Диссертация (1149648), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , gβ n+1 +h +µ γ1 ||v||2 − 1 − max{0, ||v||2 − 1}, 2v(t), 0n+1 + (1 − γ1 ) − max{0, ||v||2 − 1}, 0n , 0n+1 + 222+γ2 β 1 − 1 − max{0, β 1 − 1}, 0n , 2β 1 , 0n + (1 − γ2 ) − max{0, β 1 − 1}, 0n , 0n+1 + · · · + (4.35) 2i222+γn+2 β n+1 − 1 − max{0, β n+1 − 1}, 0n , 0n , 2β n+1 + (1 − γn+2 ) − max{0, β n+1 − 1}, 0n , 0n+1 .Çàäà÷à (4.35) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðè íàëè÷èè ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé è ìîæåò áûòü ðåøåíà îäíèì èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ [17], [18].Îáîçíà÷èì γi∗ , i = 1, n + 2, å¼ ðåøåíèå. Ïóñòü g = [g 1 , g 2 ], ãäå âåêòîð-ôóíêöèÿ g 2 ñîñòîèò èçïîñëåäíèõ n + n + 1 êîìïîíåíò g . Òîãäà âåêòîð-ôóíêöèÿG(t, v, β) := g ∗2 = gv , gβ 1 , . .
. , gβ n+1 +h +µ γ1∗ 2v(t), 0n+1 + (1 − γ1∗ ) 0n , 0n+1 + γ2∗ 0n , 2β 1 , 0n + (1 − γ2∗ ) 0n , 0n+1 + · · · +i∗∗) 0n , 0n+1+γn+20n , 0n , 2β n+1 + (1 − γn+2ñîñòîèò èç ïîñëåäíèõ n+n+1 êîìïîíåíò íàèìåíüøåãî ïî íîðìå ãèïîãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëàH µ â òî÷êå [v, β]. Åñëè ||G(v, β)|| > 0, òî âåêòîð-ôóíêöèÿ −G(t, v, β)/||G(v, β)|| ÿâëÿåòñÿíàïðàâëåíèåì ãèïîãðàäèåíòíîãî ñïóñêà ôóíêöèîíàëà H µ â òî÷êå [v, β].Îïèøåì ñëåäóþùèé ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà äëÿ ïîèñêà òî÷åê ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà H µ (v, β).
Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó [v1 , β 1 ] ∈ Pn [0, T ] × Rn+1 . Ïóñòüóæå ïîñòðîåíà òî÷êà [vk , β k ] ∈ Pn [0, T ] × Rn+1 . Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå ìèíèìóìà (4.34), òîòî÷êà [vk , β k ] ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà H µ (v, β), è ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ. Âïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëîæèì[vk+1 , β k+1 ] = [vk , β k ] − αk Gk ,ãäå âåêòîð-ôóíêöèÿ Gk = G(t, vk , β k ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð-ôóíêöèþ, ñîñòîÿùóþ èçïîñëåäíèõ n + n + 1 êîìïîíåíò íàèìåíüøåãî ïî íîðìå ãèïîãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà H µ âòî÷êå [vk , β k ], à âåëè÷èíà αk ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è îäíîìåðíîé ìèíèìèçàöèèmin H µ ([vk , β k ] − αGk ) = H µ ([vk , β k ] − αk Gk ).α>0ÒîãäàH µ (vk+1 , β k+1 ) 6 H µ (vk , β k ).64(4.36)Ñäåëàåì îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà g òå æå äîïîëíèòåëüíûå ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî è îòíîñèòåëüíî ôóíêöèîíàëà g â ìåòîäå ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà (ñì.
äàëåå). Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {[vk , β k ]} áåñêîíå÷íà, òî ïðè ýòèõ äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ìåòîäãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ñõîäèòñÿ [23] â ñëåäóþùåì ñìûñëåsZ T||g(vk , β k )|| =g(t, vk , β k ), g(t, vk , β k ) dt → 0 ïðè k → ∞.0Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {[vk , β k ]} êîíå÷íà, òî ïîñëåäíÿÿ å¼ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà H µ (v, β) ïî ïîñòðîåíèþ.Îáîçíà÷èì v ∗ , β ∗ ðåøåíèå çàäà÷è (4.31).
Ïóñòü g = [g1 , g2 ], ãäå âåêòîð-ôóíêöèÿ g2ñîñòîèò èç ïîñëåäíèõ n + m êîìïîíåíò g . Òîãäà âåêòîð-ôóíêöèÿZ T 0h Z T ∂f ∗∂f0∂f0∗G(t, z, u) := g2 =dτ ++ λ v (t) −v ∗ (τ )dτ ,∂x∂z∂xttniX0 ∗∂f∂f0−λv ∗ (t) + λβi ei , 0m + (1 − βi∗ ) − ei , 0m +∂u∂ui=1∗∗+λβn+10n , 2u(t) + λ(1 − βn+1) 0n , 0m(4.37)ñîñòîèò èç ïîñëåäíèõ n + m êîìïîíåíò íàèìåíüøåãî ïî íîðìå ãèïîãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëàFλ â òî÷êå [z, u] â äàííîì ñëó÷àå (ïðè ϕ(z, u) = 0).
Åñëè ||G(z, u)|| > 0, òî âåêòîð-ôóíêöèÿ−G(t, z, u)/||G(z, u)|| ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì ãèïîãðàäèåíòíîãî ñïóñêà ôóíêöèîíàëà Fλ âòî÷êå [z, u].Òàêèì îáðàçîì, â ïóíêòàõ À è Á ðåøàëàñü çàäà÷à ïîèñêà íàïðàâëåíèÿ ãèïîãðàäèåíòíîãî ñïóñêà ôóíêöèîíàëà Fλ â òî÷êå [z, u].
 ñëó÷àå ϕ(z, u) > 0 (ïóíêò À) äàííàÿ çàäà÷àðåøàåòñÿ ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî, òàê êàê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðè íàëè÷èè ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé.  ñëó÷àå ϕ(z, u) = 0 (ïóíêò Á) ïîìèìîíåèçâåñòíûõ âåëè÷èí βi , i = 1, n + 1, òðåáóåòñÿ òàêæå íàéòè âåêòîð-ôóíêöèþ v(t). Ýòî áîëååñëîæíàÿ çàäà÷à, ðåøàòü êîòîðóþ ìîæíî ÷èñëåííûìè ìåòîäàìè, íàïðèìåð, ìåòîäîì ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà, êàê ýòî îïèñàíî â ïóíêòå Á.Çàìå÷àíèå 4.5.2. Îòìåòèì, ÷òî â ñèëó ñòðóêòóðû ôóíêöèîíàëà H µ çàäà÷à (4.36) ïîèñêà øàãàñïóñêà ðåøàåòñÿ àíàëèòè÷åñêè.
Êðîìå òîãî, çàäà÷à (4.35) íàõîæäåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ñïóñêà ñïîìîùüþ ìåòîäîâ êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ìîæåò áûòü ðåøåíà çà êîíå÷íîå ÷èñëîèòåðàöèé.Îïèøåì ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà äëÿ ïîèñêà ñòàöèîíàðíûõ òî÷åê ôóíêöèîíàëà Fλ . Ôèêñèðóåì ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó [z1 , u1 ] ∈ Pn [0, T ]×Pm [0, T ]. Ïóñòü óæå ïîñòðîåíàòî÷êà [zk , uk ] ∈ Pn [0, T ] × Pm [0, T ].
Åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå ìèíèìóìà (4.16) èëè (4.28), òî65òî÷êà [zk , uk ] ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèîíàëà Fλ , è ïðîöåññ ïðåêðàùàåòñÿ. Âïðîòèâíîì ñëó÷àå ïîëîæèì[zk+1 , uk+1 ] = [zk , uk ] − αk Gk ,ãäå âåêòîð-ôóíêöèÿ Gk = G(t, zk , uk ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð-ôóíêöèþ, ñîñòîÿùóþ èçïîñëåäíèõ n + m êîìïîíåíò íàèìåíüøåãî ïî íîðìå ãèïîãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëà Fλ â òî÷êå[zk , uk ]. Çíà÷åíèå äëÿ ôóíêöèîíàëà Gk áåð¼òñÿ ëèáî èç ôîðìóëû (4.30) ïðè ϕ(zk , uk ) > 0,ëèáî èç ôîðìóëû (4.37) ïðè ϕ(zk , uk ) = 0. Âåëè÷èíà αk ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷èîäíîìåðíîé ìèíèìèçàöèèmin Fλ ([zk , uk ] − αGk ) = Fλ ([zk , uk ] − αk Gk ).α>0ÒîãäàFλ (zk+1 , uk+1 ) 6 Fλ (zk , uk ).Ïóñòü ôóíêöèîíàë g ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì ïî [z, u] â øàðå ñ öåíòðîì â íóëå è ðàäèóñàr0 > sup ||[z, u]|| (ìíîæåñòâî Ëåáåãà L0 = {[z, u] ∈ Pn [0, T ] × Pm [0, T ] | Fλ (z, u) 6 Fλ (z1 , u1 )}[z,u]∈L0ïðåäïîëàãàåòñÿ îãðàíè÷åííûì).
Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {[zk , uk ]} áåñêîíå÷íà, òî ïðè ýòèõäîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ñõîäèòñÿ [23] â ñëåäóþùåì ñìûñëå:sZ||g(zk , uk )|| =Tg(t, zk , uk ), g(t, zk , uk ) dt → 0 ïðè k → ∞.0Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {[zk , uk ]} êîíå÷íà, òî ïîñëåäíÿÿ å¼ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîéòî÷êîé ôóíêöèîíàëà Fλ ïî ïîñòðîåíèþ.Çàìå÷àíèå 4.5.3. Ïîñêîëüêó äëÿ ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà Fλ èñïîëüçóþòñÿ íåãëàäêèå ìåòîäû, òî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü è ñëó÷àé, êîãäà ìèíèìèçèðóåìûé ôóíêöèîíàë I â èñõîäíîéçàäà÷å òàêæå ÿâëÿåòñÿ íåãëàäêèì, à ëèøü ñóáäèôôåðåíöèðóåìûì (òîãäà îí áóäåò è ãèïîäèôôåðåíöèðóåìûì) (ñì.
Ïðèìåð 4.6.5 ñ ôóíêöèîíàëîì I2 ).4.6×èñëåííûå ïðèìåðûÏðèâåä¼ì ïðèìåðû çàäà÷ ïîñòðîåíèÿ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, â êîòîðûõ ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà ïðèâ¼ë ê òî÷êå ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà (4.8).66Ïðèìåð 4.6.1.Ðàññìîòðèì ñèñòåìóẋ1 = x2 , ẋ2 = u1 ,ẋ3 = x4 , ẋ = u − 9.842ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèx(0) = [−1, 0, 0, 0], x(1) = [0, 0, 0, 0].Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàëZ 1u21 (t) + u22 (t) dt.I=0Äëÿ ýòîé çàäà÷è èçâåñòíî [41] àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, êîòîðîå èìååò ñëåäóþùèé âèäu∗1 (t) = −12t + 6,u∗2 (t) = 9.8,z1∗ (t) = −6t2 + 6t,z2∗ (t) = −12t + 6,z3∗ (t) = 0,z4∗ (t) = 0,I(z ∗ , u∗ ) = 108.04. Òàáëèöå 4.6.1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìåòîäà ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà.
 êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âçÿòà òî÷êà u = [0, 1], z(t) = [1, 0, 0, 0], à òîãäàx(t) = [−1 + t, 0, 0, 0]. Èç Òàáëèöû 4.6.1 âèäíî, ÷òî íà 30-é èòåðàöèè ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíû 3 × 10−3 .Òàáëèöà 4.6.1kI(zk , uk ) Φ(zk , uk ) ||u∗ − uk || ||z ∗ − zk || ||G(zk , uk )||11.060443.470623.21367197.9632420.944223.202933.22259707.22868100.341051.156821.38112848.13142200.207390.727490.69893256.29210.057740.028860.42530 108.042567Ïðèìåð 4.6.2.Ðàññìîòðèì åù¼ îäèí ïðèìåð. Ïóñòü çàäàíà ñëåäóþùàÿ ñèñòåìà ẋ1 = x2 + u1 , ẋ = u22ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèx(0) = [2, 0.5], x(1) = [x1 (1), 0]è îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèåZ1u21 (t) + u22 (t) dt 6 1.0Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàëZI=1z1 (t) dt.0Äëÿ ýòîé çàäà÷è òàêæå èçâåñòíî [32] àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå, êîòîðîå èìååò âèär9∗u1 (t) = −,13rr1199u∗2 (t) =t−− ,132 13 2rrr1 9 2 1919∗z1 (t) =t − (+ 1)t + −,2 13213213rr1 919∗z2 (t) =t−− ,132 13 2√1I(z ∗ , u∗ ) = (1 − 13).4 Òàáëèöå 4.6.2 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìåòîäà ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà. êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âçÿòà òî÷êà u = [0, 0], z(t) = [0, 0], à òîãäà x(t) = [2, 0.5].Èç Òàáëèöû 4.6.2 âèäíî, ÷òî íà 7-é èòåðàöèè ïîãðåøíîñòü íå ïðåâûøàåò âåëè÷èíû 5 × 10−3 .Òàáëèöà 4.6.2kI(zk , uk )Φ(zk , uk ) ||u∗ − uk || ||z ∗ − zk || ||G(zk , uk )||11.01.000040.86826188.7705820.518730.914830.9087976.7147150.002430.791480.85081112.28586 −0.617680.231670.232730.70711−0.64640.088730.11320.21357768Ïðèìåð 4.6.3.Ðàññìîòðèì îäèí íåëèíåéíûé ïðèìåð.
Ïóñòü çàäàíà ñëåäóþùàÿ ñèñòåìà ẋ1 = u, ẋ = x221ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèx(0) = [0.25, 0], x(1) = [0.25, x2 (1)]è îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèåZ1u21 (t) + u22 (t) dt 6 1.0Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàëZ1z2 (t) dt.I=0Äàííûé ïðèìåð ðàññìîòðåí â ðàáîòå [105] ïðè áîëåå æ¼ñòêîì îãðàíè÷åíèè íà óïðàâëåíèå |u(t)| 6 1, t ∈ [0, 1], ãäå òàêæå ïðèâåäåíî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëàI(z ∗ , u∗ ) =1.96 Òàáëèöå 4.6.3 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìåòîäà ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà. êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âçÿòà òî÷êàu = 10t − 5,z(t) = [10t − 5, (0.25 + 5t2 − 5t)2 ],à òîãäàx(t) = [0.25 + 5t2 − 5t, 5t5 − 12.5t4 + 9.1(6)t3 − 1.25t2 + 0.0625t].Èç Òàáëèöû 4.6.3 âèäíî, ÷òî íà 8-é èòåðàöèè ìåòîä ïðèâ¼ë ê çíà÷åíèþ, îòëè÷àþùåìóñÿ îò÷èñëà I(z ∗ , u∗ ) íå áîëåå, ÷åì íà âåëè÷èíó 5 × 10−3 , îäíàêî â ñèëó ðàññìàòðèâàåìîãî ìåíååæ¼ñòêîãî îãðàíè÷åíèÿ íà óïðàâëåíèå è íåëèíåéíîñòè ñèñòåìû íåëüçÿ ãàðàíòèðîâàòü, ÷òîäàííîå çíà÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíûì ìèíèìóìîì â ýòîé çàäà÷å.Òàáëèöà 4.6.3k I(zk , uk ) Φ(zk , uk ) ||G(zk , uk )||18.3333486.4420.43953102.9380150.10272130.3368370.0002599.30380.015790.112769Ïðèìåð 4.6.4.Ðàññìîòðèì åù¼ îäèí íåëèíåéíûé ïðèìåð.
Äàíà ñèñòåìàẋ1 = cos(x3 ),ẋ2 = sin(x3 ), ẋ3 = u,çàäàíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿx(0) = [0, 0, 0], x(1) = [3.85, 2.85, x3 (1)]è îãðàíè÷åíèå íà óïðàâëåíèåZ5.1228u2 (t) dt 6 1.2807.0Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàëZ5.1228I=z3 (t) dt.0 Òàáëèöå 4.6.4 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìåòîäà ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà.  êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âçÿòà òî÷êà u = 0.5, z(t) = [0.5, 0.5, 0.5], à òîãäàx(t) = [0.5t, 0.5t, 0.5t]. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó â ñèëó íåëèíåéíîñòè ñèñòåìû íåëüçÿ ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî ïîëó÷åííîå íà ïîñëåäíåé ïðîâåä¼ííîé èòåðàöèè çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà ÿâëÿåòñÿ ãëîáàëüíûì ìèíèìóìîì â ýòîé çàäà÷å.Òàáëèöà 4.6.4kI(zk , uk )Φ(zk , uk ) ||G(zk , uk )||1328.4571373.5942232.7861350.50311027.87981.23427157.1853148.235120−0.066272550.34640.4283222.266230 −0.1571940.21303−0.192940.05733570Ïðèìåð 4.6.5.Ðàññìîòðèì ñèñòåìóẋ1 = 9x4 ,ẋ2 = 9x5 , ẋ3 = 9x6 ,ẋ4 = 9(u1 + 17.2656x3 ),ẋ5 = 9u2 ,9 ẋ6 = − (u1 + 27.0756x3 + 2x5 x6 )x2ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìèx(0) = [0, 22, 0, 0, −1, 0], x(1) = [10, 14, 0, 2.5, 0, 0]è îãðàíè÷åíèåì íà óïðàâëåíèåZ1u21 (t) + u22 (t) dt 6 1.0Òðåáóåòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèîíàë1Zx23 (t) + x26 (t) dt.I1 = 4.50Äàííûé ïðèìåð ðàññìîòðåí â ðàáîòå [108] ïðè îãðàíè÷åíèè íà óïðàâëåíèå|u1 (t)| 6 2.83374, −0.80865 6 u2 (t) 6 0.71265 è ôàçîâûõ îãðàíè÷åíèÿõ |x4 (t)| 6 2.5, |x5 (t)| 6 1ïðè t ∈ [0, 1], ãäå òàêæå ïðèâåäåíî îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëàI1 (z ∗ , u∗ ) = 5.7592 × 10−3 . Òàáëèöå 4.6.5.1 ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ðàáîòû ìåòîäà ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêà. êà÷åñòâå íà÷àëüíîãî ïðèáëèæåíèÿ âçÿòà òî÷êà u = [0.5, 0.5], z(t) = [0.5, 1, 1, 1, 0.5, 0.5], àòîãäà x(t) = [0.5t, 22+t, t, t, 0.5t, −1+0.5t, 0.5t].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
