Диссертация (1149660), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Нас интересует движение точки ˜0 = ˜(0 ) → ˜(0 + ∆) вкрезультате трех этапов. Начальное значение 0 согласуем с начальным моментом времени 0 как 0 = 0 (см. ниже).Полевой дрейфНа первом этапе движение 0 0 0 0 → 1 1 1 1 генерируется в течение ин˜ 2 (˜тервала ∆/2 внешним полем с гамильтонианом ) (2.24) (полевой дрейф,ˆ 2 ∆/2). Его гамильтоновы уравнения:соответствующий пропагатору exp(p = F (/),∆2 r= F (/),24 [︂ (︂)︂]︂∆2F (/)r −F2 (/) + p F (/) ,=24 = ,(2.27)имеют тривиальные решения:0 +∆/2∫︁p1 = p0 + F ( ),02∆(F (0 + ∆/2) − F (0 )) ,241 = ∆/2 + 0 .r1 = r 0 +(2.28)61Мы не выписываем решение для действия 0 → 2 , поскольку оно не входитв эволюцию атомных переменных = {p, r} (см. ниже). Отметим, что нашполевой интегратор (2.28) отличается от результата работы [106] наличием смещения электрона ∆r = r2 − r1 . В случае стационарной задачи ∆r обращается внуль.Атомный дрейфНа втором этапе эволюции 1 1 1 1 → 2 2 2 2 длительностью ∆ работаетисключительно атомный гамильтониан 1 (˜) (2.22) (атомный дрейф, соответˆ 1 ∆)).
Поскольку 1 (˜ствующий пропагатору exp() не содержит пару ,, егогамильтоновы траектории сохраняют значения: 2 = 1 , 2 = 1 = (0 + ∆/2).Уравнения движения по атомным динамическим переменным = {p, x} совпадают с уравнениями Ньютона (2.18) для электрона в стационарном атомномполе с потенциалом (2.8). Аналитический интегратор для кулоновского поляисчерпывающим образом описан в [73].Наконец, на последнем, третьем этапе длительностью ∆/2 полевой интегратор типа (2.28) перемещает промежуточную точку ˜2 в конечную точку˜3 = ˜(0 + ∆) траектории 2 2 2 2 → 3 3 3 3 :∫︁0 +∆p3 = p2 + F ( ),0 +∆/22∆(F (0 + ∆) − F (0 + ∆/2)) ,243 = ∆ + 0 .r3 = r 2 +(2.29)Несмотря на сохранение переменной типа угол на этапах атомного дрейфа, за счет этапов полевого дрейфа закон временнóго поведения сводится клинейному = , согласующемуся с решением уравнений (2.18).Интегратор четвертого родаИзвестно, что ошибки машинного округления играют роль случайных силпри интегрировании уравнений движения [59].
В условиях реализации режима62Таблица 2.1: Значения констант для интегратора четвертого порядка (2.30)1 0.6756035959798288 1.35120719195965782 -0.17560359597982883 -1.7024143839193149динамического хаоса, т.е. при сильной неустойчивости, они могут вызывать набольших временах непредсказуемые отклонения расчетной траектории от истинной. Последовательность (2.21) относится к интеграторам второго рода сошибкой ∆ ∼ (∆2 ) второго порядка по ∆. Она может оказаться неприемлемой при использовании переменного шага ∆ ∼ (2.26), необходимого дляустранения сингулярности в кулоновском центре. Дело в том, что гамильтонианы 12 (2.21) для разных ∆ становятся некоммутативными, в результатеˆ 12 (∆)чего дополнительное накопление ошибок в произведениях эволюций (2.21) сводит SOM в интегратор первого порядка ∼ (∆) на больших временах.Для оптимизации устойчивости следует воспользоваться несколько усложненной по сравнению с (2.21) последовательностью действий парциальных эволюций [73], [110], [111] :ˆ 4 (∆) ≡ (ˆ 1 ∆)(ˆ 1 ∆)(ˆ 2 ∆)(ˆ 2 ∆)(ˆ 2 ∆)(ˆ 1 ∆)(ˆ 1 ∆) = exp(ˆ ∆).4(2.30)ˆˆОператоры (∆),(∆)обозначают соответственно интеграторы на стадиях полевого дрейфа для гамильтониана 2 (˜) (2.22) и атомного дрейфа длягамильтониана 1 (˜) (2.22).
В случае (2.30) 4 = 1 + 2 + (∆4 ), так что эволюции (2.30) определяет интегратор четвертого рода. Константы 1,2 ,1,2 , обеспечивающие выполнение условия ∆ = 0 для ошибки второго порядка (2.23),удовлетворяют соотношениям 1 = 1 /2, 2 = (1 +2 )/2, 2 +21 = 1, 32 +231 = 0[110]. Их значения приведены в Таблице 2.1 [73].Как показывают результаты численного моделирования, интегратор (2.30)лучше подходит, чем интегратор (2.21) для расчетов траекторий на большихвременах в условиях реализации динамического хаоса.
Данные рисунков, приˆ 4 на сетке переведенных в работе, получены при реализации интеграторов менных временных шагов ∆ в виде (2.26) с константой относительной точностиΠ = 10−8 .632.4Динамика электрона в переменном внешнемполеНаложение внешней переменной силы (2.9) приводит к хаотизации движения РЭ при условии, что амплитуда силы | | превышает критическое значение . Поясним физику порогового характера развития режима динамического хаоса, используя понятия стохастического слоя и стохастического моря.2.4.1Ионизация при установлении глобального хаосаУравнения движения для нестационарного гамильтониана (2.10) являютсянеустойчивыми, в отличие от случая невозмущенной изолированной атомнойсистемы.
Это означает, что взятые в начальный момент времени бесконечноблизко друг к другу фазовые траектории будут расходиться с экспоненциальным нарастанием во времени расстоянием между ними. Фазовое пространстводля подобных систем состоит из частей двух типов: зон устойчивости, заполненных инвариантными кривыми (регулярные области) и зон стохастичности(хаотические области) [59]. Если области стохастичности перекрываются, то современем берущая начало в какой-либо зоне стохастичности («стохастическомслое») фазовая траектория может уйти в сколь угодно далекую область фазового пространства. Стохастические слои образуют в этом случае «стохастическое море».
Применительно к задаче ионизации Ридберговского электрона,наличие моря необходимо для диффузионной ионизации электрона, траектория которого должна выйти за пределы связанных состояний, имеющих отрицательную энергию. Во многих модельных системах, симулирующих развитиединамического хаоса (например, модель стандартного отображения ЧириковаТейлора), фигурирует некоторый численный пороговый параметр (в моделиЧирикова-Тейлора этим параметром является амплитуда периодических толчков). Превышение порога принципиальным образом меняет топологию фазового пространства, превращая ранее изолированные стохастические слои в стохастическое море. Пороговые значения параметров определяются с помощьюкритерия Чирикова, сводящегося к требованию начала перекрытия всех нелинейных динамических резонансов атомной системы.64Анализ хаотизации одномерной миграции Ридберговского электрона (L =const) вдоль энергетической оси под действием микроволнового поля сводитсяк решению дискретной системы кеплеровских отображений [60,63], причем критическим параметром является пороговое значение амплитуды внешней силыF = −E: > ≈11, ≤ ≃ (3/)1/3 .431/3221/20 (0 ) (1 − / )(2.31)Здесь индекс 0 отмечает исходные величины переменных в начальный моментвремени.
Состояние электрона определяется главным , орбитальным и азимутальным квантовыми числами [107]. Важной чертой обсуждаемой теорииоказывается слабая зависимость параметра от орбитального числа в области, где оно не превышает своего критического значения (2.31): 0 ≈ 35 и ≈ 22. В качестве характерной величины для можно взять ≃ 2/(4940 ).При ≤ (0 ) в фазовом пространстве в окрестности энергии 0 =−1/(220 ) существуют «островки» неустойчивости, чередующиеся с областямирегулярного движения — случай слабого хаоса. При > динамические нелинейные резонансы перекрываются, и реализуется случай K-системы [59] — динамика РЭ становится сильно нестабильной.
Соотношение (2.31) имеет и другуюинтерпретацию: существует определенная граница ≈√︀41/( ), = 30 > 2(2.32)значений квантовых чисел , разделяющая область хаотического ( > ) ирегулярного ( < ) движений РЭ. Оценки (2.31), (2.32) получены при неадиабатичности возмущения микроволновым полем, т.е. когда его относительнаячастота = 30 > 2 [64].Если для исходного состояния 0 амплитуда превышает критическое значение (2.31), то все вышележащие состояния ( > 0 ) также попадают в областьхаотического движения. Граница раздела при этом лежит ниже 0 и играетроль отражающей стенки для диффузионного потока [65, 67], не позволяя РЭмигрировать из хаотической области в регулярную.
В результате случайныхблужданий РЭ достигает ионизационного предела ( = ∞) и уходит в континуум. В работах [60,63,67] приведена оценка времени диффузионной ионизации:65ef (0 ) ≈ 2 4/3 /(0 2 ),(2.33)которая также не зависит от при ≤ .2.4.2Траекторное моделирование квантовых состоянийНами выполнены расчеты траекторий РЭ в атоме водорода, призванныепроверить предположение о неизменности |L| на необходимом для ионизациивременнóм интервале ef (0 ).
В качестве исходного состояния выбран уровень10P, т.е. 0 = 10 и 0 = 1. Квазиклассические правила квантования [107] сопоставляют ему траекторию с энергией 0 = −1/(220 ) и модулем орбитальногомомента 0 = |L0 | = 0 + 0.5 = 1.5. Частота внешнего поля соответствует параметру = 3 (2.32), а его фаза полагается равной нулю. Величины (см.ниже) лежат в области умеренных амплитуд: = Λ[2/(4940 )] (Λ ≤ 8), не сильно превышая критическое значение (2.31).Связь между начальными значениями (r0 , p0 ) классической траектории РЭи квантовыми числами (0 , 0 ) получается с помощью законов сохранения, атакже за счет выбора начального значения времени 0 = 0, которое соответствует моменту прохождения РЭ точки перигелия (per = min ), лежащей наоси (т.е. вектор r0 направлен по и |r0 | = per ). Принимая во внимание (i)связь радиального движения невозмущенного электрона с эффективным потенциаломef () = −1/ + 20 /(22 ),(2.34)(ii) закон сохранения энергии 2 /2 + ef () = 0 и (iii) условие нахождения РЭв точке поворота r0 (где = 0), получаем соотношение− 1/ + 20 /(22 ) = −1/(220 ),|r0 | = rper(2.35)дающее 0 в момент 0 = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
