Диссертация (1149648), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Ïóñòü òðåáóåòñÿ ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè ẋ1 = (a − bx2 )x1 , ẋ = (−c + dx )x ,21 287ãäå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ èìåþò âèäx1 (0) = 3, x2 (0) = 1.Òàêèå ñèñòåìû âñòðå÷àþòñÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè æèçíåäåÿòåëüíîñòè ïîïóëÿöèé è îïèñûâàþò âçàèìîäåéñòâèå õèùíèêîâ ñ æåðòâàìè. Ïðèâåä¼ííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿîäíîé èç ñàìûõ èçâåñòíûõ äëÿ îïèñàíèÿ äèíàìèêè âçàèìîäåéñòâóþùèõ ïîïóëÿöèé è íîñèòíàçâàíèå ìîäåëè ÂîëüòåððàËîòêà [78].
Çäåñü x1 êîëè÷åñòâî æåðòâ, x2 êîëè÷åñòâî õèùíèêîâ. Êîýôôèöèåíòû a, b, c, d ïîëîæèòåëüíû, a ñêîðîñòü ðàçìíîæåíèÿ æåðòâ â îòñóòñòâèèõèùíèêîâ, b õàðàêòåðèçóåò ñîêðàùåíèå êîëè÷åñòâà æåðòâ èç-çà õèùíèêîâ, c ñêîðîñòü âûìèðàíèÿ õèùíèêîâ â îòñóòñòâèè æåðòâ, d õàðàêòåðèçóåò êîìïåíñàöèþ êîëè÷åñòâà õèùíèêîâçà ñ÷¼ò æåðòâ. Çàäàäèì T = 1, a = b = c = d = 1. Òàáëèöå 6.6.2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû âû÷èñëåíèé ñ ïîìîùüþ ìåòîäà ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèé.  êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âçÿòà òî÷êà z(t) = [t, t], à òîãäàx(t) = [3 + 21 t2 , 1 + 12 t2 ]. Èç Òàáëèöû 6.6.2 âèäíî, ÷òî íà 6-îé èòåðàöèè ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíû 3 × 10−2 .Òàáëèöà 6.6.2. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû ÌÑÍkI(zk )1234562.9974 1.6008 1.2617 0.4419 0.0591 0.0207||G(zk )|| 4.6257 2.1201 1.3691 0.6875 0.7836 0.16086.7Ñëó÷àé íåðàçðåø¼ííîñòè îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõÄîïîëíèòåëüíî èññëåäóåì çàäà÷ó Êîøè, êîãäà ñèñòåìà ÎÄÓ íå ðàçðåøåíà îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ, òî åñòü ðàññìîòðèì çàäà÷óg(x, ẋ, t) = 0, t ∈ [0, T ],(6.12)x(0) = x0 .(6.13)Çäåñü T íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè, x èñêîìàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ ôàçîâûõ êîîðäèíàò, x ∈ Cn1 [0, T ], g(x, ẋ, t) çàäàííàÿ âåùåñòâåííàÿ n-ìåðíàÿ âåêòîð-ôóíêöèÿ,x0 ∈ Rn çàäàííûé âåêòîð.
Òðåáóåòñÿ íàéòè òàêîå ðåøåíèå ñèñòåìû (6.12), êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ (6.13). Ïðåäïîëàãàåì g(x, ẋ, t) íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîéïî x è ẋ è íåïðåðûâíîé ïî âñåì òð¼ì àðãóìåíòàì. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè (6.12), (6.13) ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî. Òàê æå, êàê è â çàäà÷å (6.1), (6.2), ïîëîæèìz(t) = ẋ(t), z ∈ Cn [0, T ].88Ââåä¼ì â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèîíàëZ1 TJ(z) =g(z, t), g(z, t) dt.2 0(6.14)Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ôóíêöèîíàë (6.14) íåîòðèöàòåëåí äëÿ âñåõ z ∈ Cn [0, T ] è îáðàùàåòñÿ â íîëü â òî÷êå z ∗ òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà z ∗ ðåøåíèå çàäà÷è (6.12), (6.13).Ôóíêöèîíàë J äèôôåðåíöèðóåì ïî Ãàòî, è åãî ãðàäèåíò Ãàòî â òî÷êå zâûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåËåììà 6.7.1.Z∇J(z) =tT ∂g(x, z, τ ) 0∂xg(x, z, τ )dτ + ∂g(x, z, t) 0∂zg(x, z, t).Äîêàçàòåëüñòâî.
Ôóíêöèîíàë J ïî ñòðóêòóðå ñ òî÷íîñòüþ äî ìíîæèòåëÿ 12 ïîëíîñòüþ ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ñëàãàåìûì ôóíêöèîíàëà (2.4), ïîýòîìó ãðàäèåíò Ãàòî èìååò àíàëîãè÷íûéâèä (ñì. äîêàçàòåëüñòâî Òåîðåìû 2.7.1).Ëåììà äîêàçàíà.Îòñþäà çàêëþ÷àåì, ÷òî äëÿ òîãî ÷òîáû âåêòîð-ôóíêöèÿ z ∗ áûëà òî÷êîé ìèíèìóìàôóíêöèîíàëà (6.14), íåîáõîäèìî [23] âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿZ T ∂g(x∗ , z ∗ , t) 0∂g(x∗ , z ∗ , τ ) 0 ∗ ∗g(x , z , τ )dτ +g(x∗ , z ∗ , t) = 0n ∀t ∈ [0, T ].∂x∂zt89Çàêëþ÷åíèåÂî ââåäåíèè äà¼òñÿ îáçîð ëèòåðàòóðû ïî òåìå ðàáîòû, îáñóæäàåòñÿ àêòóàëüíîñòè èññëåäîâàíèÿ, åãî òåîðåòè÷åñêàÿ è ïðàêòè÷åñêàÿ çíà÷èìîñòü. ãëàâå 1 ïðèâåäåíû îñíîâíûå ïðåäâàðèòåëüíûå ñâåäåíèÿ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ âïîñëåäóþùèõ ãëàâàõ. ãëàâå 2 ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à ìèíèìèçàöèè ïîëèíîìà îò èíòåãðàëüíûõ ôóíêöèîíàëîâ. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èñïîëüçóþòñÿ ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà è ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà.
Îòìå÷åíî, ÷òî òàêèå ïîëèíîìû èìåþò ïðèëîæåíèÿ â íåêîòîðûõçàäà÷àõ óïðàâëåíèÿ, èíòåãðàëüíûõ óðàâíåíèÿõ è àýðîäèíàìèêå.Âî ãëàâå 3 çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ ïðîãðàììíîãî óïðàâëåíèÿ è ñîîòâåòñòâóþùåãî åìó ïðîãðàììíîãî äâèæåíèÿ ïðè èíòåãðàëüíîì îãðàíè÷åíèè íà óïðàâëåíèå ñâîäèòñÿ ê âàðèàöèîííîéçàäà÷å ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãî íåãëàäêîãî ôóíêöèîíàëà íà âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ýòîãîôóíêöèîíàëà âûïèñàíû ñóáäèôôåðåíöèàë è ãèïîäèôôåðåíöèàë, íàéäåíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà, êîòîðûå â ñëó÷àå ëèíåéíîñòè èñõîäíîé ñèñòåìû ïî ôàçîâûì ïåðåìåííûì èóïðàâëåíèþ îêàçûâàþòñÿ è äîñòàòî÷íûìè. Íà îñíîâàíèè ýòèõ óñëîâèé îïèñûâàþòñÿ ìåòîäñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà è ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà.
Ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå ïðèìåðû ðåàëèçàöèè îïèñàííûõ ìåòîäîâ. ãëàâå 4 çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ èíòåãðàëüíûì îãðàíè÷åíèåìíà óïðàâëåíèå ñâîäèòñÿ ê âàðèàöèîííîé çàäà÷å ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãî íåãëàäêîãî ôóíêöèîíàëà íà âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ ýòîãî ôóíêöèîíàëà âûïèñàíû ñóáäèôôåðåíöèàë è ãèïîäèôôåðåíöèàë, íàéäåíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà, êîòîðûå â ñëó÷àå ëèíåéíîñòèèñõîäíîé ñèñòåìû ïî ôàçîâûì ïåðåìåííûì è óïðàâëåíèþ è âûïóêëîñòè ìèíèìèçèðóåìîãîôóíêöèîíàëà îêàçûâàþòñÿ è äîñòàòî÷íûìè. Íà îñíîâàíèè ýòèõ óñëîâèé îïèñûâàþòñÿ ìåòîäñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà è ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà äëÿ äàííîé çàäà÷è.Ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå ïðèìåðû ðåàëèçàöèè îïèñàííûõ ìåòîäîâ. ãëàâå 5 ïðîäåìîíñòðèðîâàíî ïðèìåíåíèå òåîðèè øòðàôíûõ ôóíêöèé ê çàäà÷å îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûì âêëþ÷åíèåì.
Àïïàðàò îïîðíûõ ôóíêöèé ïîçâîëÿ-90åò ñâåñòè èñõîäíóþ çàäà÷ó ê îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷å ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé. Ñ ïîìîùüþòî÷íûõ øòðàôîâ ýòà çàäà÷à ïðè íàëè÷èè îãðàíè÷åíèé ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãîíåãëàäêîãî ôóíêöèîíàëà íà âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå. Ïðè óñëîâèè íåïðåðûâíîé äèôôåðåíöèðóåìîñòè îïîðíîé ôóíêöèè ìíîãîçíà÷íîãî îòîáðàæåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíîãî âêëþ÷åíèÿ ïîâåêòîðó ôàçîâûõ êîîðäèíàò ýòîò ôóíêöèîíàë îêàçûâàåòñÿ ñóáäèôôåðåíöèðóåìûì, ÷òî ïîçâîëÿåò âûïèñàòü íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà â òåðìèíàõ ñóáäèôôåðåíöèàëà, ñîâïàäàþùèå ïðè äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ñ íåêîòîðûì êëàññè÷åñêèì ðåçóëüòàòîì äëÿ ýòîéçàäà÷è. ãëàâå 6 çàäà÷à Êîøè ñ íåëèíåéíîé ñèñòåìîé è íà÷àëüíûì óñëîâèåì ñâîäèòñÿ ê ìèíèìèçàöèè íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëà íà âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå.
Äëÿ ýòîãî ôóíêöèîíàëà âûïèñàíãðàäèåíò Ãàòî, íàéäåíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ìèíèìóìà. Íà îñíîâàíèè óñëîâèé ìèíèìóìàîïèñûâàþòñÿ ìåòîä íàèñêîðåéøåãî ñïóñêà è ìåòîä ñîïðÿæ¼ííûõ íàïðàâëåíèé äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷è. Ïðèâåäåíû ÷èñëåííûå ïðèìåðû ðåàëèçàöèè îïèñàííûõ ìåòîäîâ. Äîïîëíèòåëüíî èññëåäóåòñÿ çàäà÷à Êîøè ñ ñèñòåìîé, íå ðàçðåø¼ííîé îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ.Äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ ìîãóò âåñòèñü â íàïðàâëåíèè ïðèìåíåíèÿ îïèñàííîãî ïîäõîäà ê çàäà÷àì îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ ñ ðàçëè÷íûìè îãðàíè÷åíèÿìè íà óïðàâëÿþùóþôóíêöèþ, à òàêæå ôàçîâûìè îãðàíè÷åíèÿìè. Êðîìå òîãî, àíàëîãè÷íûå ìåòîäû ìîãóò áûòüïðèìåíåíû ê ðàçëè÷íûì çàäà÷àì íàáëþäåíèÿ è èäåíòèôèêàöèè.
Ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ äàëüíåéøåå èçó÷åíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé ñ ïðèìåíåíèåì àïïàðàòà íåãëàäêîé îïòèìèçàöèè, ïîñòðîåíèå êîíñòðóêòèâíûõ ìåòîäîâ â ýòèõ çàäà÷àõ.91Ñïèñîê îáîçíà÷åíèéX × Y ïðÿìîå ïðîèçâåäåíèå ïðîñòðàíñòâ X è Y ;X ∗ ïðîñòðàíñòâî, ñîïðÿæ¼ííîå ê ïðîñòðàíñòâó X ;R ìíîæåñòâî âåùåñòâåííûõ ÷èñåë;0 íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà Rn ;co A âûïóêëàÿ îáîëî÷êà ìíîæåñòâà A;∃ êâàíòîð ñóùåñòâîâàíèÿ;∀ êâàíòîð âñåîáùíîñòè;∅ ïóñòîå ìíîæåñòâî;| · | ìîäóëü;k · k íîðìà;ρ(·, ·) ìåòðèêà;kf k, f ∈ L2 íîðìà â ïðîñòðàíñòâå L2 [a, b];ρ(f, g), f, g ∈ L2 ìåòðèêà â ïðîñòðàíñòâå L2 [a, b];B(x, r) çàìêíóòûé øàð ðàäèóñà r ñ öåíòðîì â òî÷êå x;S åäèíè÷íàÿ ñôåðà;N ìíîæåñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë;dom f ýôôåêòèâíîå ìíîæåñòâî ôóíêöèè f ;f 0 (x, g) ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f â òî÷êå x ïî íàïðàâëåíèþ g ;∇f (x) ïðîèçâîäíàÿ Ãàòî ôóíêöèè f â òî÷êå x;∂f (x) ñóáäèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f â òî÷êå x;df (x) ãèïîäèôôåðåíöèàë ôóíêöèè f â òî÷êå x;sign α çíàê ÷èñëà α;Cd [a, b] ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ dìåðíûõ âåêòîð-ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà îòðåçêå [a, b];Cd1 [a, b] ïðîñòðàíñòâî íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ dìåðíûõ âåêòîð-ôóíêöèé,îïðåäåë¼ííûõ íà îòðåçêå [a, b];92Pd [a, b] ïðîñòðàíñòâî êóñî÷íî íåïðåðûâíûõ dìåðíûõ âåêòîð-ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõ íà îòðåçêå [a, b];L2 [a, b] ïðîñòðàíñòâî èçìåðèìûõ, ñóììèðóåìûõ ñ êâàäðàòîì âåêòîð-ôóíêöèé, îïðåäåë¼ííûõZ b íà îòðåçêå [a, b];(f (t), g(t))dt, f, g ∈ L2 , ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå â ïðîñòðàíñòâå L2 [a, b];aα ↓ 0 α → +0;E åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà;ei êàíîíè÷åñêèé áàçèñ â ïðîñòðàíñòâå Rn ;(·)0 òðàíñïîíèðîâàíèå;c(F, ψ) = sup(f, ψ) îïîðíàÿ ôóíêöèÿ ìíîæåñòâà F ⊂ Rn ;f ∈F93Ëèòåðàòóðà[1]Àíòèïèí À.
Ñ., Õîðîøèëîâà Å. Â.Ëèíåéíîå ïðîãðàììèðîâàíèå è äèíàìèêà //Òðóäû Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÓðÎ ÐÀÍ. 2013. Ò. 19. 2. C. 725.[2]Àíòèïèí À. Ñ., Õîðîøèëîâà Å. Â. Î êðàåâîé çàäà÷å òåðìèíàëüíîãî óïðàâëåíèÿñ êâàäðàòè÷íûì êðèòåðèåì êà÷åñòâà // Èçâ. Èðê. óí-òà. Ñåð. Ìàòåìàòèêà. 2014. Ò. 8.Ñ. 728.[3]Àíòèïèí À. Ñ., Õîðîøèëîâà Å. Â.Îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå ñî ñâÿçàííûìè íà-÷àëüíûìè è òåðìèíàëüíûìè óñëîâèÿìè // Òðóäû Èíñòèòóòà ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêèÓðÎ ÐÀÍ. 2014.
Ò. 20. 2. C. 1328.[4]Áàðàíîâ À. Þ., Êàçàðèíîâ Þ. Ô., Xîìåíþê Â. Â. Ãðàäèåíòíûå ìåòîäû îïòèìèçàöèè íåëèíåéíûõ ñèñòåì àâòîìàòè÷åñêîãî ðåãóëèðîâàíèÿ.  ñá. ¾Ïðèêë. çàäà÷è òåõí.êèáåðíåòèêè¿. 1966. Ñ. 307316.[5]Áåéêî È. Â. ×èñëåííûå ìåòîäû îòûñêàíèÿ îïòèìàëüíûõ óïðàâëåíèé.  ñá. ¾Îïòèìàëüíûå ñèñòåìû. Ñòàòèñò. ìåòîäû¿. Ì.: Íàóêà, 1967. Ñ. 176183.[6]Áåéêî È.
Â., Áåéêî Ì. Ô. Îá îäíîì íîâîì ïîäõîäå ê ðåøåíèþ íåëèíåéíûõ êðàåâûõçàäà÷ // Óêð. ìàò. æ. 1968. Ò. 20. 6. Ñ. 723731.[7]Áåëëìàí Ð.Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå. Ïåðåâ. ñ àíãë. Ì.: Èçäâî èí. ëèò.,1960. 400 ñ.[8]Áåëëìàí Ð. Äèíàìè÷åñêîå ïðîãðàììèðîâàíèå è ñîâðåìåííàÿ òåîðèÿ óïðàâëåíèÿ. Ïåðåâ. ñ àíãë. Ì.: Íàóêà, 1969.
118 c.[9]Áåðåçèí È. Ñ., Æèäêîâ Í. Ï. Ìåòîäû âû÷èñëåíèé. Òîì 1. Èçäâî. 2-å, ñòåðåîòèï.Ì.: Ôèçìàòëèò, 1962. 464 c.[10]Áëàãîäàòñêèõ Â. È. Ââåäåíèå â îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå. Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2001.239 ñ.94[11]Áëàãîäàòñêèõ Â. È. Ïðèíöèï ìàêñèìóìà äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ âêëþ÷åíèé // Òð.ÌÈÀÍ. 1984. Ò. 166. Ñ. 2343.[12]Áëàãîäàòñêèõ Â. È., Ôèëèïïîâ À. Ô. Äèôôåðåíöèàëüíûå âêëþ÷åíèÿ è îïòèìàëüíîå óïðàâëåíèå // Òðóäû ÌÈÀÍ. 1985.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
