Диссертация (1149687), страница 7

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 7)

Развитием идей из метода выше является предлагаемый в этом разделе алгоритм.Он уже основывается не на модели изменения глубины точки с течением времени, а напрямую на уравнениях проектирования [14; 19; 63].Рассмотрим систему координат, задаваемую относительно положения иориентации камеры в пространстве. Предполагается, что наблюдаемый объектсвободно дрейфует (движется) в трехмерном пространстве. Пусть = 1, 2, . . .относитель-— дискретное время, и координаты объекта в момент времени41но камеры равны(1)(2)(3)( , , )(1)(2)(3) , , . Обозначим вектор координат объектаи рассмотрим динамику его изменения со временем. Будемсчитать, что в каждый момент временираравно =(1)(2) = 1,2, . . .

изменение координат векто-(3) = ( , , ) . Величина этого изменения зависит как от соб-ственной скорости объекта, так и от интервала дискретизации. Так, при малойчастоте получения кадров изменения в положении объекта будут большими, чтобудет усложнять задачу оценки. Как и в предыдущем разделе все внутренниеи внешние параметры камеры считаются известными, и в качестве наблюдениярассматривается зашумленная проекция точки на плоскость камеры.Предположим, что с той же частотой дискретизации камера в каждыймомент времени = 1, 2, . .

.ряемым векторомперемещается и это перемещение задается изме-(1)(2)(3)∆ = (∆ , ∆ , ∆ ) .При этом последовательность{∆ }представляет собой реализацию независимых одинаково распределенных случайных векторов с симметричным относительно нуля распределением, независимых относительно положения объекта и помех в измерениях координат точекпроекции на плоскости камеры.Учитывая введенные обозначения, изменение положения объекта с течением времени удовлетворяет уравнению⎛(1)⎜⎜ (2)⎜ ⎝(3)⎞⎛⎟ ⎜⎟ ⎜⎟=⎜⎠ ⎝(1)−1(2)−1(3)−1⎞⎟⎟⎟ + ∆ + ,⎠при этом координаты ее “зашумленной” проекции на плоскость камеры(1)(2)( , )удовлетворяют уравнениям(1)(1)=(3)(2)+(1) ,(2)=Сделаем следующие предположения для(3)+ (2) , = 1, 2, .

. ..(2.5) =421. Наблюдаемый объект всегда находится в поле зрения камеры, т. е. существуют такие1и2 ,()что| (3) | < , = 1,2.Параметры1и2 ,по сути, представляют собой физические размеры светочувствительного элемента камеры — ширину и высоту соответственно.2. Обратная величина глубины точкитервале:Γ ∈ Γ = (Γmin , Γmax ),иΓ =1(3) находится в конечном инΓmin , Γmax > 0.ГраницыΓminиΓmaxпоказывают, насколько далеко/близко от камеры может находится объект.

(Из представленной ниже в теореме 1 оценки будет ясно, что чемближе объект, тем точнее будут оценки, что согласуется с интуитивными ожиданиями.)3. Дрейф точки ограничен:фициенты1 , 2 , 3(1)(2)(3)| | < 1 , | | < 2 , | | < 3 .Коэф-напрямую связаны с временем дискретизации исобственной скоростью объекта. Они также будут влиять на верхнююграницу точности алгоритма.(Это единственное требование на характер движения объекта.)4. Последовательность случайных изменений положения камеры{∆ }представляет собой измеримую реализацию независимых между собой и независимых относительно текущего положения объекта и помех наблюдения случайных векторов вR3с независимыми компонен-тами и конечными статистическими моментами:()|∆ |2 ≤ 2 < ∞,дляслучайные величины∆(1)()|∆ | < < ∞,(1) = 1,2,3, |∆ |4 ≤ 44 < ∞.Кроме того,имеют симметричное распределение и5.

Аддитивные помехи ограничены(1)|(1) | < 1 , |(2) | < 2 , |(1) − −1 | < ,12 > 0.43или, если аддитивные помехи имеют случайную природу, то они независимы с∆и ограничены в среднеквадратическом смысле:(1)|(1) | < 1 , |(2) | < 2 , |(1) − −1 |2 < 2 .2.3.1АлгоритмРассмотрим алгоритм, который представляет собой следующую последовательность действий:–установить := 0, выбрать размер шага алгоритма > 0, выбрать про-извольное начальное приближение обратной величины глубины дальностиΓ̂0 ∈ Γ ;–итерация–сгенерировать и реализовать пробное возмущение положения камеры := + 1;∆ ∈ R3 ;–произвести наблюдения–вычислить “псевдоградиент”(1)(2) = ( , )(снять показания с камеры).по правилу:(1)∆(1) = Γ̂−1 − 2 ((1) − −1 );1–(2.6)обновить оценку обратной величины глубины дальности в соответствиис базовым алгоритмом стохастической аппроксимации с постояннымразмером шагаΓ̂ = Γ (Γ̂−1 − ),(2.7)44где Γ (·)— операция проектирования в интервал Γ () =–⎧⎪⎪Γ ,⎪⎨ < Γ ,⎪⎪⎪⎩иначе;Γ ,,Γ : > Γ ,вычислить текущие оценки координат объекта(1)(2)1ˆ(1) =, ˆ(2) =, ˆ(3) =.Γ̂Γ̂Γ̂(2.8)Заметим, что уравнение для псевдоградиента (2.6) является развитием(1)мотивирующей идеи из предыдущего раздела.

Но вместопроизведение∆∆ (3)рассмотренона разницу двух последовательных наблюдений, что позволя-ет также получать оценки обратной глубины, но с меньшей дисперсий. Этотподход аналогичен алгоритмам типа РАСА с двумя наблюдениями [7; 47].2.3.2Сходимость оценокСледующая теорема устанавливает границы ошибок оценивания при использовании предложенного алгоритма.Т е о р е м а 2. Пусть выполнены предположения 1–5. Обозначим = (1++24112 )Γ2max (3 +3 ), = (1+2 )Γ4max (32 +32 )+22 Γ2max +2 ( 24 (21 +2 )2 + 44 Γ2max ).Если 0 < < 1, тогда√︀√︁+2 + (1 − )lim ‖Γ̂ − Γ ‖2 ≤ =→∞ (1 − )(2.9)и−1lim |ˆ() − () | ≤ Γ−2min + Γmin , = 1,2.→∞(2.10)45Доказательствот е о р е м ы 2.При доказательстве будетиспользоваться следующая вспомогательная лемма 1 из [48].Если > 0, , > 0, < 1, , ≥ 0,√ ≤ (1 − ) −1 + 2 −1 + , = 1, 2, .

. . ,тогда ∀ > 0 ∃ , что ∀ > ≤(︁(2.11))︁2√+ 2 + + . Доказательство леммы 1можно найти в [48] или в [7].Обозначим = Γ̂ − Γ , =(1)Δ12(1)(1)( − −1 ), {·}— условное мате-матическое ожидание относительно всей предыстории наблюдения до моментавремени − 1.В силу алгоритма (2.7), используя свойство проекции, условное математическое ожидание ошибки в момент времениможет быть представлено сле-дующим образом: {2 } ≤ {(Γ̂−1 − Γ−1 + Γ−1 − Γ − )2 } =2−1+ {(Γ−1 − Γ )2 } + 2−1 {Γ−1 − Γ }−2−1 { } − 2 { (Γ−1 − Γ ) + 2 2 }.(2.12)Оценим последовательно все слагаемые (кроме первого) в правой частинеравенства (2.12).Из-за ограниченности скорости дрейфа, центрированности и среднеквадратической ограниченности третьей компоненты пробного возмущения имеем {(Γ−1 − Γ )2 } = 2−1 {Γ−1 − Γ } ={︂(3)(3)( −−1 )2}︂≤ Γ4max (32 + 32 ),{︂ (3) (3) }︂− −1 (3) −1 ≤(3)(3)(−1 )22(3)−1≤ 2Γ2max (3 + 3 )|−1 |.(2.13)(2.14)46В силу введенных выше обозначений величины =(1)∆12(︃(1)−1(3)−1(1)∆(3)∆++++(1)(3)−(1)−1(3)−1 можно представить так:)︃(1)+ (1) − −1 .Т.

к. компоненты пробного возмущения центрированны, независимы между собой и независимы с { }(1)(3)(1) , , , то для условного математического ожиданияполучаем{︃ { } = (1)∆12}︃{︃+{︃= 0 · {︃(1)(∆ )212(1)}︃(3){︃(1)(3)−1 + ∆ + −−1(3)−1−(1)−1(3)−1(3)−1+}︃(1)+ (1) − −1+}︃1(1)−1 + (3)(1)(1)−1 + (3)(3)(3)−1 + ∆ + (3)∆(3)=+}︃(1)+ (1) − −1+ {Γ } = {Γ },и, следовательно, учитывая (2.14), получаем−2−1 { } = −2−1 (Γ̂−1 − {Γ }) =(2.15)= −2−1 (Γ̂−1 − Γ−1 + Γ−1 − {Γ }) ≤2≤ −2−1+ 2Γ2max (3 + 3 )|−1 )|.Для следующего слагаемого в правой части неравенства (2.12) последовательно выводим−2 { (Γ−1 − Γ )} = −2 {(Γ̂−1 − )(Γ−1 − Γ )} == −2Γ−1 Γ̂−1 − 2 { Γ } + 2Γ̂−1 {Γ } + 2Γ−1 {Γ } =2= −1+ 2 {Γ2 } − 2 { Γ } − {(Γ̂−1 − Γ )2 }−472− {(Γ−1 − Γ )2 } ≤ −1+ 2Γ2max ,так как { Γ } = {Γ2 } > 0(2.16)из-за того, что компоненты пробного возму-щения центрированны, независимы между собой и независимы с(1)(3)(1) , , .Для последнего слагаемого в правой части неравенства (2.12), учитывая(2.13) и (2.14), получаем2 {2 } = 2 {(Γ̂−1 − Γ−1 + Γ−1 − )2 } =2= 2 −1+ 22 −1 (Γ−1 − {Γ })++2 (Γ2−1 − 2Γ−1 {Γ } + {Γ2 } + {2 − Γ2 }) ≤2≤ 2 −1+ 22 Γ2max (3 + 3 )|−1 |++2 Γ4max (32+32 )44 2222+ ( 4 (21 + 2 ) + 4 Γmax ),112(2.17)т.

к. в силу симметричности распределения компонент пробного возмущения,их независимости между собой и их независимости с(1)(3)(1) , , имеем⎧(︃(︃)︃)︃2 ⎫⎨ ∆(1) (1) + (1) (1)⎬(1)−1−1222(1) { − Γ } < { } = − (3) + − −1+(3)⎭⎩ 12−1+⎧(︃)︃ ⎫⎨ (∆(1) )2 2 ⎬⎩ 2 (3)12244 22≤ (21 + 2 ) + 4 Γmax⎭ 141В итоге, подставляя в (2.12) полученные оценки (2.13)–(2.17), заключаем2 {2 } ≤ (1 − + 2 )−1+ 2(1 + + 2 )Γ2max (3 + 3 )|−1 |++(1 + 2)Γ4max (32+32 )+Γ2max (2+(4Γ−1min+ 21 +2244+ 4 )) =1482= (1 − (1 − 2))−1+ 2 |−1 | + .(2.18)Взяв безусловное математическое ожидание от обеих сторон (2.18), убеждаемся в том, что все условия леммы 1 выполняются длят.

к.(| |)2 ≤ 2 . = 1 − и = 2 ,Применяя лемму 1 получаем формулу (2.9) — первое за-ключение теоремы 2.Формулы (2.10) выводятся из оценок разностей⃒⃒⃒ (︂)︂⃒⃒ ()⃒⃒⃒11⃒ ()()()()()(3) ⃒ˆ⃒⃒ + |() (3) | ≤| − | = ⃒− ( − ) ⃒ ≤ ⃒−⃒ Γ⃒̂Γ̂ Γ ⃒−1≤ Γ−2min | | + Γmin , = 1,2.Доказательство теоремы 2 завершено.49Глава 3. Система отслеживания и оценки положения объектаДля проведения экспериментальной части работы и иммитационного моделирования был разработан программный комплекс, позволяющий применятьпредложенные алгоритмы для оценки положения движущегося объекта. Этасистема позволяет обрабатывать, как и видео файлы, так и уже готовые данные о проекциях объекта и движении камеры. Она разделена вследствии этогона верхнем уровне на два модуля - модуль компьютерного зрения, отвечающийза все задачи, связанные с обнаружением и отслеживанием точек объекта, имодуль трехмерной реконструкции, включающий в себя предложенные в этойработе алгоритмы, алгоритмы калибровки и оценки положения камеры, а также алгоритмы трехмерной реконструкции статичных объектов.Все алгоритмы реализованы на языке python с использованием библиотекnumpy и opencv, для визуализации результатов использовался модуль matplolib.Также для калибровки камеры предоставляется возможность использоватьсредства калибровки из Calibration Toolbox for Matlab [54; 88], которые интегрируется в язык python при помощи стандартных средств Matlab.

Характеристики

Список файлов диссертации