûèãðûø èãðîêà i ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå (1.4), åñëèZTlim (F (T ) − 1)(1.9)hi (t)dt = 0.T →∞t0Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì îòäåëüíî èíòåãðàë â (1.8), ðàçáèâ åãî íàñóììó èíòåãðàëîâ ïî îòðåçêàì íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèè hi (t):ZTθNT Zk+1XHi (t)dF (t) =Hi (t)dF (t),t0k=0 θk(1.10)ãäå θ0 = t0 , θNT +1 = T , à θj , j = 1, . .
. , NT òî÷êè ðàçðûâà ôóíêöèè hi (t) íàèíòåðâàëå (t0 , T ). Íà êàæäîì èíòåðâàëå èíòåãðèðîâàíèÿ [θk , θk+1 ] âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷àñòÿì:NTXθk+1θk+1ZZNTXHi (θk+1 )F (θk+1 ) − Hi (θk )F (θk ) −Hi (t)dF (t) =hi (t)F (t)dt .k=0 θkk=0θk22Ïîäñòàâèì ýòî ïðåäñòàâëåíèå â ðàâåíñòâî (1.10) è ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì:ZTZTHi (t)dF (t) = Hi (T )F (T ) −t0ZThi (t) [F (T ) − F (t)] dt,hi (t)F (t)dt =t0t0è äàëååZTZThi (t) [F (T ) − F (t)] dt =t0ZThi (t) [F (T ) − 1] dt +t0hi (t) [1 − F (t)] dt.t0Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî:ZTlimHi (t)dF (t) =T →∞t0ZTlim T →∞ZThi (t) [F (T ) − 1] dt +t0hi (t) [1 − F (t)] dt .(1.11)t0Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âûïîëíåíèå óñëîâèé (1.7) âëå÷¼ò çà ñîáîé ñóùåñòâîâàíèå ïðåäåëà â (1.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
