Диссертация (1149687), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Поляка,Дж. Спалла [4–6; 8–10; 21; 46; 80; 81]. Особо интересными для задач оценки положения движущегося объекта являются методы решающие задачу поиска минимум нестационарного функционала при помощи рандомизации, такие алгоритма были предложены в работах О.Н.Граничина, А.Т. Вахитова, Л.С.Гуревича,В.С. Боркара, З.

Волковича, Д. Толедана-Китаи [17; 48; 49; 64; 65; 85].322.1.2Описание подходаИспользуя идеи из алгоритмов по типу РАСА, для оценки положения объекта мы будем добавлять случайное возмущение в положение камеры в каждый момент времени [13; 18]. Как и в методах РАСА это возмущение должноиметь нулевое математическое ожидание и не зависеть от других величин взадаче. Случайное возмущение на практике может быть реализовано несколькими способами. Во-первых, если камера управляется человеком, то он можетсимулировать центрированное случайное движение при помощи каких либо периодических движений, такой подход будет продемонстрирован в третье главев разделе апробации.

Во-вторых, камера может быть установлена на специальное устройство, которое будет совершать ограниченные, но тоже случайныедвижения. Такую ситуацию вполне можно представить в приложениях для автомобилей, когда, к примеру, камера вместе с таким устройством может бытьустановлена на крышу автомобиля, совершающего движение. И наконец, камера может производить съемку в таких условиях, в которых случайность в еедвижении будет появляться естественным образом из-за, например, вибрацийобъекта, на который она установлена. Далее будет продемонстрировано на простом примере каким образом на основе случайного движения камеры можноосуществлять оценку положения движущегося объекта.В задаче оценки положения объекта, мы считаем, что внешние и внутренние параметры камеры считаются известными, т.е.

нам известны ее положенияи калибровочные параметры. Данное требование на практике легко выполнимо,т.к. положение камеры можно вычислить на основе статичных объектов, которые присутствуют в наблюдаемой сцене, а ее калибровку можно произвестизаранее с использованием стандартных и доступных средств.Обозначим за = 1, 2, . . .объекта в момент времени— дискретное время. В качестве наблюдаемогорассмотрим точку с вектором координат =33(1)(2)(3)( , , ) .

Координаты ее “зашумленной”(1)(2) = ( , )удовлетворяют уравнениям(1)(2)где(1)проекции на плоскость камеры(2) = ( , )==(1)(1)(3)(3) − −(2)(2)(3)(3)+ (1) , − −+ (2) ,— вектор неизвестных помех, которые неизбежно возника-ют в связи с ошибками в алгоритмах поиска особых точек, а также в связи сограниченной разрешающей способностью камер.

Заметим, что мы не делаемникаких предположений о их свойствах.Задача оценки заключается в построении траектории движения точкина основе известных координат ее проекцийРассмотрим(1)(∆ , 0, 0) ,гдемущение по оси(1) 2∆случай,(1)∆когдав каждый момент времениположениекамерызаданокак.=— известное случайное (рандомизированное) пробное воз-с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, независимое от положения точкии вектора помех .для проекций в таком случае принимают вид(1) =(2)(2) =Домножив первое выражение для(1)(1)(1) ∆=(1)(1) −Δ(3)(3)(1)(3)(2)+ .на величину(1) ∆(1)+ ,(1)−, получаем(1)∆ ∆(3)(1)∆+ (1) ∆(1) .12 =Уравнения34Учитывая центрированностьпомехи(1)и независимость от положения точкии, для математического ожидания последовательно выводим(1)(1) ∆(1)так как(1)∆ (1)Δ(3)=[︁ (1) ∆(1)(3)(1)(1)(1)−= (3) · ∆ = 0(1)∆ ∆(3)+и(1)(1) ∆(1)(1)]︁= −12 (1)1(3),(2.1)(1) ∆ = · ∆ = 0.Из уравнения (2.1) видно, что, усредняя(1)(1) ∆с течением времени, мож-но получить величину, равную усредненной обратной глубине наблюдаемой точкиΓ =1(3) , домноженной на некоторую известную константу.

По обратнойглубине искомые координаты объекта получаются по формулам(1)(1)(2)1(2)(3)=+ ∆(1),=,=.ΓΓΓОписанный пример демонстрирует каким образом из случайности в движениикамеры, можно получить оценку положения объекта. В последующих разделахбудут представлены два метода, использующие эту идею для вывода состоятельных алгоритмов оценивания.2.2Рандомизированный асимптотический наблюдатель дляобратной глубины объектаВ большинстве случаев задачу оценки положения точек можно упроститьдо задачи оценки глубины точки, т.к. направление луча из центра к рассматриваемой точке определяется известным положением ее проекции.

Алгоритмыоценки глубины точки, используемые в большинстве современных систем реконструкции по видео, основываются на минимизации общей ошибки перепроектирования по всем кадрам видео последовательности [67]. Такой подход часто приводит к неудовлетворительным результатам, т. к. минимизация ошибки35перепроектирования не гарантирует сходимости оценок глубины к истинномузначению. Более того большинство такого рода подходов используют пакетнуюобработку изображений, что приводит к большим затратам по времени и памяти.

Методы фильтрации [22; 23; 57; 58] предоставляют способ получения оценокглубины, сходящихся к истинному значению, путем итеративной коррекции помере поступления новых кадров. Так, авторы [86] предложили несколько асимптотических наблюдателей, которые оценивают глубину точки за счет известногооптического потока между кадрами. Они доказали сходимость их алгоритма ипоказали, что при помощи него можно молучить адекватные оценки глубинына реальных данных в контроллируемых условиях.Описанную в [86] идею можно развить с использованием рандомизациидвижения камеры и применить к задаче оценки положения уже движущихся объектов [16]. Алгоритм, представленный в упомянутой работе, в качественаблюдения рассматривает не саму проекцию наблюдаемой точки, а ее оптический поток [55] между двумя соседними кадрами, т.е.

вектор разности двухпроекций. Мы при построении рандомизированного подхода будем действоватьаналогично.Для простоты вывода этого метода мы рассмотрим сферическую моделькамеры, при этом все последующие уравнения и сам алгоритм могут быть переформулированы для проективного случая при помощи простой замены координат. В каждый момент времени движущаяся система координат, привязаннаяк камере, задается положением центра проектирования камерыфиксированной системе координат и кватерниономентацию. Пусть = − −1 ,в некоторойкоторый задает ее ори-— скорость движения центра камеры, а—ее скорость поворота.

Далее рассмотрим движущуюся точку, наблюдаемую камерой. Ее положение определено лучоми глубиной(пиксель) из центра камеры к точкеотносительно этого луча. Дискретизируя уравнение динамики36глубины из [86], можно получить: = −1 − ⟨ , ⟩ + ,гдепредставляет собой ошибку дискретизации и возможный дрейф точки.При введенных обозначениях задачу отслеживания положения точки можносформулировать как задачу получения таких оценокˆ ,чтоˆ → .Глуби-на точки и оптический поток в непрерывном случае связаны следующим уравнением:= Γ(⟨, ⟩ − ) − × ,где.Γ=1 . Пусть— измерение оптического потока точки в момент времениТогда дискретный вариант приведенного уравнения будет выглядеть как: = Γ (⟨ , ⟩ − ) − × + ,где(2.2)— это помеха оптического потока.Сформулируем условия, выполнение которых необходимо для сходимостипредлагаемого ниже алгоритма.Условие 1. Существует конечная граница для :‖ ‖ ≤ < ∞.Условие 2.

Существует конечная граница для дисперсии Γ̂равная2 .Условие 3. Глубина точки лежит в конечном интервале ∈ [ , ].372.2.1АлгоритмПредлагается следующая процедура для получения оценокзначения глубиныˆистинного :–сгенерировать центрированное случайное возмущение–сдвинуть камеру согласно пробному возмущению;–сделать наблюдение оптического потока–обновить−1∆ ; ;используяˆ = ˆ −1 − ⟨ , ⟩ + (1 − ˆ −1 Γ̂ ),где(2.3)(⟨Δ, ⟩) −ΔΓ̂ = ||(⟨Δ. , ⟩) −Δ ||Уравнение (2.3) является дискретной аппроксимацией асимптотическогонаблюдателя представленного в [86]. Идея алгоритма заключается в том, чтобудет аппроксимировать истинное значение обратной глубиныΓ = −1 .Γ̂Рас-смотрим уравнение (2.2).

В нем есть члены, которые каким-то образом включают в себя∆ . Если мы скалярно домножим все выражение на (⟨∆ , ⟩) − ∆ ,то некоторые члены будут включать в себя∆линейно, а некоторые квадра-тично. Линейные члены будут равны нулю при усреднии, а единственный квадратичный член будет содержать как множительΓ ,что и позволяет получитьформулу для оценок.2.2.2Сходимость оценокТ е о р е м а 1.

Если выполнены условия 1–3, то последовательность ошиˆ , получаемых при помощи алгоритма (2.3), имеет конечнуюбок для оценок верхнюю границу , точная формула для которой приведена в доказатель-38стве:ˆ − ‖2 ≤ .lim ‖→∞Доказательствоматематического ожидание пот е о р е м ы 1.ˆ −1 .Обозначим— условноеДля невязки имеемˆ − )2 = (ˆ −1 − ⟨ , ⟩ + (1 − ˆ −1 Γ̂ ) − )2 = (ˆ −1 − − ⟨ , ⟩)2 + 2 (1 − ˆ −1 Γ̂ )2 += (ˆ −1 − ⟨ , ⟩ − )(1 − ˆ −1 Γ̂ ).+2 (ˆ −1 − − ⟨ , ⟩)2 = (ˆ −1 − −1 )2 + (ˆ −1 − −1 ).+ 2 − 2 (Заметим чтоˆ −1 − −1 ) ≤ 2‖ˆ −1 − −1 ‖,−2 (2 ≤ 2 .Пусть−1 = Γ̂ − −1.Тогда из (2.3) видно, что)︀(︀Γ̂ = −1 (⟨∆ , ⟩) − ∆ + ,где не зависит от ∆ . Cледовательно из того, что в алгоритме мы домножаемна∆ ,получается = 0.Далее выводим(︃ˆ −1 Γ̂ )2 = 2 2 (1 − ˆ −1−1 − − −1 −1−22ˆ −1 )2 + 2 ˆ −1= 2 −1(−1 − 2 +)︃2=39−1ˆ −1 )ˆ −1 ,+2 −1(−1 − и мы видим, что последний член равен нулю по определению ,тогда как−2ˆ −1 )2 ≤ 2 −2 (−1 − ˆ −1 )2 ,2 −1(−1 − 2ˆ −12 2 ≤ 2 2 2 .ˆ −1 − ⟨ , ⟩ − +1 )(1 − ˆ −1 Γ ) =2 (ˆ −1 − −1 − )(1 − ˆ −1 (−1 + )) == 2 (−1ˆ −1 − −1 − )(ˆ −1 − −1 + ˆ −1 )−1 == −2 (−1(︀ˆ −1 − −1 )2 −1 + −1 (ˆ −1 − −1 )+= −2 (−1−1)︀−1 ˆˆ −1 − −1 ) + −1 ,−1 (+−1−1где последние два члена равны нулю по определению ,тогда какˆ −1 − −1 )2 −1 ≤ −2−1 (ˆ −1 − −1 )2 ,−2 (−1−1 ˆˆ −1 − −1 ‖.−2 −1(−1 − −1 ) ≤ 2−1 ‖Наконец мы получаемˆ − )2 ≤ (1 − 0 )(ˆ −1 − −1 )2 + ‖ˆ −1 − −1 ‖ + 0 , (где(2.4)0 = 2−1 − 2 −2 , = 2 + 2−1 , = 2 + 2 2 2 .Теперь, используя известное неравенство, получаемˆ −1 − −1 ‖ = −1 ‖ˆ −1 − −1 ‖ ≤ 0.5(‖ˆ −1 − −1 ‖2 2 + 2 −2 ).‖40Взяв математическое ожидание с каждой из сторон (2.4), получаемˆ − )2 ≤ (1 − )(ˆ −1 − −1 )2 + ,(где = 0 + 0.5 2 2 , = 0 + 2 −2 .гресии и тот факт, что1 − ∈ (0,1),Используя формулу геометрической промы выводимˆ − ‖2 ≤lim ‖→∞,т.

е.√︂=.Доказательство теоремы 1 завершено.2.3Рандомизированный алгоритм оценки положения объектаИспользование асимптотического наблюдателя в качестве метода оценки глубины точки имеет свои недостатки. Основным из них является то, чтопредложенная модель динамики глубины является непрерывной, что влечет засобой неминуемые ошибки дискретизации при переходе к дискретному случаю.Также, предложенный алгоритм никак не оценивает две другие координатыобъекта, которые необходимы для полной информации о его положении.

Характеристики

Список файлов диссертации