Диссертация (1149648), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Èç Òàáëèöû 4.6.5.1 âèäíî, ÷òî íà 40-é èòåðàöèèïîëó÷åíî çíà÷åíèå, êîòîðîå íåñêîëüêî ëó÷øå âåëè÷èíû I(z ∗ , u∗ ).Òàáëèöà 4.6.5.1kI1 (zk , uk )1Φ(zk , uk )||G(zk , uk )||1155.5698 1215.235641073.1875100.11962011.8934511.18983300.87211.15231400.004450.022171Òåïåðü ðàññìîòðèì çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëàZ 1onZ 12x26 (t) dtI2 = maxx3 (t) dt,00ñ òîé æå ñèñòåìîé, è òåìè æå îãðàíè÷åíèÿìè, ÷òî áûëè çàäàíû è âìåñòå ñ ôóíêöèîíàëîìI1 . Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèîíàë I2 íå ÿâëÿåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûì, ÷òî äåëàåò íåâîçìîæíûìïðèìåíåíèå ê ýòîé çàäà÷å èçâåñòíûõ ãðàäèåíòíûõ ìåòîäîâ. Òàáëèöå 4.6.5.2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìåòîäà ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà. êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âçÿòà òî÷êà u = [0.5, 0.5], z(t) = [0.5, 1, 1, 1, 0.5, 0.5], àòîãäà x(t) = [0.5t, 22 + t, t, t, 0.5t, −1 + 0.5t, 0.5t].Òàáëèöà 4.6.5.2Φ(zk , uk )||G(zk , uk )||11155.56981175.3361074.187399.18942013.822215.81931300.65430.99113k35Ïðèìåð 4.6.6.I2 (zk , uk )0.00320.0324 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì ïðèìåð ñ ñèñòåìîéẋ1 = −0.0297x1 + x3 + 0.0438x4 ,ẋ2 = −0.106ẋ3 − 1.17x1 − 0.79x2 + 0.129x3 + 1.58u1 ,ẋ3 = −0.0423ẋ2 + 0.379x1 − 0.0125x2 − 0.0096x3 + 0.379u2 ,ẋ4 = x2 , ẋ5 = x3è ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèx(0) = [0.1, 0.5, 0.2, 0.1, 0.4], x(5) = [0.2, 0.4, −0.1, 0, 0.5]Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ðåñóðñû óïðàâëåíèÿ, êîòîðûå çàäàíû ôóíêöèîíàëîìZ 5I=u21 (t) + u22 (t) dt.0Äàííûé ïðèìåð ðàññìîòðåí â ðàáîòå [65] ñ äðóãèì ôóíêöèîíàëîì êà÷åñòâà, îäíàêî òàìíå óêàçàíû êðàåâûå óñëîâèÿ.72 Òàáëèöå 4.6.6 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìåòîäà ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà. êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âçÿòà òî÷êà u = [0.5, 0.5], z(t) = [0.5, 0.5, 0.5, 0.5, 0.5], àòîãäà x(t) = [0.1 + 0.5t, 0.5 + 0.5t, 0.2 + 0.5t, 0.1 + 0.5t, 0.4 + 0.5t].Òàáëèöà 4.6.6Φ(zk , uk )||G(zk , uk )||12094.118332213.23310152.35170.619152080.235483.22333010.6544515.38545401.31251.74432k45I(zk , uk )1.08320.0283 ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðàõ ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ïîêàçàë àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû.73Ãëàâà 5Äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèå ñ çàäàííûìè ìíîãîçíà÷íûì îòîáðàæåíèåì è íà÷àëüíîé òî÷êîé.

Äëÿ ýòîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ òðåáóåòñÿíàéòè ðåøåíèå, äîñòàâëÿþùåå ìèíèìóì èíòåãðàëüíîìó ôóíêöèîíàëó. Ñ ïîìîùüþ àïïàðàòàîïîðíûõ ôóíêöèé è àïïàðàòà òî÷íûõ øòðàôíûõ ôóíêöèé â ñëó÷àå íåïðåðûâíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè îïîðíîé ôóíêöèè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ ïî ôàçîâûì ïåðåìåííûì ïîëó÷åíû íåêîòîðûå êëàññè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïðèíöèïà ìàêñèìóìà äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõâêëþ÷åíèé.5.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíîå âêëþ÷åíèåẋ ∈ F (x, t)(5.1)x(0) = x0 .(5.2)ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåì ôîðìóëå (5.1) F (x, t) çàäàííîå íåïðåðûâíîå ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå ïðè t ∈ [0, T ], x n-ìåðíàÿ íåïðåðûâíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò ñ êóñî÷íî-íåïðåðûâíîé íà [0, T ]ïðîèçâîäíîé, T > 0 çàäàííûé ìîìåíò âðåìåíè.

Áóäåì ïîëàãàòü, ÷òî êàæäîìó ìîìåíòóâðåìåíè t ∈ [0, T ] è êàæäîé ôàçîâîé òî÷êå x ∈ Rn ôóíêöèÿ F (x, t) ñòàâèò â ñîîòâåòñòâèåíåêîòîðûé âûïóêëûé êîìïàêò èç Rn .Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêóþ âåêòîð-ôóíêöèþ x∗ ∈ Cn [0, T ], ÿâëÿþùóþñÿ ðåøåíèåì âêëþ÷åíèÿ (5.1) è óäîâëåòâîðÿþùóþ íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (5.2), êîòîðàÿ äîñòàâëÿåò ìèíèìóìôóíêöèîíàëóTZI(x) =f0 (x, t)dt,074(5.3)ãäå f0 çàäàííàÿ âåùåñòâåííàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, íåïðåðûâíàÿ ïî îáîèì àðãóìåíòàì èíåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ïî x.5.2Ýêâèâàëåíòíàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷èÄàëåå äëÿ êðàòêîñòè áóäåì èíîãäà ïèñàòü F âìåñòî F (x, t). Ïîñêîëüêó ∀t ∈ [0, T ]è ∀x ∈ Rn ìíîãîçíà÷íîå îòîáðàæåíèå F (x, t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âûïóêëîå çàìêíóòîå èîãðàíè÷åííîå ìíîæåñòâî, âêëþ÷åíèå (5.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü èíà÷å [11](ẋ, ψ) 6 c(F, ψ) ∀ψ ∈ S, ∀t ∈ [0, T ].Îáîçíà÷èì z(t) = ẋ(t), z ∈ Pn [0, T ], òîãäà ñ ó÷¼òîì (5.2) áóäåòZ tz(τ )dτ.x(t) = x0 +0Ââåä¼ì ôóíêöèè`(ψ, z, t) = (z, ψ) − c(F, ψ),(5.4)h(z, t) = max max{0, `(ψ, z, t)}(5.5)ψ∈Sè ñîñòàâèì ôóíêöèîíàësZTh2 (z, t)dt.ϕ(z) =(5.6)0Ââåä¼ì ìíîæåñòâîΩ = {z ∈ Pn [0, T ] | ϕ(z) = 0}.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî äëÿ ôóíêöèîíàëà (5.6) ñïðàâåäëèâû ñîîòíîøåíèÿ ϕ(z) = 0 (z ∈ Ω), eñëè (ẋ, ψ) 6 c(F, ψ) ∀ψ ∈ S, ∀t ∈ [0, T ],ϕ(z) > 0 (z ∈/ Ω), â ïðîòèâíîì ñëó÷àå.Çàïèøåì ôóíêöèîíàëΦλ (z) = I(z) + λϕ(z),â êîòîðîìZI(z) = I(x0 +(5.7)tz(τ )dτ ),0λ äîñòàòî÷íî áîëüøîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî.

Äàëåå áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ çàäà÷ó ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (5.3) ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé (5.1), (5.2) ìîæíî ñâåñòè ê áåçóñëîâíîé ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (5.7).755.3Äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèîíàëîâϕèIÑ÷èòàåì, ÷òî îïîðíàÿ ôóíêöèÿ c(F, ψ) ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F (x, t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî ôàçîâîé ïåðåìåííîé x. Òîãäà äëÿ ëþáûõ x, y ∈ Cn [0, T ] è ëþáîãît ∈ [0, T ] áóäåòc F (x + αy, t), ψ − c F (x, t), ψ = ∂c(F, ψ) o(α, t)=α, y + o(α, t),→ 0 ïðè α ↓ 0.∂xα(5.8)Ïóñòü v ∈ Pn [0, T ]. Ïîëîæèìzα (t) = z(t) + αv(t),Z tv(τ )dτ.y(t) =0Ðàññìîòðèì ôóíêöèîíàë ϕ ïîäðîáíåå.Âû÷èñëèì`(ψ, zα , t) = `(ψ, z, t) + αH1 (ψ, z, v, t) + o(α, t),ãäåH1 (ψ, z, v, t) = (ψ, v(t)) −Z0to(α, t)→ 0 ïðè α ↓ 0,α∂c(F, ψ) v(τ )dτ,.∂xÇäåñü èñïîëüçîâàíû ñâîéñòâî àääèòèâíîñòè îïîðíîé ôóíêöèè ïî ïåðâîìó àðãóìåíòó [12] èðàâåíñòâî (5.8).Ñ ó÷¼òîì (5.4) è (5.5) äàëåå íàéä¼ìh(zα , t) = h(z, t) + αH(z, v, t) + o(α, t),o(α, t)→ 0 ïðè α ↓ 0,αãäåH(z, v, t) = max H1 (ψ, z, v, t), max `(ψ, z, t) > 0,ψ∈Sψ∈RH(z, v, t) = 0, max `(ψ, z, t) < 0,ψ∈SH(z, v, t) = max max{0, H1 (ψ, z, v, t)}, max `(ψ, z, t) = 0,ψ∈Sψ∈RnoR(t) = ψ(t) ∈ S | max{0, `(ψ, z, t)} = max max{0, `(ψ, z, t)} .ψ(t)∈S ñèëó ñòðóêòóðû ôóíêöèîíàëà (5.4) íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå `(ψ, z, t) > 0ìàêñèìóì âûðàæåíèÿmax{0, `(ψ, z, t)} = `(ψ, z, t)äîñòèãàåòñÿ íà åäèíñòâåííîì ýëåìåíòå ψ ∗ (t) ∈ S , ïîýòîìó â ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî R(t)ñîñòîèò èç åäèíñòâåííîãî ýëåìåíòà ψ ∗ (t).76Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå (5.6), ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî èìååò ìåñòî ðàçëîæåíèåZ Th(z, t)o(α)ϕ(zα ) = ϕ(z) + αH(z, v, t)dt + o(α),→ 0 ïðè α ↓ 0.ϕ(z)α0(5.9)Ââåä¼ì ìíîæåñòâàT+ (z) = {t ∈ [0, T ] | `(ψ, z, t) > 0},T− (z) = {t ∈ [0, T ] | `(ψ, z, t) < 0},T0 (z) = {t ∈ [0, T ] | `(ψ, z, t) = 0}.Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåíèå äëÿ ôóíêöèîíàëà H , ðàçëîæåíèå (5.9) è áåðÿ êëàññè÷åñêóþâàðèàöèþ ôóíêöèîíàëà ϕ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ëåììó.Ëåììà 5.3.1.

Åñëè îïîðíàÿ ôóíêöèÿ c(F, ψ) ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F (x, t) íåïðåðûâ-íî äèôôåðåíöèðóåìà ïî ôàçîâîé ïåðåìåííîé x, òî:ˆïðè z ∈/ Ω ôóíêöèîíàë ϕ äèôôåðåíöèðóåì ïî Ãàòî è åãî ãðàäèåíò â òî÷êå z íàõîäèòñÿïî ôîðìóëåZ T∗h(z, t) ∗ψ (t) −ϕ(z)∇ϕ(z) =ˆh(z, τ ) ∂c(F (x, τ ), ψ (τ ))dτ,ϕ(z)∂xtïðè z ∈ Ω ôóíêöèîíàë ϕ ñóáäèôôåðåíöèðóåì è åãî ñóáäèôôåðåíöèàë â òî÷êå z íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëåZn∂ϕ(z) = w(t)ψ(t) −tTo∂c(F (x, τ ), ψ(τ )) w(τ )dτ w ∈ W, ψ(t) ∈ R(t) ,∂xnR(t) = ψ(t) ∈ B(0, 1) | max{0, `(ψ, z, t)} =max(5.10)omax{0, `(ψ, z, t)} ,ψ(t)∈B(0,1)ZW = {w ∈ P [0, T ] |Tw(t), w(t) dt 6 1; w(t) > 0 ∀t ∈ T0 , w(t) = 0 ∀t ∈ T− }.0Çàìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå òàêæå èìååò ìåñòî ðàâåíñòâîµw(t)∂c(F (x, t), ψ(t))∂c(F (x, t), µw(t)ψ(t))=∀t ∈ [0, T ], ∀µ > 0.∂x∂x(5.11)Íàõîäÿ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèîíàëà I ïî íàïðàâëåíèþ v ∈ Pn [0, T ], óáåæäàåìñÿ [39], ÷òîîí äèôôåðåíöèðóåì ïî Ãàòî0ZI (z, v) =0TZTt∂f0dτ, v(t) dt,∂xè åãî ãðàäèåíò íà ìíîæåñòâå Pn [0, T ] íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëåZ T∂f0dτ.∇I(z) =∂xt77(5.12)5.4Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìàÏîëüçóÿñü èçâåñòíûì äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì [23] ëîêàëüíîé òî÷íîñòè øòðàôíîé ôóíêöèè Φλ , çàêëþ÷àåì, ÷òî ñïðàâåäëèâàÏóñòü òî÷êà z0 ∈ Ω ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì ôóíêöèîíàëà I íàìíîæåñòâå Ω â ìåòðèêå ρ.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòèÒåîðåìà 5.4.1.Ωδ = {z ∈ Pn [0, T ] | ρ(z, z0 ) < δ}òî÷êè z0 âûïîëíåíî ñîîòíîøåíèåϕ↓ (z) 6 −a < 0 ∀z ∈ Ωδ \ Ω.Ïóñòü òàêæå ôóíêöèîíàë I ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì íà ìíîæåñòâå Ωδ . Òîãäà ñóùåñòâóåòòàêîå ÷èñëî λ∗, ÷òî äëÿ ëþáîãî λ > λ∗ òî÷êà z0 áóäåò ëîêàëüíûì ìèíèìóìîì ôóíêöèîíàëàΦλ â ìåòðèêå ρ.Òåîðåìà 5.4.2. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ Òåîðåìû 5.4.1.

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îïîðíàÿ ôóíê-öèÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F (x, t) èçòîãî ÷òîáû òî÷êà∗(5.1)Zx = x0 +íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà ïî x. Äëÿtz ∗ (τ )dτ0óäîâëåòâîðÿëà âêëþ÷åíèþ (5.1) è óñëîâèþ (5.2) è äîñòàâëÿëà ìèíèìóì ôóíêöèîíàëó (5.3),íåîáõîäèìî, ÷òîáû íàøëàñü òàêàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ Ψ(t), ÷òî äëÿ âñåõ t ∈ [0, T ] âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ∗∗Ψ̇(t) = −∂c(F (x , t), Ψ(t)) ∂f0 (x , t)+,∂x∂x(5.13)(ẋ∗ , Ψ(t)) − c(F (x∗ , t), Ψ(t)) = 0,(5.14)Ψ(T ) = 0.(5.15)Äîêàçàòåëüñòâî.

Òåîðåìà 5.4.1 óòâåðæäàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî λ∗> 0, ÷òî äëÿâñåõ λ > λ∗ òî÷êè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà (5.3) íà ìíîæåñòâå, çàäàâàåìîì îãðàíè÷åíèÿìè (5.1), (5.2), ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà (5.7) íà âñ¼ìïðîñòðàíñòâå.Ïîëîæèì Ψ(t) = λw(t)ψ(t), ãäå âåêòîð-ôóíêöèÿ w(t) áåð¼òñÿ èç ìíîæåñòâà W , àâåêòîð-ôóíêöèÿ ψ(t) èç ìíîæåñòâà R(t). Ïîñêîëüêó ïî Ëåììå 5.3.1 ïðè z ∈ Ω ôóíêöèîíàë ϕ ñóáäèôôåðåíöèðóåì, è åãî ñóáäèôôåðåíöèàë âûïèñàí â (5.10), à ôóíêöèîíàë I78äèôôåðåíöèðóåì ïî Ãàòî, è åãî ãðàäèåíò âûïèñàí â (5.12), òî èç èçâåñòíîãî íåîáõîäèìîãîóñëîâèÿ ìèíèìóìà [23]0n ∈ ∂Φ(z ∗ )èìååì ñ ó÷¼òîì (5.11), ÷òî â òî÷êå ìèíèìóìà äëÿ âñåõ t ∈ [0, T ] äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèåZ TZ T∂f0 (x∗ , t)∂c(F (x∗ , t), Ψ(t))−dτ + Ψ(t) +dτ = 0n ,(5.16)∂x∂xttãäå 0n íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà Pn [0, T ]. Äèôôåðåíöèðóÿ (5.16) íà èíòåðâàëå âðåìåíè[0, T ], ïîëó÷àåì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèéΨ̇(t) = −∂c(F (x∗ , t), Ψ(t)) ∂f0 (x∗ , t)+∂x∂xñ êîíöåâûì óñëîâèåì Ψ(T ) = 0, è ïðèõîäèì ê ñîîòíîøåíèÿì (5.13), (5.15).Ïðè t ∈ T0 èç âèäà ôóíêöèè `(ψ, z, t) ïîëó÷àåì (z, Ψ) = c(F, Ψ), ïðè t ∈ T− w(t) = 0,è ñîîòíîøåíèå (5.14) îñòà¼òñÿ â ñèëå.

Òàêèì îáðàçîì, (5.14) äîëæíî èìåòü ìåñòî ïðè ëþáîìt ∈ [0, T ].Òåîðåìà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå 5.4.1. Òåîðåìà 5.4.2 ñôîðìóëèðîâàíà äëÿ çàäà÷è ñî ñâîáîäíûì ïðàâûì êîíöîì.Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî ñîîòíîøåíèÿ (5.13), (5.14) áóäóò èìåòü ìåñòî è äëÿ çàäà÷è ñ ôèêñèðîâàííûì ïðàâûì êîíöîì, îäíàêî êîíöåâîå çíà÷åíèå Ψ(T ) äëÿ ýòîé çàäà÷è â îáùåì ñëó÷àåáóäåò íåíóëåâûì, òî åñòü çäåñü (5.15) óæå íå áóäåò èìåòü ìåñòà.5.5Ïðèìåð 5.5.1.×èñëåííûå ïðèìåðûÐàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ẋ1 = u1 , ẋ = x ,21â êîòîðîé îãðàíè÷åíèå íà óïðàâëåíèå çàäà¼òñÿ ìíîæåñòâîìU = {u ∈ R2 | |u1 | 6 1, u2 = 0}.Ïóñòüçàäàíûíà÷àëüíîåïîëîæåíèåx0=(0, 0)èêîíå÷íîåñîñòîÿíèåx(1) = (−1/2, −1/3) ñèñòåìû.

Характеристики

Список файлов диссертации