Диссертация (1149660), страница 9

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 9)

Полный гамильтониан (,) электрона разобьем на сумму двух частей(,) = 1 (,) + 2 (,)(2.11)так, что каждая из систем с парциальным гамильтонианом аналитически(или численно) точно интегрируется. В случае вида (2.10) слагаемое 1 соответствует стационарному невозмущенному атому, а член 2 ≡ задаетсявнешним полем (возмущением). Основная идея заключается в построении надостаточно малом интервале времени ∆ эволюции для полной системы ()как композиции эволюций парциальных систем (1,2 ), действующих на текущееположение РЭ ( ) = {p( ),r( )} в определенной последовательности.Последовательность эволюций следует определять из требования оптимизации их действия, что затруднено для нелинейных уравнений движения.

Этутрудность можно обойти [69, 73] за счет формальной линеаризации уравнений Гамильтона в пространстве ℘ функций () на фазовом пространстве = , = {1 , . . . , ; 1 , . . . , }, где = 3 — размерность системы. Функции () естественно интерпретировать как обобщенные состояния электрона,которые сходны с волновыми функциями в квантовой механике [107].Для линеаризации сопоставим всем траекториям () РЭ c гамильтонианом(,) следующий линейный оператор эволюции (,0 ) (функцию Грина) впространстве ℘:55ˆ (,0 ) (0 ) → ˜(0 ,) = (()),( = 0 ) = 0 .(2.12)Для фиксированной точки 0 значения (0 ,) воспроизводят временнýю зависимость функции на определенной траектории, выходящей из 0 в начальныймомент 0 . Отметим, что при специальном выборе индикаторных функций (состояний) вида () = ( − ), где — 3N мерная дельта функция Дирака, эволюция (2.12) состояния позволяет восстановить траекторию (),проходящую через точку .Скорость ˜(0 ,)/ изменения на траектории равна скобке Пуассона / = {, } в точке () [70].

Поскольку отображение 0 → () являетсяканоническим [69, 70], скобку Пуассона можно применить к ˜ в точке 0 :˜(0 ,)= {,˜}0 , =(︃ ˜ ˜ − )︃ˆ ˜.≡(2.13)0 ,Уравнение для эволюции состояний ˜ сводится, таким образом, к линейномуˆ.уравнению с дифференциальным оператором Случай стационарного возмущенияРешения (5) имеют явное операторное представление [17] для стационарнойзадачи:ˆ (,0 ) (0 ),˜(0 ,) = ˆ (,0 ) = exp[ˆ ( − 0 )],(2.14)т.е. когда частота поля = 0. Оператор (2.13) линеен относительно ,ˆ = ˆ1 + ˆ 2 соответствует парциальному гамильтониану .поэтому ˆ на парциальные эволюОпределение оптимального способа расщепления ции exp( ∆) основано на формуле Беккера-Кампбелла-Хаусдорфа (BakkerCampbell-Hausdorff) [72] и в первом приближении сводится к следующему алгоритму [73, 106, 108]:ˆ (0 + ∆,0 ) = exp(ˆ 1 ∆ + ˆ 2 ∆) ≃ exp(ˆ 2 ∆/2) exp(ˆ 1 ∆) exp(ˆ 2 ∆/2).(2.15)56Применительно к траекторным расчетам формула (2.15) означает, что перемещение точки 0 = (0 ) по траектории гамильтониана состоит из трехэтапов.

Сначала движение 0 → 1 генерируется в интервале ∆/2 интегратором внешнего поля с гамильтонианом 2 . Затем на время ∆ включаетсятолько гамильтониан 1 атомной системы, траектория которого перемещаетточку 1 → 2 (атомный интегратор). Точка 2 , наконец, снова в течение ∆/2подхватывается траекторией полевого интегратора и 2 → 3 = (0 + ∆).Эволюция на последовательных временных интервалах ∆ находится каккомпозиция эволюций:ˆ (0 + ,0 ) =∏︁ˆ ( + ∆, ).(2.16)Ошибка представления (7) убывает как ∆2 и при выборе достаточно мелкихшагов ∆ может быть сделана весьма малой. Важной особенностью расчетовна основе метода расщепленных эволюций оказывается ограниченная, не накапливающаяся во времени ошибка [73], что является решающим преимуществомпри исследовании стохастических систем.Случай нестационарного гармонического возмущенияМодификация SOM для описания эволюции нестационарных систем оказывается нетривиальной задачей [72], поскольку некоммутативность операторовˆ () (2.13) для разных нарушает правомерность представления (2.14).

Вподобной ситуации полезным оказывается основанный на следствиях теоремыФлоке прием [105], который позволяет свести нестационарную задачу к стационарной в расширенном фазовом пространстве ℑ . Итак, увеличим числодинамических переменных электрона = , на каноническую пару , типадействие — угол [69]. Затем в новом пространстве ℑ с точками ˜ = {,; ,}зададим расширенный стационарный гамильтониан (˜) = (, = /) + ,(2.17)где (, ) совпадает с гамильтонианом (2.10).

Гамильтоновы уравнения движения [109] в расширенном пространстве ℑ сводятся тогда к виду57 = − (,, = /),1 =−(,,)|=/ , = , = .(2.18)Поскольку переменная меняется как = , оказывается, что уравнения(2.18) для , совпадают с исходными уравнениями движения, задаваемыми гамильтонианом (2.10), т.е. проекция траектории ˜() = {,; ,}() из расширенного пространства ℑ в пространство ℑ превращает траекторию () = {,}()в решение исходной (нестационарной) задачи. Представление (2.15), в свою очередь, позволяет находить как парциальные эволюции (интеграторы), так и порядок их действия для построения траектории ˜() в ℑ .

Заметим, что поскольку гамильтониан (, ) (2.10) периодичен по времени с периодом 2/, расширенный гамильтониан (˜) сохраняет свое значение при изменении пере⨂︀менной на 2. Фактически это означает сужение фазовой плоскости R1 R1⨂︀канонической пары , до цилиндра R1 (0 ≤ ≤ 2).Обратим внимание, что гамильтониан (2.17) является интегралом движения, т.е. он сохраняет свое значение (˜) ≡ на заданной траектории ˜().В терминах исходных гамильтониана (, ) и траектории () константа равна∫︁ = ((),) −(( ),( ), = ),(2.19)как это следует из уравнения движения (2.18) для . Принимая во вниманиеструктуру (, ) (2.10), соотношение (2.19) после интегрирования по частямможно записать в виде∫︁ = 1 ((),) − p( )F ( ).(2.20)0Степень равенства правой части (2.20) константе в численном моделировании указывает на самосогласованность используемой схемы интегрирования[73].582.3Модернизированный алгоритмОсновное соотношение, определяющее точность SOM, вытекает из формулыБеккера–Кампбелла–Хаусдорфа [11, 12], которая в наших обозначениях принимает следующий вид:ˆ 12 (∆) ≡ exp(ˆ 2 ∆/2) exp(ˆ 1 ∆) exp(ˆ 2 ∆/2) = exp(ˆ 12 ∆),12 = 1 + 2 + ∆ + (∆4 ),(2.21)∆ = −(∆2 /24){2 2 1 } − (∆2 /12){1 2 1 }.Здесь символ { } обозначает последовательность {, {, }} скобок Пуассона (2.13), например, {1 1 2 } = {1 , {1 , 2 }}.

Применительно к гамильтониану (2.17) разложение (˜) = 1 (˜) + 2 (˜) определяется подобно(2.10) атомной и полевой частями:1 (˜) = p2 + (),2 (˜) = −F (/)r + .(2.22)Формула (2.21) имеет важную интерпретацию, сводящуюся к переопределениюгамильтониана при применении эволюции типа (2.15). Оказывается, что с точˆ 12 (∆) (2.21) соответностью до членов (∆4 ) последовательность эволюций ствует эволюции нового гамильтониана 12 , отличающегося от исходного (˜)на слагаемое ∆ (2.21). Последнее, как это непосредственно вытекает из (2.21),(2.22), равно∆2∆ (˜) =24(︂)︂2−F (/) − p F (/) + 2F (/)∇ () .(2.23)Поскольку в расширенном пространстве ℑ мы имеем дело со стационарными задачами, гамильтониан 12 (2.21) сохраняет свое значение, т.е. ошибка приˆ 12 (∆) на временнóм интервале ∆ равнарасчете энергии (˜) для эволюции ∆ .

Более того, при равномерном разбиении временнóго интервала (0, ) на 59ˆ )отрезков одинаковой длины ∆ произведение эволюций (2.21) равно exp(12т.е. снова сохраняются стационарный гамильтониан 12 и, следовательно, энергия = (˜) (2.20) с точностью до ∆ ∼ ∆2 независимо от длительности . Именно допустимость глобального предсказания погрешности метода SOMвыгодно отличает его от прочих традиционных разностных численных интеграторов.В рамках SOM возможно улучшение точности за счет подходящего переопределения гамильтонианов в (2.22). Рассмотрим, какой вклад в ошибку ∆ (2.23) вносят входящие в него три члена для Ридберговских состояний, т.е. в случае больших значений радиуса .

Третий член, очевидно, быстроубывает (∼ 1/2 ) при → ∞. Более медленно убывающим является второйчлен (|p| ∼ 1/1/2 [70]). Первый член не зависит от динамических переменных = {p,r}, поэтому мы изменим 2 (˜) (2.22),∆22 (˜) = −F (/)r + +24(︂)︂2F (/) + p F (/) ,(2.24)˜ ∆ для нового генерируютаким образом, чтобы в модифицированной ошибке ˆ 12 (∆) (2.21) гамильтониана ˜ 12 остался самый быстро убыващего эволюцию ющий член:˜ 12 (˜˜ ∆ (˜) = (˜) + ) + (∆4 ),˜ ∆ (˜) = (∆2 /12)F (/)∇ ().(2.25)Рассмотрим другую возможность контроля точности SOM за счет подхо˜ ∆ (2.25) быстро нарастает вдящего выбора временнóго шага ∆.

Ошибка окрестности кулоновского центра, и чтобы стабилизировать ее, величину ∆следует сделать пространственно зависимой: ∆ = ∆(). В случае кулоновско˜ ∆ не превосходит |˜ ∆ | ≤ ∆2 /(122 ). Если задаватьсяго потенциала (2.8) расчетом текущего значения атомной энергии с относительной погрешностью˜ ∆ /| ≤ Π, шаг ∆ должен браться в виде|60∆() ∼20 √︀300Π||.(2.26)Здесь мы учли характерное значение ∼ −40 /25 (2.31) при реализации динамического хаоса.˜ 12 , зафиксируем временнóй интервалЧтобы понять работу интегратора ˆ ∆) в интегра(0 , 0 + ∆) и разберем действия парциальных эволюций exp(ˆ (0 + ∆, 0 ) (2.15), который в расширенном пространстве ℑ сводитсяторе ˆ 12 (∆ = ∆) (2.21).

Характеристики

Список файлов диссертации