Диссертация (1149840), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Íàïðèìåð, â òåîðåòèêî-èãðîâûõ çàäà÷àõ ñîâìåñòíîé ðàçðàáîòêèðåñóðñîâ â êà÷åñòâå óïðàâëåíèÿ èãðîêîâ ÷àñòî ïðèíèìàþò ñêîðîñòü äîáû÷èðåñóðñà (extraction rate).  ýòîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî ïîëîæèòü u0i = 0, ÷òîñîîòâåòñòâóåò íóëåâîé ñêîðîñòè äîáû÷è ðåñóðñà èãðîêîì i.Îïðåäåëèâ óïðàâëåíèÿ u0i , â êà÷åñòâå ôóíêöèé φi â ïðàâîé ÷àñòè ñèñòåìû(3.34) ïðèìåìφ1 (t, x, u1 ) = φ(t, x, u1 , u02 ),φ2 (t, x, u2 ) = φ(t, x, u01 , u2 ).Ïî àíàëîãèè ñ èãðîâîé ïîñòàíîâêîé çàäà÷è áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî âûïîëíåíû âñå óñëîâèÿ, îáåñïå÷èâàþùèå ñóùåñòâîâàíèå è åäèíñòâåííîñòü çàäà÷è Êîøè (3.34) ïðè ëþáîì âûáîðå äîïóñòèìûõ óïðàâëåíèé èãðîêàìè.Ïåðåéä¼ì òåïåðü ê îïðåäåëåíèþ ìàêñèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà.
 êà÷åñòâå ôóíêöèè ïëîòíîñòè âûèãðûøà áóäåì èñïîëüçîâàòü ôóíêöèè gi (·), îïðåäåëÿåìûå ñëåäóþùèì îáðàçîìg1 (t, x, u1 ) = h1 (t, x, u1 , u02 ),g2 (t, x, u2 ) = h2 (t, x, u01 , u2 ).Òàê êàê çàäà÷à îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ Gi (t, x) ðàññìàòðèâàåòñÿ íàìèíà ïðîìåæóòêå âðåìåíè ñëó÷àéíîé äëèòåëüíîñòè, òî êàê è ðàíåå ïîä âûèãðûøåì èãðîêà, áóäåì ïîäðàçóìåâàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå èíòåãðàëüíîãîôóíêöèîíàëà åãî äîõîäà.
Ìàêñèìèçèðóåìûé ôóíêöèîíàë äëÿ èãðîêà i â çà-71äà÷å Gi (t, x), òàêèì îáðàçîì, èìååò âèä TZiJi (t, x, ui ) = E gi (τ, x, ui )dτ ,i = 1, 2.tÌàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå â ïðàâîé ÷àñòè ýòîãî âûðàæåíèÿ ìîæåò áûòüïðåäñòàâëåíî â âèäå äàííîãî èíòåãðàëà Ëåáåãà-Ñòèëòüåñà:Zω ZθJi (t, x, ui ) =[t]gi (τ, x, ui )dτ dFi (θ),ti = 1, 2,(3.35)t[t]ãäå Fi (θ) ïîëó÷åííàÿ ðàíåå ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿóïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà (3.12) äëÿ èãðîêà i ïðè óñëîâèè, ÷òî ê ìîìåíòó âðåìåíè t ïðîöåññ íå çàêîí÷èëñÿ.Ê ñîæàëåíèþ, êàê è ïðè èãðîâîé ïîñòàíîâêå, öåëåâîé ôóíêöèîíàë â âèäå(3.35) íåóäîáíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìàêñèìèçàöèè ñòàíäàðòíûìè ìåòîäàìè.Âûïîëíèì ïðåîáðàçîâàíèÿ ôóíêöèîíàëà (3.35) àíàëîãè÷íî ïðåîáðàçîâàíèÿì â òåîðåìå 3.1.
Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèè gi (·) îáëàäàþò âñåìè íåîáõîäèìûìè äëÿ ýòîãî ñâîéñòâàìè, òàê êàê ìû îïðåäåëèëè èõ ÷åðåç ôóíêöèè hi (·),êîòîðûå ýòèì ñâîéñòâàì óäîâëåòâîðÿëè. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì öåëåâîé ôóíêöèîíàë â âèäå:1Ji (t, x, ui ) =1 − Fi (t)Zωgi (τ, x, ui )(1 − Fi (τ ))dτ,i = 1, 2.(3.36)tÇàäà÷à Gi (t, x) ñâåëàñü ê ìàêñèìèçàöèè öåëåâîãî ôóíêöèîíàëà â âèäå (3.36)max Ji (t, x, ui ),uiïðè óñëîâèè, ÷òî ôàçîâàÿ ïåðåìåííàÿ x èçìåíÿåòñÿ â ñîîòâåñòâèè ñ ñèñòåìîé72îáûêíîâåíííûõ äèôôåðåíöèàëüíûé óðàâíåíèé (3.34).Äëÿ îïðåäåëåíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ â çàäà÷å Gi (t, x) èñïîëüçóåìïðèíöèï äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ, âïåðâûå ââåä¼ííûé Ð.
Áåëëìàíîì [35]. Óðàâíåíèå Áåëëìàíà äëÿ çàäà÷ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñî ñëó÷àéíî ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ áûëî ïîëó÷åíî â ðàáîòàõ [32, 38].Óïðàâëåíèå ui (t) = ψ i (t, x) îáðàçóåò îïòèìàëüíîå ðåøåíèå â çàäà÷åóïðàâëåíèÿ Gi (t, x), åñëè ñóùåñòâóåò íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ Wi (τ, x) (ôóíêöèÿ Áåëëìàíà), îïðåäåë¼ííàÿ íà [t, ω] × Rm 7→ R è óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ Áåëëìàíà:Wi (ω, x) = 0,"#∂Wi (τ, x)∂Wi (τ, x)−+ Wi (τ, x)λi (τ ) = maxφ(τ, x, ui ) + gi (t, x, ui ) =ui ∈Ui∂τ∂x=∂Wi (τ, x)φ(τ, x, ψ i (τ, x)) + gi (τ, x, ψ i (τ, x)),∂x(3.37)ãäå λi (t) ôóíêöèÿ èíòåíñèâíîñòè îòêàçîâ äëÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ óïðàâëÿåìîãî ïðîöåññà äëÿ èãðîêà i (3.30).Ñôîðìóëèðóåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñîñòîÿòåëüíîãî ïîçèöèîííîãî ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó.Òåîðåìà 3.4. Íàáîð ñòðàòåãèé {γi∗ (t, x) ∈ Ui , i = 1, 2} ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿ-òåëüíûì ïîçèöèîííûì ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó â èãðå Γ(t0 , x0 ), åñëè ñóùåñòâóþò íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè Vi (t, x) : [t0 , ω] × Rm 7→ R, i =1, 2, óäîâëåòâîðÿþùèå ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ:"hi ∂V (t, x)∂V1 (t, x)1V1 (t, x) λ1 (t) + λ2 (t) −= maxφ(t, x, u1 , γ2∗ (t, x))+u∈U∂t∂x11#+h1 (t, x, u1 , γ2∗ (t, x)) + W1 (t, x)λ2 (t) ;(3.38)73"hi ∂V (t, x)∂V2 (t, x)2V2 (t, x) λ1 (t) + λ2 (t) −= maxφ(t, x, γ1∗ (t, x), u2 )+u2 ∈U2∂t∂x#+h2 (t, x, γ1∗ (t, x), u2 ) + W2 (t, x)λ1 (t) ,(3.39)ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèV1 (ω, x) = 0,V2 (ω, x) = 0,ãäå Wi (t, x), i ∈ {1, 2} ôóíöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (3.37).Äîêàçàòåëüñòâî ïðàêòè÷åñêè ïîëíîñòüþ ïîâòîðÿåò äîêàçàòåëüñòâî òåî-ðåìû 3.3.
Îòìåòèì òîëüêî îñíîâíûå ìîìåíòû.Ôóíêöèÿ Wi (t, x) ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé Áåëëìàíà (ôóíêöèåé çíà÷åíèÿ) â ñîîòâåñòâóþùåé çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ Gi (t, x) è ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéçíà÷åíèå ìàêñèìèçèðóåìîãî ôóíêöèîíàëà (3.36) ïðè îïòèìàëüíîì óïðàâëåíèè â çàäà÷å Gi (t, x), òî åñòü, îæèäàåìûé äîõîä èãðîêà i, åñëè èãðó Γ(t0 , x0 )ïåðâûì ïîêèäàåò èãðîê j (j 6= i). Ïðèíèìàÿ ýòî çíà÷åíèå â êà÷åñòâå òåðìèíàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé âûèãðûøà èãðîêà â äèôôåðåíöèàëüíîé èãðå Γ(t0 , x0 ),ïîëó÷àåì ôóíêöèîíàë âûèãðûøà (3.10) â ñëåäóþùåì âèäå:Ki (t0 , x0 , u1 , u2 ) =Zω hi (τ )(1 − F (τ )) + Wi (τ, x(τ ))fj (τ )(1 − Fi (τ )) dτ.t0Îñòàëîñü òîëüêî ïðèìåíèòü ðåçóëüòàò òåîðåìû 3.3 è ïîëó÷èòü ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ â âèäå (3.38),(3.39).74Ãëàâà 4ÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÀß ÈÃÐÀ ÑÎÂÌÅÑÒÍÎÉ ÐÀÇÐÀÁÎÒÊÈÍÅÂÎÇÎÁÍÎÂËßÅÌÎÃÎ ÐÅÑÓÐÑÀ4.1.Ìîäåëü èãðûÐàññìîòðèì ìîäèôèêàöèþ ìîäåëè èãðû, èññëåäîâàííîé â [60] (ïðèìåð 2.1)è [40] (ïðèìåð 5.7).
 îðèãèíàëå äàííàÿ ìîäåëü îïèñûâàåò ñîâìåñòíîå èñïîëüçîâàíèå ïåñòèöèäîâ èëè ïîòðåáëåíèå îãðàíè÷åííîãî ðåñóðñà, íî å¼ ñòðóêòóðàäåëàåò å¼ ïðèãîäíîé è äëÿ çàäà÷ ñîâìåñòíîé ðàçðàáîòêè íåâîçîáíîâëÿåìîãîðåñóðñà.Çàìåòèì, ÷òî â îòëè÷èå îò [60], çàäà÷åé ÿâëÿåòñÿ íàõîæäåíèå ðàâíîâåñèÿïî Íýøó â ïîçèöèîííûõ ñòðàòåãèÿõ â äàííîé èãðå. èãðå ïðèíèìàþò ó÷àñòèå äâà èãðîêà ôèðìû, âåäóùèå ðàçðàáîòêó îáùåãî íåâîçîáíîâëÿåìîãî ðåñóðñà.  êà÷åñòâå ôàçîâîé ïåðåìåííîé x(t) âûñòóïàåò îáú¼ì îñòàâøåãîñÿ ðåñóðñà ê ìîìåíòó âðåìåíè t.
Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ïîëàãàåì íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t0 = 0 è ñ÷èòàåì ïåðâîíà÷àëüíûéîáú¼ì ðåñóðñà x0 ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûì.Ôèðìû èìåþò îäèíàêîâûé äîñòóï ê ðåñóðñó è â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè ðàñïîëàãàþò äàííûìè îá îñòàâøåìñÿ îáú¼ìå ðåñóðñà. Èãðîêè ìîãóò ðåãóëèðîâàòü ñâîé ñîáñòâåííûé òåìï äîáû÷è. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ui (t) ñêîðîñòüèçâëå÷åíèÿ ðåñóðñà i-ûì èãðîêîì â ìîìåíò âðåìåíè t. Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òîñêîðîñòü èçâëå÷åíèÿ ðåñóðñà ÿâëÿåòñÿ äëÿ èãðîêîâ óïðàâëÿþùèì ïàðàìåòðîì.Èñõîäÿ èç âûøåîïèñàííîãî, óðàâíåíèå äèíàìèêè îñòàâøåãîñÿ çàïàñàíåâîçîáíîâëÿåìîãî ðåñóðñà èìååò âèäẋ(t) = −u1 (t) − u2 (t),(4.1)75ñ íà÷àëüíûìè äàííûìè(4.2)x(0) = x0 > 0.Îòìåòèì, ÷òî âèä (4.1) îçíà÷àåò, ÷òî îáå ôèðìû ìîãóò èçâëåêàòü ðåñóðññ îäèíàêîâîé èíòåíñèâíîñòüþ, à îòñóòñòâèå ñëàãàåìîãî, îòâå÷àþùåãî çà ðåãåíåðàöèþ ðåñóðñà, äåëàåò åãî íåâîçîáíîâëÿåìûì. êà÷åñòâå ôóíêöèè ïëîòíîñòè âûèãðûøà (ôóíêöèè ïîëåçíîñòè) èãðîêài ïðèìåì ñëåäóþùóþ ôóíêöèþ:hi (x(t), ui (t)) = αi ln ui (t),αi > 0,(4.3)ïðè ýòîì çàìåòèì, ÷òî îíà çàâèñèò òîëüêî îò óïðàâëåíèÿ ñàìîãî èãðîêà,à íå îò çíà÷åíèé ôàçîâîé ïåðåìåííîé èëè óïðàâëåíèÿ äðóãîãî èãðîêà.
Ëîãàðèôìè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè øèðîêî ïðèìåíÿåòñÿ â çàäà÷àõ òåîðèèóïðàâëåíèÿ, ñâÿçàííûõ ñ ïîòðåáëåíèåì îãðàíè÷åííûõ ðåñóðñîâ [39, 51, 59]. Âèíîñòðàííîé ëèòåðàòóðå çàäà÷è òàêîãî òèïà ïîëó÷èëè íàçâàíèå cake-eatingproblem. Ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî ðàñïðîñòðàí¼í òàêæå ïîäõîä, êîãäà â êà÷åñòâå ôóíêöèè ïîëåçíîñòè ðàññìàòðèâàåòñÿ èçîýëàñòè÷íàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè (àíãë. isoelastic utility function [51]):u1−σ−1i,σ−1à ëîãàðèôìè÷åñêóþ ôóíêöèþ ðàññìàòðèâàþò êàê ïðåäåë äàííîé ôóíêöèèïðè σ → 1.Îòìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè (4.3) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëîé ââåðõ ôóíêöèåé, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò øèðîêî èçâåñòíîìó â ýêîíîìèêå çàêîíó óáûâàþùåéïðåäåëüíîé ïîëåçíîñòè: äîïîëíèòåëüíûé äîõîä, ïîëó÷àåìûé èãðîêîì îò óâåëè÷åíèÿ ñêîðîñòè ðàçðàáîòêè, óáûâàåò ñ óâåëè÷åíèåì ñêîðîñòè ðàçðàáîòêè.Òàêæå âûáðàííàÿ ôóíêöèÿ ïîëåçíîñòè âûñòóïàåò ñâîåîáðàçíûì ¾áàðüåðîì¿,ïðåïÿòñòâóÿ ïðåêðàùåíèþ ðàçðàáîòêè, ò.å.
îáðàùåíèþ â íîëü óïðàâëÿþùåãî76ïàðàìåòðà èãðîêà.Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ðàçðàáîòêè ðåñóðñà äëÿ êàæäîé ôèðìû íå çàäàíà çàðàíåå, à ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé, èìåþùåé ñâîþ ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ. Ýòî ìîæåò áûòü ñâÿçàíî, íàïðèìåð, ñ èçíîñîì îáîðóäîâàíèÿ, êîòîðîåêàæäàÿ ôèðìà èñïîëüçóåò ïðè äîáû÷å ðåñóðñà.Äëÿ i-îé ôèðìû îáîçíà÷èì ÷åðåç Fi (t) ôóíêöèþ ðàñïðåäåëåíèÿ ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ ðàçðàáîòêè ðåñóðñà. Ïîëàãàåì, ÷òî ìîìåíòû îêîí÷àíèÿ ðàçðàáîòêè Ti ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè àáñîëþòíî íåïðåðûâíûìè ñëó÷àéíûìèâåëè÷èíàìè, ðàñïðåäåë¼ííûìè íà îòðåçêå [0, ω], à èõ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿèçâåñòíû îáîèì èãðîêàì. Ñîîòâåòñòâóþùèå ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ áóäåìîáîçíà÷àòü ÷åðåç fi (t).Ïîñëå òîãî, êàê îäèí èç èãðîêîâ ïåðâûì âûíóæäåí çàâåðøèòü ðàçðàáîòêó,îñòàâøèéñÿ èãðîê ïðîäîëæàåò äîáûâàòü ðåñóðñ äî ñâîåãî ìîìåíòà îêîí÷àíèÿ.Äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ äàííîãî ïðîöåññà ïðèìåíèì ïîäõîä, ïðåäëîæåííûé âãëàâå 2. Äëÿ ýòîãî âûïîëíèì ñëåäóþùèå äåéñòâèÿ:1.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îäèí èç èãðîêîâ ïåðâûì ïðåêðàòèë ðàçðàáîòêó â ìîìåíò âðåìåíè t. Äëÿ îñòàâøåãîñÿ èãðîêà äèôôåðåíöèàëüíàÿ èãðà ïåõîäèò â çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñî ñëó÷àéíûì ìîìåíòîì îêîí÷àíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàçðàáîòêó ïðîäîëæàåò èãðîê i. Ïîñòðîèìðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ è íàéä¼ì ôóíêöèþ çíà÷åíèÿ(ôóíêöèþ Áåëëìàíà) Wi (t, x).2. Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíóþ èãðó ñî ñëó÷àéíîé ïðîäîëæèòåëüíîñòüþ, â êîòîðîé ïðîäîëæèòåëüíîñòü èãðû äëÿ êàæäîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿíåçàâèñèìîé ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé.  êà÷åñòâå äîïîëíèòåëüíîé âûïëàòû èãðîêó i, åñëè äðóãîé èãðîê ïåðâûì ïðåêðàùàåò ðàçðàáîòêó, ïîëîæèì Wi (t, x).  çàäàííîé òàêèì îáðàçîì èãðå ïîñòðîèì ñîñòîÿòåëüíîåïîçèöèîííîå ðàâíîâåñèå ïî Íýøó.774.2.Ðåøåíèå çàäà÷è îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿÐàññìîòðèì çàäà÷ó îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ Gi (t, x) äëÿ èãðîêà i = 1, 2.Äèíàìèêà çàïàñà íåâîçîáíîâëÿåìîãî ðåñóðñà çàäà¼òñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìóðàâíåíèåì ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè:ẋ(τ ) = −ui (x(τ ), τ ),(4.4)x(t) = x.Öåëü èãðîêà i çàêëþ÷àåòñÿ â ìàêñèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà, çàäàâàåìîãîâûðàæåíèåì (3.36):Ji (t, x, ui ) =11 − Fi (t)Zω(4.5)αi ln ui (x(τ ), τ )(1 − Fi (τ ))dτ → max .tÏîëó÷èì íåîáõîäèìîå óñëîâèå îïòèìàëüíîñòè, èñïîëüçóÿ ïðèíöèï ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà [1, 2, 30].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
