Диссертация (1149648), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Òðåáóåòñÿ ïîäîáðàòü òàêîå óïðàâëåíèå u∗ ∈ U , ïðè êîòîðîì ôóíêöèîíàëZ1I(x) =x2 (t)dt079ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå.Èñõîäíóþ ñèñòåìó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå âêëþ÷åíèÿẋ ∈ F (x),ãäå[−1, 1].F (x) = x1Ïîñêîëüêó îïîðíàÿ ôóíêöèÿ c(A, b) îòðåçêà A = {a ∈ R | a ∈ [−1, 1]} èìååò âèä |b|[10], òî â äàííîì ñëó÷àå îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F (x) âûðàæàåòñÿ ïîôîðìóëåc(F, ψ) = |ψ1 | + x1 ψ2 .Âèäíî, ÷òî ôóíêöèÿ c(F, ψ) ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ïî ôàçîâûì ïåðåìåííûì è å¼ ãðàäèåíò âûïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì∂c= (ψ2 , 0)0 .∂xÃðàäèåíò ïîäûíòåãðàëüíîé ôóíêöèè f0 èìååò âèä∂f0= (0, 1)0 .∂xÈç Òåîðåìû 5.4.2 ñ ó÷¼òîì Çàìå÷àíèÿ 5.4.1 ñëåäóåò, ÷òî âåêòîð-ôóíêöèÿ ψ(t) äîëæíàóäîâëåòâîðÿòü ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ψ̇1 = −ψ2 ,(5.17) ψ̇ = 1.2Èç Òåîðåìû 5.4.2 ñ ó÷¼òîì Çàìå÷àíèÿ 5.4.1 òàêæå ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ψ(t) äëÿ âñåõ tíåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèé(ẋ, ψ(t)) = u1 ψ1 + x1 ψ2 = c(F, ψ) = |ψ1 | + x1 ψ2 ,îòñþäà äëÿ âñåõ t äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâîu1 (t)ψ1 (t) = |ψ1 (t)|.(5.18)Èç (5.17), (5.18) óæå íåòðóäíî ïîëó÷èòü îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèåu∗1 (t) = −1,u∗1 (t) = 1,t ∈ [0, τ1 ),t ∈ [τ1 , τ2 ),80(5.19)u∗1 (t) = −1,t ∈ [τ2 , 1],è ñîîòâåòñòâóþùóþ åìó îïòèìàëüíóþ òðàåêòîðèþx∗1 (t) = −t, x∗2 (t) = −t2 /2, t ∈ [0, τ1 ),x∗1 (t) = t + S1 , x∗2 (t) = t2 /2 + S1 t + S2 , t ∈ [τ1 , τ2 ),(5.20)x∗1 (t) = −t + 1/2, x∗2 (t) = −t2 /2 + t/2 − 1/2, t ∈ [τ2 , 1],ãäå τ1 = 13/24, τ2 = 19/24, S1 = −13/12, S2 = 169/576.
Äëÿ ïîèñêà âåëè÷èí τ1 , τ2 , S1 , S2 â(5.19), (5.20) èñïîëüçîâàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ è óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè òðàåêòîðèè.Ïðèìåð 5.5.2.Ðàññìîòðèì åù¼ îäèí ïðèìåð. Äàíî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèådyyu=, x ∈ [x− , x+ ]dxxñ êðàåâûìè óñëîâèÿìèy(x− ) = y− ,y(x+ ) = y+ ,x+ > x− > 0, y− > 0, y+ > 0è îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèå−1 < δ ≤ u ≤ σ < 0.Òðåáóåòñÿ ïîäîáðàòü òàêîå óïðàâëåíèå u∗ , êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò äàííîìó îãðàíè÷åíèþ è äîñòàâëÿåò ìèíèìóì ôóíêöèîíàëóZI(y, u) =x+−y(x)f 0 (x)dx,x−ãäå f (x) íåêîòîðàÿ ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ.Òàêèå çàäà÷è âñòðå÷àþòñÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ðåãðåññèâíîé øêàëû ïðèáûëè [79].Ïåðåéä¼ì îò èñõîäíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ê äèôôåðåíöèàëüíîìó âêëþ÷åíèþdy∈ F (y, x),dxãäåh y yiF (y, x) = δ , σ .x xh y yiyσ+δÎòðåçîê δ , σïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîìåðíûé øàð ñ öåíòðîì â òî÷êåèx xx 2yσ−δðàäèóñîì.
Îïîðíàÿ ôóíêöèÿ c(A, b) øàðà A = {a ∈ Rn | ||a − a0 || 6 r} èìååò âèäx 281a0 b + r||b|| [10], ïîýòîìó îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ F (y, x) âûðàæàåòñÿïî ôîðìóëåc(F, ψ) =σ−δ y σ + δψ+|ψ| .x22Èç Òåîðåìû 5.4.2 ñ ó÷¼òîì Çàìå÷àíèÿ 5.4.1 èìååìydyy σ + δσ−δ uψ =ψ = c(F, ψ) =ψ+|ψ| ,xdxx22òîãäàuψ =σ−δσ+δψ+|ψ|,22ïîýòîìóu = σ, ψ(x) > 0,u ∈ [δ, σ], ψ(x) = 0,(5.21)u = δ, ψ(x) < 0.Äàëåå, ïîñêîëüêó∂cσ+δσ−δu=ψ+|ψ| = ψ,∂y2x2xxèç Òåîðåìû 5.4.2 ñ ó÷¼òîì Çàìå÷àíèÿ 5.4.1 ïîëó÷àåìdψ∂cu=−− f 0 = − ψ − f 0.dx∂yx(5.22)Èç (5.21), (5.22) óæå íåòðóäíî ïîëó÷èòü îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèåu∗ (x) = σ, x ∈ [x− , x0 ),u∗ (x) ∈ [δ, σ], x = x0 ,(5.23)u∗ (x) = δ, x ∈ (x0 , x+ ],è ñîîòâåòñâóþùóþ åìó îïòèìàëüíóþ òðàåêòîðèþy ∗ (x) = C1 xσ , x ∈ [x− , x0 ],y ∗ (x) = C2 xδ , x ∈ [x0 , x+ ],(5.24)1 y xσ σ−δy+y−+ −. Äëÿ ïîèñêà âåëè÷èí C1 , C2 , x0 â (5.23), (5.24) èñãäå C1 = σ , C2 = δ , x0 =x−x+y− xδ+ïîëüçîâàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ è óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè òðàåêòîðèè.Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî óñëîâèÿ (5.17), (5.18) è (5.21), (5.22) ìîãóò áûòü ïîëó÷åíûíåïîñðåäñòâåííî èç ïðèíöèïà ìàêñèìóìà Ïîíòðÿãèíà.
Çäåñü æå ïðîäåìîíñòðèðîâàí íåñêîëüêî èíîé ïîäõîä, êîãäà îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðåõîä îò èñõîäíîé ñèñòåìû ê ñîîòâåòñòâóþùåìóäèôôåðåíöèàëüíîìó âêëþ÷åíèþ, äëÿ êîòîðîãî ïðèìåíÿþòñÿ ïîëó÷åííûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîñòè äëÿ ïîèñêà îïòèìàëüíîãî ïðîöåññà (x∗ (t), u∗ (t)).82Ãëàâà 6Çàäà÷à Êîøè ýòîé ãëàâå ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ÎÄÓ. Ýòà çàäà÷àñâîäèòñÿ ê âàðèàöèîííîé çàäà÷å ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà íà âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ äàííîãî ôóíêöèîíàëà âûïèñûâàþòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà. Íà îñíîâàíèè ýòèõ óñëîâèé îïèñûâàþòñÿ ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà è ìåòîä ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèé äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è.
Ïðèâîäÿòñÿ ÷èñëåííûå ïðèìåðû ðåàëèçàöèè ýòèõ ìåòîäîâ.Àíàëîãè÷íàÿ ñõåìà ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè â ñëó÷àå ëèíåéíîé ñèñòåìû áûëà èñïîëüçîâàíà â[62]. Äîïîëíèòåëüíî èññëåäóåòñÿ çàäà÷à Êîøè ñ ñèñòåìîé, íå ðàçðåø¼ííîé îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ.6.1Ïîñòàíîâêà çàäà÷èÐàññìîòðèì ñèñòåìóẋ = f (x, t), t ∈ [0, T ],(6.1)x(0) = x0 .(6.2)ñ çàäàííûì íà÷àëüíûì óñëîâèåìÇäåñü T > 0 íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè, x èñêîìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿôàçîâûõ êîîðäèíàò, x ∈ Cn1 [0, T ], f (x, t) çàäàííàÿ âåùåñòâåííàÿ n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ,x0 ∈ Rn çàäàííûé âåêòîð.
Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêîå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.1), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (6.2). Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ (6.1), (6.2) âûïîëíåíû óñëîâèÿòåîðåìû Ïèêàðà. Òîãäà ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (6.1), (6.2) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî.836.2Ñâåäåíèå ê âàðèàöèîííîé çàäà÷åÏîëîæèì z(t) = ẋ(t), z ∈ Cn [0, T ].
Òîãäà ñ ó÷¼òîì (6.2)Z tx(t) = x0 +z(τ )dτ .0Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêóþ âåêòîð-ôóíêöèþ z ∗ ∈ Cn [0, T ], êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò ñèñòåìåZ tz(t) = f x0 +z(τ )dτ, t .(6.3)0Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàëZ1 TI(z) =ϕ(z, t), ϕ(z, t) dt,2 0ãäåZϕ(z, t) = z(t) − f x0 +(6.4)tz(τ )dτ, t .0Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèîíàë (6.4) íåîòðèöàòåëåí äëÿ âñåõ z ∈ Cn [0, T ] è îáðàùàåòñÿ â íîëü â òî÷êå z ∗ ∈ Cn [0, T ] òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà z ∗ ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè(6.1), (6.2) èëè (6.3).6.3Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìàÐàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíûå ñâîéñòâà ôóíêöèîíàëà I .
Çàìåòèì, ÷òî èç âûïîëíåíèÿ óñëîâèé òåîðåìû Ïèêàðà ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå è íåïðåðûâíîñòü ìàòðèöû∂f∂x÷àñòíûõïðîèçâîäíûõ.Ôóíêöèîíàë I äèôôåðåíöèðóåì ïî Ãàòî, è åãî ãðàäèåíò Ãàòî â òî÷êå zâûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåËåììà 6.3.1.Z∇I(z) = z(t) − f (x, t) −T ∂f (x, τ ) 0∂xtÄîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèìêëàññè÷åñêóþâàðèàöèþôóíêöèîíàëàv ∈ Cn [0, T ], α > 0. Âû÷èñëèìZZ t1 TI(z + αv) =z(t) + αv(t) − f x0 +z(τ ) + αv(τ )dτ, t ,2 00Z tz(t) + αv(t) − f x0 +z(τ ) + αv(τ )dτ, t dt =0Z= I(z) + α0T∂f (x, t)z(t) − f (x, t), v(t) −∂x84(6.5)z(τ ) − f (x, τ ) dτ.Z0tv(τ )dτ dt + o(α),(6.4).Ïóñòüo(α)↓ 0 ïðè α ↓ 0.αÄàëåå èìååìZ TI(z + αv) − I(z)z(t) − f (x, t), v(t) dt−I (z, v) = lim=α↓0α0Z T Z T Z T∂f (x, τ ) 0−∇I(z), v(t) dt,z(τ ) − f (x, τ ) dτ, v(t) dt =∂x0t00è ôîðìóëà (6.5) äîêàçàíà.Îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû âåêòîð-ôóíêöèÿ z ∗ áûëà òî÷êîé ìèíèìóìàôóíêöèîíàëà (6.4), íåîáõîäèìî [23] âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿZ T∂f (x∗ , τ ) 0 ∗∗∗z (τ ) − f (x∗ , τ ) dτ = 0n ∀t ∈ [0, T ],z (t) − f (x , t) −∂xtZ t∗x (t) = x0 +z ∗ (τ )dτ,(6.6)0ãäå 0n íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà Cn [0, T ].
Îòìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå ëèíåéíîñòè èñõîäíîéñèñòåìû ôóíêöèîíàë I îêàçûâàåòñÿ âûïóêëûì [62], à òîãäà ñôîðìóëèðîâàííîå íåîáõîäèìîåóñëîâèå ìèíèìóìà áóäåò è äîñòàòî÷íûì.6.4Ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêàÎïèøåì âíà÷àëå ñëåäóþùèé ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà [37] äëÿ ïîèñêà ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ôóíêöèîíàëà I .Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå z1 ∈ Cn [0, T ]. Ïóñòü óæå ïîñòðîåíî zk ∈ Cn [0, T ]. Åñëè âûïîëíåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà (6.6), òî zk ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèîíàëàI , è ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ.  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëîæèìzk+1 (t) = zk (t) + γk G(zk , t),(6.7)ãäå G(zk , t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àíòèãðàäèåíò ôóíêöèîíàëà I â òî÷êå zk , êîòîðûé ñ ó÷¼òîì(6.5) íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëåZT ∂f (x , τ ) 0kzk (τ ) − f (xk , τ ) dτ,∂xtZ txk (t) = x0 +zk (τ )dτ,G(zk , t) = −zk (t) + f (xk , t) +(6.8)0à γk ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è îäíîìåðíîé ìèíèìèçàöèèmin I(zk + γG(zk , t)) = I(zk + γk G(zk , t)).γ>085(6.9)Ïóñòü ôóíêöèîíàë G ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì ïî z â øàðå ñ öåíòðîì â íóëå è ðàäèóñàr0 > r = sup ||z|| (ìíîæåñòâî Ëåáåãà L0 = {z ∈ Cn [0, T ] | I(z) 6 I(z1 )} ïðåäïîëàãàåòz∈L0ñÿ îãðàíè÷åííûì).
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zk } áåñêîíå÷íà, òî ïðè ýòèõ äîïîëíèòåëüíûõïðåäïîëîæåíèÿõ ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà ñõîäèòñÿ [37] â ñëåäóþùåì ñìûñëå:sZ T||G(zk )|| =G(zk , t), G(zk , t) dt → 0 ïðè k → ∞.0Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {zk } êîíå÷íà, òî ïîñëåäíÿÿ å¼ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîéôóíêöèîíàëà I ïî ïîñòðîåíèþ.6.5Ìåòîä ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèéÎïèøåì òåïåðü ñëåäóþùèé ìåòîä ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèé [13] äëÿ ïîèñêà ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ôóíêöèîíàëà I .Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíîå z1 ∈ Cn [0, T ]. Ïóñòü óæå ïîñòðîåíî zk ∈ Cn [0, T ]. Åñëè âûïîëíåíî íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà (6.6), òî zk ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèîíàëàI , è ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ.
 ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëîæèìzk+1 (t) = zk (t) + γk W (zk , t),(6.10)W (z0 , t) = G(z0 , t), W (zk , t) = G(zk , t) + βk W (zk−1 , t),ãäå G(zk , t) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (6.8), à γk ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è îäíîìåðíîé ìèíèìèçàöèèmin I(zk + γW (zk , t)) = I(zk + γk W (zk , t)).γ>0(6.11)Âåëè÷èíó βk ìîæíî èñêàòü ïî-ðàçíîìó. Äëÿ íàõîæäåíèÿ βk íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåíûïðàâèëî Ôëåò÷åðàÐèâñàZβk = ZTG(zk , t), G(zk , t) dt0TG(zk−1 , t), G(zk−1 , t) dt0è ïðàâèëî ÏîëàêàÐàéáåðàZβk =0TG(zk , t), G(zk , t) − G(zk−1 , t) dt.Z TG(zk−1 , t), G(zk−1 , t) dt086 ñèëó (6.11)I(zk+1 ) 6 I(zk ).Èç (6.7) è (6.10) âèäíî, ÷òî íà ïåðâîé èòåðàöèè ÌÍÑ è ÌÑÍ ñîâïàäàþò. Ìåòîä ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèé îáû÷íî îêàçûâàåòñÿ áîëåå ýôôåêòèâíûì, ÷åì ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà.Íàïðèìåð, ïðè ìèíèìèçàöèè âûïóêëûõ êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé â êîíå÷íîìåðíûõ çàäà÷àõÌÑÍ ñõîäèòñÿ çà êîíå÷íîå ÷èñëî èòåðàöèé, â îòëè÷èå îò ÌÍÑ, êîòîðûé â îáùåì ñëó÷àåñõîäèòñÿ ëèøü â ïðåäåëå.6.6Ïðèìåð 6.6.1.×èñëåííûå ïðèìåðûÄëÿ èëëþñòðàöèè ìåòîäà íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà ðàññìîòðèì ñëåäóþùèéïðèìåð.
Ïóñòü òðåáóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó Êîøèẋ = −x2 ,x(0) = 1.Çàäàäèì T = 1. Àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå èìååò âèäx(t) =1.t+1 Òàáëèöå 6.6.1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ñ ïîìîùüþ ìåòîäà íàèñêîðåéøåãîñïóñêà.  êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âçÿòà òî÷êà z(t) = 0, à òîãäà x(t) = 1. ÈçÒàáëèöû 6.6.1 âèäíî, ÷òî íà 3-åé èòåðàöèè ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíû 2 × 10−5 .Òàáëèöà 6.6.1. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû ÌÍÑ||z ∗ − zk || ||x∗ − xk || ||G(zk )||kI(zk )10.50.540060.33721.040820.003180.073740.014720.043250.00480.000870.000363 0.0000153Ïðèìåð 6.6.2.Äëÿ èëëþñòðàöèè ìåòîäà ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèé ðàññìîòðèì åù¼ îäèíïðèìåð.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
