Диссертация (1149654), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Заметим, что до этого момента мыне определили несущую частоту и волновое число, которые следует выбрать изусловия конструктивной интерференции, = | |.(2.8)Далее мы будем считать, что это условие выполнено, чем задан выбор продольной моды резонатора, а коэффициент отражения на обход положим вещественным и положительным.В случае малых потерь поля на обход резонатора и медленной в масштабе = 2/ поперечной зависимости поля, когда можно принять параксиальноеприближение, продольные и поперечные изменения огибающей выделенной моды поля за один проход через интерферометр невелики:|ℰ̃ − ⟨ℰ̃⟩| ≪ |⟨ℰ̃⟩|.(2.9)Здесь угловые скобки означают усреднение в продольном направлении:1⟨ℰ̃(, )⟩ =∫︁ℰ̃(, , ).0Расплывание ∆ за счет дифракции поперечной детали изображения длиной на длине резонатора оценивается как ∆ ∼ ( /) и предполагается относительно малым, ∆ ≪ .
Иначе говоря, число Френеля , заданное черезхарактерные длины и , должно быть велико, 2 / ≫ 1.Усредним квазиоптическое уравнение (2.5) по длине резонатора , чтодает21 ⟨ℰ̃(, )⟩ )︁[ℰ̃(, , ) − ℰ̃(0, , )] ++ ∇2⊥ ⟨ℰ̃(, )⟩ = 0.(︁ 134ˆ на амплитуду поля фактическиРезультат действия дифракционного оператора уже содержится в последнем равенстве. Выражая ℰ̃(0, , ) с помощью граничного условия (2.6), получаем уравнение, описывающее эффекты чисто поперечнойраспределенности: 21 (︁1 ⟨ℰ̃(, )⟩−∇⊥ ⟨ℰ̃(, )⟩ +[1 − ]ℰ̃(, , )−2)︁−( − )() ℰ (0, , ) = 0.Учитывая (2.9), можем положить ℰ̃(, , ) ≈ ⟨ℰ̃(, )⟩, где дальше будем опускать символ продольного усреднения, что приводит к уравнению развития медленной амплитуды поля в пустом резонаторе вида11 ℰ̃(, ) 21∇⊥ ℰ̃(, ) − [1 − ]ℰ̃(, ) + −( − ) ℰ () (0, , ).
(2.10)= 2Согласно этому уравнению, изменение во времени поля внутри интерферометравызывается дифракцией (вклад, пропорциональный ∇2⊥ ℰ̃), многократным отражением от зеркал и вводом внешнего излучения (последние вклады в правойчасти).Во втором выходном канале зеркала связи также происходит когерентноесложение циркулирующего внутри интерферометра и входного поля, () (0, , ) = (, , ) − () (0, , ),где минус в правой части обеспечивает унитарность преобразования на зеркалесвязи. Перепишем последнее равенство для медленно меняющихся амплитуд:ℰ () (0, , ) = −( − ) ℰ̃(, ) − ℰ () (0, , ).2.3(2.11)Переход к эволюции квантованных полейВ данном разделе мы пользуемся упрощенной процедурой перехода кквантованным полям.
Строгое обоснование такого перехода приведено, к примеру, в [81,82]. Итак, определим фотонные единицы измерения классической ам2˜плитуды такие, что величина |()|выражает энергию поля в числе квантов~ на см2 поперечного сечения на всей длине резонатора,˜ )|2 , = ~ |(,35где – площадь зеркала резонатора. В единицах cgse энергия поля в резонатореопределяется через медленную амплитуду в соответствии с выражением|ℰ̃(, )|2 =,8где = – объем резонатора. Сравнивая эти два определения, восстанавливаем связь√︂8~ ˜ℰ̃(, ) = (, ).˜ ) заменяется на операторПри переходе к квантованному полю амплитуда (,˜ ) в нормировке, где величина ˜† (, )(,˜ ) есть операторуничтожения (,числа фотонов на см2 поперечного сечения на всей длине резонатора.Квантованную амплитуду внешнего сигнального поля введем в нормировке, естественной для свободного пространства.
Амплитуду в фотонных единицах () (, , ) свободного поля определим так, что энергия объема поля,проходящего через поперечное сечение потока за 1 с запишется в виде~ |() (, , )|2 .Та же энергия определяется через медленную амплитуду в единицах cgse как|ℰ () (, , )|2,8что дает√︂ℰ () (, , ) = 8~ () (, , ).При переходе к квантовой теории () (, , ) заменяется на оператор уничтожения () (, , ). Величина ()† (, , )() (, , ) есть оператор числа фотонов в 1 см2 поперечного сечения на длине, которую проходит свет за 1 с (тоесть в объеме, численно равном скорости света c).Уравнение развития квантованного поля возникает из (2.10) с учетом введенных выше обозначений в виде√︂˜ )1 − ˜ 2 ˜11 (,∇⊥ (, ) −(, ) += () (0, , )−( − ) , 2(2.12)36√︀где мы положили / → 1 для сигнала на несущей частоте, близкой к частоте резонаторной моды.
Скорость затухания поля в пустом резонаторе с коэффициентом энергетического пропускания зеркала связи | |2 ≪ 1 имеет вид| |2(1 − 2 )(1 − )==≈2.(2.13)Учитывая, что отклик резонаторного поля на внешний квазимонохроматическийсигнал будет происходить на частоте сигнала, определим новую медленную амплитуду (, ) относительно несущей − ,˜ ) = (, )−( − ) ,(,что после подстановки в (2.12) позволяет записать уравнение эволюции квантованного поля в виде[︂ (︂]︂)︂√(, ) 2= − +∇⊥ −(, ) + () (0, , ).(2.14)22Для второго выходного канала зеркала связи из (2.11) с учетом указанных вышепреобразований получаем:() (0, , ) =√(, ) − () (0, , ).(2.15)Здесь мы также приняли ≈ 1.Таким образом, операторы электрической напряженности полей (поляризованных компонент) определяются соотношениями вида√︂2~ () () (, , ) = (, , ) exp {( − )} + э.с.,√︂2~(, , ) = (, ) exp {( − )} + э.с.,где операторы медленных амплитуд () и связаны соотношением (2.14) иудовлетворяют коммутационным соотношениям, [82][() (, , ), ()† (, ′ , ′ )] = ( − ′ )( − ′ ),(2.16)[(, ), † (′ , )] = ( − ′ ).(2.17)372.4Взаимодействие ансамбля атомов и световыхполейДля описания взаимодействия полей и вещества мы вначале исходим изгамильтониана квантового неразрушающего взаимодействия, в котором два перехода в атомах (под действуем двух полей – сигнального и опорного) заменяются одним эффективным переходом между двумя нижними подуровнями всилу большой отстройки полей от атомного перехода.
Мы не рассматриваем явно квадратичный по сильному полю вклад в эффективный гамильтониан, так какпорождаемые им световые сдвиги нижних подуровней при сильной отстройке(| − | ≫ Ω) одинаковы для нижних подуровней и не приводят к дополнительной фазовой модуляции спиновой амплитуды. Мы также не рассматриваемквадратичный по слабому полю вклад, считая что порождаемый им сдвиг частоты резонаторного поля включен в определение собственной частоты резонатора.Сильная классическая плоская опорная волна распространяется вдольили против оси и поляризована вдоль оси . Зеркала резонатора считаютсяпропускающими опорное поле (например, ввиду различия поляризации волн).Опорное и сигнальное поля, частоты которых есть и , отстроены от частоты атомного перехода на частоту, много бо́льшую скорости распада верхнегоуровня, то есть рассматривается нерезонансный (рамановский) режим взаимодействия поля и вещества.До выделения в спектре сигнала компонент на частотах ± Ω развитиеатомов и поля определяется [18] гамильтонианом квантового неразрушающеговзаимодействия:∫︁2 ||2r (r, ) (r, ),(2.18)=( − ) где и есть дипольный матричный элемент и частота электронного перехода, (r, ) – проекция вектора Стокса, определяемая как разность интенсивностейволн (в принятой нормировке), поляризованных по правому и левому кругу, (r, ) = Λ† (r, )Λ (r, ) − Λ† (r, )Λ (r, ).Здесь Λ, – амплитуды полей, имеющих правую и леую поляризациюв плоскости {, }; при этом полное поле определяется как , (r, ) =38(2~ /)1/2 , (r, ) + ℎ..
Для указанной геометрии распространения сигнального и опорного полей полная амплитуда поля в резонаторе имеет видΛ(r, ) = () exp {( − )}e + (, ) exp {( − )}e ,(2.19)где () – медленная амплитуда опорной волны (с волновым числом = /),e и e – единичные векторы поляризации, направленные вдоль осей и .Геометрический фактор определяет направление распространения опорнойволны: = 1 для волны, распространяющейся вдоль , = −1 для волны,распространяющейся вдоль −.Орты, соответствующие правой (r) и левой (l) круговой поляризации поля,запишем в виде1e = √ (e − e ),21e = − √ (e + e ).2Проектируя полное поле (2.19) на эти орты, мы определяем амплитуды полей,поляризованных соответствующим образом, что позволяет найти -проекциювектора Стокса: (r, ) = * ()(, ) exp {[( − ) − ( − )]} + э.с..(2.20)Учитывая (2.1) и (2.20), приводим гамильтониан неразрушающего взаимодействия к виду∫︁(︁)︁(︁)︁*˜ = −~r (r, )−э.с.
()(, ) exp {[( − ) − ( − )]}−э.с. ,(2.21)где˜ =() ||2 √︀2 ⟨ ⟩ ().~( − )Для того, чтобы в представлении Гайзенберга учесть взаимодействие поля в резонаторе и ансамбля атомов, в правые части уравнений (2.3) и (2.14)следует добавить вклады, связанные с развитием амплитуд через гамильтониан(2.21):[︁ (︁√ 2 )︁ ]︁(, ) = − +∇⊥ −(, ) + () (0, , )−22∫︁(︁)︁˜() (r, ) − э.с. exp {−[( − ) − ( − )]},(2.22)39(︁)︁*˜(r, ) = −Ω(r, ) − ()(, ) exp {[( − ) − ( − )]} − э.с. .(2.23)Здесь – длина среды вдоль оси .
Полученные уравнения описывают двавстречных процесса: обмен состояниями между полем резонаторной моды иколлективным спином (вклады в правой части уравнений той же частоты, чтои в левой), а также сжатие и перепутывание, за что отвечают вклады противоположной частотности. При этом условие = + Ω выделяет канал рассеяния света на атомах, отвечающий обмену состояниями, т.е. памяти, а условие = − Ω выделяет канал генерации неклассических состояний света и вещества. При условии, что расщепление нижних подуровней много больше ширинылинии резонатора (а следовательно и ширины частотного спектра квантованногосигнала), |Ω| ≫ , и собственная частота резонатора близка к одной из указанных частот, ≈ ±Ω, резонатор будет поддерживать один из каналов – памятьили генерацию – и подавлять второй.2.5Построение уравнений эволюции канала памятиВ этом разделе рассматривается описание эволюции системы для случая, когда резонатором выделена частота сигнала = + Ω.
Примем, чтоспектральная ширина сигнального поля много меньше расщепления Ω и амплитуду можно считать медленной в масштабе ∼ 1/Ω. Вследствие прецессии спинов ∼ exp (−Ω), в правой части уравнений (2.22), (2.23) следует отброситьбыстро осциллирующие относительно медленных амплитуд вклады, связанныесо сжатием и перепутыванием.Введем медленную во времени и постоянную вдоль оси коллективнуюамплитуду (, ),1(r, ) = √ (, ) exp {[( − ) − Ω]} + . . .
.(2.24)Здесь вклад остальных продольных мод обозначен через «. . .». Эти моды неучаствуют во взаимодействии с резонаторным полем, но обеспечивают правильное коммутационное соотношение (2.2). Амплитуда∫︁1(, ) = √(r, ) exp {−[( − ) − Ω]}(2.25) 40удовлетворяет такому же коммутационному соотношению, как амплитуда поляв резонаторе[(, ), † (′ , )] = ( − ′ ).(2.26)При этом величина † ()() отвечает числу возбуждений на 1 см2 сеченияатомного ансамбля. Основные уравнения приводятся к виду[︁ (︁√ 2 )︁ ]︁(, ) = − +∇⊥ −(, ) + () (0, , ) − ()(, ),22(, ) = − * ()(, ),√˜где параметр связи () = () определяет частоту обмена состояниями между коллективным спином и квантованным полем в резонаторе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
