Диссертация (1149648), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Çíà÷åíèå äëÿ ôóíêöèîíàëà Gk áåð¼òñÿ ëèáî èç ôîðìóëû(4.18) ïðè ϕ(z, u) > 0, ëèáî èç ôîðìóëû (4.26) ïðè ϕ(z, u) = 0. Âåëè÷èíà αk ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé çàäà÷è îäíîìåðíîé ìèíèìèçàöèèmin Fλ ([zk , uk ] − αGk ) = Fλ ([zk , uk ] − αk Gk ).α>0ÒîãäàFλ (zk+1 , uk+1 ) 6 Fλ (zk , uk ).Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {[zk , uk ]} êîíå÷íà, òî ïîñëåäíÿÿ å¼ òî÷êà ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíîéòî÷êîé ôóíêöèîíàëà Fλ ïî ïîñòðîåíèþ. Åñëè æå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {[zk , uk ]} áåñêîíå÷íà,òî îïèñàííûé ïðîöåññ ìîæåò è íå ïðèâåñòè ê ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ôóíêöèîíàëà Fλ , ïîñêîëüêóñóáäèôôåðåíöèàëüíîå îòîáðàæåíèå ∂Fλ (z, u) ðàçðûâíî â ìåòðèêå Õàóñäîðôà [24].4.5Ìåòîä ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîãî ñïóñêàÊàê óæå îòìå÷àëîñü, îïèñàííûé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå ìåòîä ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãîñïóñêà ìîæåò íå ïðèâåñòè ê ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ôóíêöèîíàëà Fλ â ñèëó ðàçðûâíîñòè ñóáäèôôåðåíöèàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ ∂Fλ (z, u).

×òîáû ãàðàíòèðîâàòü ñõîäèìîñòü â íåêîòîðîì58ñìûñëå ðàññìàòðèâàåìîãî ÷èñëåííîãî ìåòîäà, ïåðåéä¼ì ê íåïðåðûâíîìó ãèïîäèôôåðåíöèàëüíîìó îòîáðàæåíèþ dFλ (z, u).Áåðÿ êëàññè÷åñêóþ âàðèàöèþ ôóíêöèîíàëà Fλ è ïîëüçóÿñü òåìè æå ïðàâèëàìè âû÷èñëåíèÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëà, êàê è â (3.9), óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ñëåäóþùèõ äâóõòåîðåì.Ïðè [z, u] ∈/ Ω3 ôóíêöèîíàë Fλ(z, u) ãèïîäèôôåðåíöèðóåì, è åãî ãèïîäèôôåðåíöèàë â òî÷êå [z, u] âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåÒåîðåìà 4.5.1.dFλ (z, u) = 0, s1 (t), s2 (t) ++λnX co ψ i (z) − ψi (z), ei , 0m , − ψ i (z) − ψi (z), −ei , 0m +i=1+λcoZT u(t), u(t) dt − 1 − max{0, ||u||2 − 1}, 0n , 2u(t) , − max{0, ||u||2 − 1}, 0n , 0m ,0ãäå âåêòîð-ôóíêöèè s1(t) è s2(t) îïðåäåëåíû â çàäà÷å (4.17).Ïðè [z, u] ∈ Ω3 ôóíêöèîíàë Fλ ãèïîäèôôåðåíöèðóåì, è åãî ãèïîäèôôåðåíöèàë â òî÷êå [z, u] âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåÒåîðåìà 4.5.2.TZ0 T ∂f0∂f0dτ ++z(t) − f (z, u, t) v(t)dt − ϕ(z, u) ,∂x∂z0tZ T 0 ∂f 0i ∂f0∂f+λ v(t) −v(τ )dτ ,−λv(t) +∂x∂u∂utnX +λco ψ i (z) − ψi (z), ei , 0m , − ψ i (z) − ψi (z), −ei , 0m +nh ZdFλ (z, u) = λ(4.27)i=1ZTu(t), u(t) dt − 1 − max{0, ||u||2 − 1}, 0n , 2u(t) ,0o 2− max{0, ||u|| − 1}, 0n , 0m v ∈ Pn [0, T ], ||v|| 6 1 .+λcoÈçâåñòíî [25], ÷òî íåîáõîäèìûì, à â ñëó÷àå âûïóêëîñòè è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà (4.8) â òî÷êå [z ∗ , u∗ ] â òåðìèíàõ ãèïîäèôôåðåíöèàëà ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå0n+m+1 ∈ dFλ (z ∗ , u∗ ),ãäå 0n+m+1 íóëåâîé ýëåìåíò ïðîñòðàíñòâà Pn [0, T ] × Pm [0, T ] × R.

Îòñþäà ñ ó÷¼òîì Ëåììû 4.3.1 çàêëþ÷àåì, ÷òî ñïðàâåäëèâàÒåîðåìà 4.5.3. Äëÿ òîãî ÷òîáû óïðàâëåíèå u∗ ∈ Ω2 ïåðåâîäèëî ñèñòåìó (4.1) èç íà÷àëüíî-ãî ïîëîæåíèÿ (4.3) â êîíå÷íîå ñîñòîÿíèå (4.4) è äîñòàâëÿëî ìèíèìóì ôóíêöèîíàëó (4.5),59íåîáõîäèìî, à â ñëó÷àå ëèíåéíîñòè ñèñòåìû (4.1) è âûïóêëîñòè ôóíêöèîíàëà (4.5) è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû(4.28)0n+m+1 ∈ dFλ (z ∗ , u∗ ),ãäå âûðàæåíèå äëÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëà dFλ(z, u) âûïèñàíî â (4.27).Íàéä¼ì ìèíèìàëüíûé ïî íîðìå ãèïîãðàäèåíò g = g(t, z, u) ∈ dFλ (z, u) â òî÷êå [z, u], òîåñòü ðåøèì çàäà÷óming∈dFλ (z,u)||g||2 .Çàôèêñèðóåì òî÷êó [z, u] è ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ.À. Ïóñòü ϕ(z, u) > 0.

 ýòîì ñëó÷àå||g||2 =ming∈dFλ (z,u)+λnXminβi ∈[0,1], i=1,n+1 0, s1 (t), s2 (t) + βi ψ i (z) − ψi (z), ei , 0m + (1 − βi ) − ψ i (z) − ψi (z), −ei , 0m +i=1+λβn+1Z0Tu(t), u(t) dt − 1 − max{0, ||u||2 − 1}, 0n , 2u(t) +2+λ(1 − βn+1 ) − max{0, ||u||2 − 1}, 0n , 0m .(4.29)Çàäà÷à (4.29) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé çàäà÷ó êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ ïðè íàëè÷èè ëèíåéíûõ îãðàíè÷åíèé è ìîæåò áûòü ðåøåíà îäíèì èç èçâåñòíûõ ìåòîäîâ [17], [18].Îáîçíà÷èì βi∗ , i = 1, n + 1, å¼ ðåøåíèå. Ïóñòü g = [g1 , g2 ], ãäå âåêòîð-ôóíêöèÿ g2 ñîñòîèò èçïîñëåäíèõ n + m êîìïîíåíò g . Òîãäà âåêòîð-ôóíêöèÿG(t, z, u) :=g2∗nX ∗= s1 (t), s2 (t) + λβi ei , 0m + (1 − βi∗ ) − ei , 0m +i=1∗∗+λβn+10n , 2u(t) + λ(1 − βn+1) 0n , 0m(4.30)ñîñòîèò èç ïîñëåäíèõ n + m êîìïîíåíò íàèìåíüøåãî ïî íîðìå ãèïîãðàäèåíòà ôóíêöèîíàëàFλ â òî÷êå [z, u] â äàííîì ñëó÷àå (ïðè ϕ(z, u) > 0). Åñëè ||G(z, u)|| > 0, òî âåêòîð-ôóíêöèÿ−G(t, z, u)/||G(z, u)|| ÿâëÿåòñÿ íàïðàâëåíèåì ãèïîãðàäèåíòíîãî ñïóñêà ôóíêöèîíàëà Fλ âòî÷êå [z, u].Á.

Ïóñòü ϕ(z, u) = 0.  ýòîì ñëó÷àå2||g|| =ming∈dFλ (z,u)Zt+λTminβi ∈[0,1], i=1,n+1, v∂f0∂f0dτ ++ λ v(t) −∂x∂znXh Z λT0z(t) − f (z, u, t) v(t)dt − ϕ(z, u) ,0ZtT ∂f 0 ∂f 0i ∂f0v(τ )dτ ,−λv(t) +∂x∂u∂u βi ψ i (z) − ψi (z), ei , 0m + (1 − βi ) − ψ i (z) − ψi (z), −ei , 0m +i=160+λβn+1ZTu(t), u(t) dt − 1 − max{0, ||u||2 − 1}, 0n , 2u(t) +022+λ(1 − βn+1 ) − max{0, ||u|| − 1}, 0n , 0m =h Z T0z(t) − f (z, u, t) v(t)dt − ϕ(z, u) ,min λ=βi ∈[0,1], i=1,n+1, vZT0∂f0∂f0dτ ++ λ v(t) −∂x∂zt+λZT ∂f 0 ∂f 0i ∂f0−λv(τ )dτ ,v(t) +∂x∂u∂utnX βi 2ψ i (z), 2ei , 0m + − ψ i (z) − ψi (z), −ei , 0m +i=1+λβn+1ZT022u(t), u(t) dt − 1, 0n , 2u(t) + λ − max{0, ||u|| − 1}, 0n , 0m .Ýòî âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü òàêming∈dFλ (z,u)hn Zλminβ i ∈[−1,1], i=1,n+1, v−λnXi=1T||g||2 := min ||g1 ||2 + ||g2 ||2 + ||g3 ||2 =nX0z(t) − f (z, u, t) v(t)dt − ϕ(z, u) + λψ i (z) β i + 1 −0i=1o2T λψ i (z) + ψi (z) +u(t), u(t) dt − 1 β n+1 + 1 − λ max{0, ||u||2 − 1} +2 0Z T nZ TZ T 0nXo2∂f0∂f0∂f+dτ ++ λ v(t) −v(τ )dτ +β i eidt+∂x∂z∂x0tti=1Z Tn ∂f 0o2 i∂f0+−λv(t) + λβ n+1 u(t) + λu(t) dt ,(4.31)∂u∂u0Zãäå g1 = g1 (t, z, u), g2 = g2 (t, z, u), g3 = g3 (t, z, u), β i = 2βi − 1, i = 1, n + 1, à âåêòîð-ôóíêöèÿv(t) îïðåäåëåíà â (4.27).Ïóñòü âåêòîð β ∈ Rn+1 ñîñòîèò èç êîìïîíåíò β i , i = 1, n + 1.

Ñîñòàâèì ôóíêöèîíàën+1X2H µ (v, β) = ||g||2 + µ max{0, ||v||2 − 1} +max{0, β i − 1} .i=1Îáîçíà÷èì2Ψ(v, β) = µ max{0, ||v|| − 1} +n+1X2max{0, β i − 1} .i=1Ââåä¼ì ìíîæåñòâàΩ = [v, β] ∈ Pn [0, T ] × Rn+1 Ψ(v, β) = 0 ,Ωδ = [v, β] ∈ Pn [0, T ] × Rn+1 Ψ(v, β) < δ .61(4.32)ÒîãäàΩδ \ Ω = [v, β] ∈ Pn [0, T ] × Rn+1 0 < Ψ(v, β) < δ .Òàêæå ââåä¼ì ñëåäóþùèå ìíîæåñòâà 2Bi0 = β i ∈ R β i − 1 = 0 , 2Bi− = β i ∈ R β i − 1 < 0 , 2Bi+ = β i ∈ R β i − 1 > 0 ,ãäå i ∈ 1, n + 1.Ëåììà 4.5.1. Ïóñòü ôóíêöèîíàë g(v, β) ÿâëÿåòñÿ ëèïøèöåâûì íà ìíîæåñòâå Ωδ \Ω.

Åñëèíàéä¼òñÿ òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî µ0 < ∞, ÷òî äëÿ âñåõ µ > µ0 ñóùåñòâóåò òî÷êà[v(µ), β(µ)] ∈ Pn [0, T ] × Rn+1 , äëÿ êîòîðîé Hµ v(µ), β(µ) = inf Hµ (v, β), òî ôóíêöèîíàë[v,β](4.32) áóäåò òî÷íîé øòðàôíîé ôóíêöèåé.Äîêàçàòåëüñòâî. Àíàëîãè÷íî äîêàçàòåëüñòâó Òåîðåìû 2.5.1.Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñäåëàííûõ â Ëåììå 4.5.1 ïðåäïîëîæåíèÿõ ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî0 < µ∗ < ∞, ÷òî ∀µ > µ∗ çàäà÷à (4.31) ýêâèâàëåíòíà çàäà÷å ìèíèìèçàöèè ôóíêöèîíàëà (4.32)íà âñ¼ì ïðîñòðàíñòâå. Äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â ôóíêöèîíàëå (4.32) ÷èñëî µ ôèêñèðîâàíîè âûïîëíåíî óñëîâèå µ > µ∗ .Ôóíêöèîíàë (4.32) ãèïîäèôôåðåíöèðóåì, è åãî ãèïîäèôôåðåíöèàë â òî÷êå[v, β] âûðàæàåòñÿ ïî ôîðìóëåËåììà 4.5.2.dH µ (v, β) = 0, gv , gβ 1 , .

. . , gβ n+1 +h +µ co ||v||2 − 1 − max{0, ||v||2 − 1}, 2v(t), 0n+1 , − max{0, ||v||2 − 1}, 0n , 0n+1 + 222+co β 1 − 1 − max{0, β 1 − 1}, 0n , 2β 1 , 0n , − max{0, β 1 − 1}, 0n+2 + · · · + (4.33) 2 i22.+co β n+1 − 1 − max{0, β n+1 − 1}, 0n , 0n , 2β n+1 , − max{0, β n+1 − 1}, 0n , 0n+1Äîêàçàòåëüñòâî. Âîçüì¼ì êëàññè÷åñêóþ âàðèàöèþ ôóíêöèîíàëà g. Âû÷èñëèì ñëåäóþùèåâåêòîð-ôóíêöèè, âõîäÿùèå â ôîðìóëó (4.33).gv = g1v + g2v + g3v ,ãäå2g1v = 2λnZTnnXX0z(t) − f (z, u, t) v(t)dt − ϕ(z, u) +β i ψ i (z) +ψ i (z)+0i=162i=1nXZ 1+−ψ i (z)−ψi (z) +2i=1Zng2v = 2λ λv(t) − λZ+tTTo2u(t), u(t) dt−1 (β n+1 +1)−max{0, ||u|| −1} z(t)−f (z, u, t) ,0TZZ Z∂f t∂f t T ∂f 0v(τ )dτ − λv(τ )dτ + λv(ξ)dξdτ +∂x∂x 0∂x 0 τ∂xtZ ZnnoX∂f0∂f t T ∂f0∂f0 ∂f X∂f0dτ ++λβ i ei −dξ +dτ − λtβ i ei ,∂x∂z∂x 0∂x∂z∂x i=1τi=1g3v ∂f 0 ∂f 0∂f ∂f0+λ −= −2λv(t) + β n+1 u(t) + u(t) ,∂u ∂u∂ugβ i = g1β i + g2β i , i = 1, n,ãäåg1β i = 2λ+nXi=12nZnnXX0z(t) − f (z, u, t) v(t)dt − ϕ(z, u) +β i ψ i (z) +ψ i (z)+T0i=1 1− ψ i (z) − ψi (z) +2Zg2β i = 2λTnZ0TTZ0Ti=1iou(t), u(t) dt − 1 (β n+1 + 1) − max{0, ||u||2 − 1} ψ i (z),0∂f0∂f0dτ ++ λ v(t) −∂x∂ztgβ n+1 = 2λhZZT ∂f 0∂xtv(τ )dτ + λnXo0β i ei ei dt,i=10 ∂f 0+λ −v(t) + β n+1 u(t) + u(t) u(t)dt.∂u∂u ∂f0Âçÿâ êëàññè÷åñêóþ âàðèàöèþ ôóíêöèîíàëà Ψ òàê æå, êàê â Òåîðåìå 3.3.1, âîñïîëüçóåìñÿ òåìè æå ïðàâèëàìè âû÷èñëåíèÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëà, ÷òî è â (3.9).Ëåììà äîêàçàíà.Çàìå÷àíèå.4.5.1 Ãèïîäèôôåðåíöèàë dFλ (z, u) ÿâëÿåòñÿ âûïóêëûì êîìïàêòíûì ìíîæå-ñòâîì, ïîýòîìó íåîáõîäèìîå óñëîâèå ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà H µ (v, β) è äîñòàòî÷íî [24].Èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà, êîòîðîå âûïèñàíî ïåðåä Òåîðåìîé 4.5.3 (áåð¼ì âìåñòî ôóíêöèîíàëà Fλ ôóíêöèîíàë H µ ) è Çàìå÷àíèÿ 4.5.1 èìååì ñëåäóþùóþ ëåììó.Äëÿ òîãî ÷òîáû òî÷êà [v∗, β ∗] ∈ Pn[0, T ] × Rn+1 äîñòàâëÿëà ìèíèìóì ôóíêöèîíàëó (4.32), íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáûËåììà 4.5.3.∗0n+n+2 ∈ dH µ (v ∗ , β ),ãäå âûðàæåíèå äëÿ ãèïîäèôôåðåíöèàëà dH µ(v, β) âûïèñàíî â (4.33).63(4.34)Íàéä¼ì ìèíèìàëüíûé ïî íîðìå ãèïîãðàäèåíò g = g(t, v, β) ∈ dH µ (v, β) â òî÷êå [v, β],òî åñòü ðåøèì çàäà÷ó||g||2 =ming∈dH µ (v,β)minγi ∈[0,1], i=1,n+2 0, gv , gβ 1 , .

Характеристики

Список файлов диссертации