Диссертация (1149660), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Начальный импульс 0 находится из определенияорбитального момента 0 = |p0 |0 и условия ортогональности r0 , p0 в точке перигелия. Ось берется направленной по вектору p0 (см. Рис. 2.2). В случаеатома водорода удобно работать с вектором Рунге-Ленца (интегралом Лапла-66са) A = [pL] − r/ [110]. Последний лежит в плоскости движения и направленпо большой полуоси кеплеровского эллипса. При нашем выборе начального момента времени векторы r0 и A0 параллельны друг другу. Заметим, что всегдаA ⊥ L.2.4.3Результаты численного моделированияОтметим, что в условиях динамического хаоса характеристики траекторий РЭ (топология, время диффузионной ионизации) оказываются чрезвычайно чувствительными как к начальным условиям, так и к значению величины [63, 64]. Приведенные здесь значения превышают критическое и реализуют относительно большие времена ef ≈ 1.5 × 105 ат.
ед. диффузионнойионизации. Это составляет ef = ef /0 ≈ 25 периодов 0 = 230 начальногоневозмущенного движения. Нами выбраны конфигурации начальных условий,т.е. взаимные ориентации векторов амплитуды напряженности поля E0 = −F,орбитального момента L0 и вектора Рунге-Ленца A0 , которые соответствуютхарактерным типам эволюции момента количества движения L().
Численноемоделирование проводилось на основе последовательности эволюций (2.30) (интегратор четвертого рода), а выбор временнóго шага ∆() (2.26) с константойΠ = 10−8 гарантировал высокую точность получаемых данных (см. детали вПриложении). Расчеты траектории прекращались в момент обращения кулоновской энергии = |p|2 /2 − 1/ РЭ в нуль, что принималось за факт достижения континуума энергий (ионизации).Графики на рис.
2.2a–2.2d иллюстрируют ситуацию для двумерной задачи,когда вектор E0 лежит в плоскости движения , РЭ. В квантовой терминологии это соответствует значению азимутального квантового числа = 0(L0 ⊥ E0 ). Направление E0 мы везде ниже выбираем в качестве выделеннойоси квантования. Графики на рис. 2.2e, 2.2f отвечают случаю трехмерного движения с вектором E0 , ориентированным вдоль оси , т.е. при L0 ‖ E0 и = 0 .Замечательным свойством конфигурации E0 ‖ A0 ( = 0), (рис. 2.2a и 2.2b),оказывается небольшое изменение орбитального момента: ∆ < 0.5 (рис. 2.3a).Подобная эволюция недостаточна для квантовых переходов с изменениеморбитального числа ∆ = ±1.
Здесь оправдана одномерная модель диффузи-67103⋅ε, a.e.20Y, a.e.0a0-20-4-8-400-300-200X, a.e.-100000103⋅ε, a.e.cY, a.e.0-100-20050000t, a.e.100000d-3-6-300-200-100X, a.e.000103⋅ε, a.e.1250-75-400-200X, a.e.50000100000t, a.e.eZ, a.e.bf-3200-25 Y, a.e.0 -50-6050000100000t, a.e.150000Рисунок 2.2: Траектории электрона (a, c, e), соответствующие состоянию 10P,и зависимости его энергии от времени (b, d, f). Верхние (a, b) и средние (c, d)кривые отвечают случаю плоского движения (E0 ⊥ L0 ) с конфигурациямиE0 ‖ A0 , 0 = −10/(4940 ) и E0 ⊥ A0 , 0 = 16.4/(4940 ) соответственно. ЗдесьE0 = −F есть вектор поляризации внешнего поля.
Нижние (e, f) кривыеотвечают случаю, когда вектор амплитуды напряженности поля величиной0 = −12.9/(4940 ) лежит ортогонально начальной плоскости движения , и направлен по L0 (ось ). Все величины приведены в ат. ед.68онной ионизации как для атома водорода [60, 64], так и для атомов щелочныхметаллов [62,65]. Обратим внимание, что несмотря на стохастическое поведениеэнергии (рис. 2.2b), траектория на рис.
2.2a сохраняет относительно регулярный вид, представляя собой набор квазиэллипсов с неизменным направлениемвектора Рунге–Ленца A0 .Средние и нижние графики рис. 2.2 отвечают траекториям с существеннымизменением , что видно из данных рис. 2.3. Однако здесь, в отличие от траектории на рис. 2.2а, вектор A0 , направленный по большой полуоси орбиты,заметно меняет свое направление в пределах сравнительно большого телесногоугла.
Наиболее экзотическим представляется вид траектории на рис. 2.2c. Онасостоит из произвольно ориентированных и сильно вытянутых эллиптическихсегментов, принимающих иногда нитеобразные формы и имеющих сгущения вкулоновском центре. Причиной подобного поведения являются два фактора. Вопервых, многократное прохождение орбитальным моментом нулевого значения (рис. 2.3b). При этом текущий сегмент траектории под действием кулоновского поля приобретает структуру квазипрямолинейного отрезка, направленного к кулоновскому центру (падение на силовой центр для состояний).
Заметим, что для трехмерной траектории рис. 2.2e всегда ≥ | |. В силу симметрии трехмерной задачи относительно вращения вокруг направления внешнегополя (ось ) и соответственно сохранения проекции момента = 1.5 [70] оказывается, что ≥ 1.5 (рис. 2.3c). Именно поэтому траектория рис. 2.2e никогда непроходит через кулоновский центр и не образует там своего сгущения.
Второйфактор необычной формы траектории рис. 2.2c обусловлен собственно режимом динамического хаоса. Для сравнения на рис. 2.4 приведены характеристикитраектории для двумерного регулярного условно-периодического движения РЭв постоянном внешнем поле. Здесь также происходит обращение орбитальногомомента в нуль (рис. 2.4в) с переходом элементов траектории от сильно вытянутой ( = 0) к круговой ( ≃ 10).
Направление большого эллипса, однако,сохраняет свою регулярную ориентацию вдоль оси .В связи с рис. 2.4a и рис. 2.2c следует подчеркнуть важное преимуществометода расщепленных эволюций, позволяющее легко описывать многократноепрохождение траектории через кулоновский центр (начало координат). В традиционных методах типа Рунге-Кутта попадание траектории в окрестность син-69aL, a.e.21.51050000t, a.e.1000006L, a.e.b0-4050000100000t, a.e.9|L|, a.e.c51050000100000150000t, a.e.Рисунок 2.3: Временнáя зависимость углового момента L РЭ.Последовательность графиков и соответствующие им параметры задачи теже, что и для рис. 2.2. В случае плоского движения (a, b) приведенаамплитуда = L .
Для трехмерного движения (c) приведен модуль = |L|.Все величины в ат. ед.70aY, a.e.500-50-100-200-1000X, a.e.100200b103⋅ε, a.e.-4.5-5-5.50400000200000t, a.e.400000c10L, a.e.200000t, a.e.0-100Рисунок 2.4: Траектория электрона (a), временные поведения его энергии (b) и орбитального момента = L (c) для плоского движения (E0 ⊥ L0 ) вслучае стационарного поля ( = 0) с конфигурацией E0 ⊥ A0 ,0 = 0.98/(1640 ). Начальное состояние РЭ то же (10P), что и для рис. 2.3. Всевеличины в ат.
ед.71гулярности силового поля приводит к фатальному нарастанию ошибки вычислений [73].Отметим два интересных наблюдения, следующих из представленных результатов. Во-первых, наступление глобального хаоса и реализацию диффузионной ионизации в случае нижних графиков рис. 2.4 при E0 ‖ L0 , т.е. при = 0 . Это противоречит выводам одномерной модели [60], в соответствии скоторой критическое значение напряженности поля = ∞ при = (см.соотношение (2.31)), т.е. диффузия должна отсутствовать.
Несоответствие стеорией снимается, если заметить, что проекция момента = является интегралом движения даже в переменном внешнем поле в связи с вращательнойсимметрией задачи относительно вектора E0 . Вследствие эволюции (перемешивания по ) текущее значение быстро уходит от начальной величины0 = = 1, так что отношение ||/ перестает быть равным единице, достижение которой приводит к блокировке динамического хаоса.Во вторых, обратим внимание на знаменательный факт недостижимостикритического значения = + 0.5 ≈ (3/ )1/3 во всех разобранных случаях(рис. 2.3). Величина для наших условий равна ≃ 0 = 10.
Указанныйфакт является нетривиальным, поскольку в стационарных условиях рис. 2.4орбитальный момент осциллирует с амплитудой, даже несколько превышающей значение ≃ 10 (рис. 2.4c). Доказательство выполнимости неравенства < в общем случае приведено в следующих разделах.2.5Анализ эволюции углового момента Ридберговского электронаВ настоящем разделе исследуется вопрос о степени ухода орбитального момента L от своего начального значения L0 в процессе диффузионной ионизации. Основное внимание будет уделено предельным случаям, при которыхнаблюдается сильно выраженный дрейф L(). Для выявления возможных особенностей поведения L(), прежде всего рассматривается стационарная задача( = 0).
На основании полученных аналитических выражений находятся двепредельные начальные конфигурации векторов L0 , E0 и A0 , соответствующие72максимально возможным осцилляциям L(). Затем мы исследуем нестационарную задачу с внешним микроволновом полем. За счет преобразования подобия = /30 ; r̃ = r/20 уравнения движения удается привести к унифицированномувиду с начальным состоянием РЭ 0 = 1, 0 = 0. Это позволяет с помощью численного моделирования продемонстрировать выполнение неравенства < на всех стадиях диффузионной ионизации.2.5.1Аналитическая модель эволюции атома водорода вовнешнем стационарном электрическом полеОсновные черты динамики углового момента L РЭ можно проследить напримере воздействия на атом водорода внешнего стационарного поля E() =E0 = −F0 .
В диапазоне умеренных амплитуд 0 (см. ниже) эволюцию вектора L() удобно находить с помощью усреднения по кулоновской траекторииэлектрона уравнения для скорости L/ [69]:⟨L⟩ = [⟨r⟩F0 ] ,(2.36)на усреднение указывает символ ⟨. . . ⟩. Умеренность возмущения подразумевает незначительные изменения параметров кеплеровских орбит r() РЭ за период = 23 классического движения. Здесь используется идеология квазиклассического приближения, когда состоянию с квантовыми числами {, , }сопоставляется в соответствии с принципом соответствия Бора классическаятраектория со следующими интегралами движения [107]: энергией = −1/22 ,модулем момента количества движения = + 0.5 ( есть орбитальное квантовое число) и проекцией = ( есть азимутальное квантовое число) навыделенное направление вектора поляризации E0 внешнего поля.Среднее значение ⟨r⟩ направлено по большой полуоси (длины = 2 ) кеплеровского эллипса и поэтому выражается согласно уравнению ⟨r⟩ = 3A/2 черезвектор Рунге–Ленца (интеграл Лапласа) A = [vL] − r/ [69, 70] (здесь v — скорость РЭ).
В уравнение эволюции ⟨L⟩, следовательно, входит среднее ⟨A⟩:3⟨L⟩ = [F0 ⟨A⟩] .2(2.37)73Эволюция последнего, в свою очередь, связана [112] с вектором ⟨L⟩:3⟨A⟩ = [F0 ⟨L⟩] .(2.38)2Отметим, что / = 0, и длина = 2 = 20 большой полуоси не претерпевает эволюции, оставаясь адиабатически неизменной. Здесь и далее индекс 0указывает на исходные (невозмущенные) значения физических величин в момент включения внешнего поля. Замкнутая система уравнений (2.37), (2.38)расщепляется на два независимых уравнения после перехода к новым переменным G± и перенормировки (изменения масштаба) времени:G± =√⟨L⟩ ± ⟨A⟩,√ = , = 20 ,(2.39)3⟨G± ⟩ = ± [F0 ⟨G± ⟩] .(2.40)2Уравнение (2.40) имеет наглядную геометрическую интерпретацию: векторыG± вращаются вокруг вектора F0 в противоположных направлениях (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
