Диссертация (1149642), страница 10
Текст из файла (страница 10)
всегда можно подобрать такую систему сил, которая будет создавать требуемое движение механической системы q σ = q σ (t), σ = 1, s, при этом можно выполнить любой закон изменения любых производных от обобщенных координат. Тем самым, можно обеспечить обращение в нуль любойкомбинации производных от обобщенных координат системы. Очевидно, что поэтому можнотребовать, чтобы движение механической системы было таким, при котором удовлетворяетсясистема дифференциальных уравнений любого порядка" .Перейдем к постановке задачи.
Рассмотрим движение механической системы общего вида в криволинейных коодинатах q = (q 1 , ... , q s ) с базисами (1.1). При действии активныхобобщенных сил Q = (Q1 , ... , Qs ) должны выполняться уравнения Лагранжа второго рода∂Td ∂T−= Qσ ,dt ∂ q̇ σ ∂q σσ = 1, s ,α, β = 0, s ,T =Mg q̇ α q̇ β ,2 αβ00q = t,(1.3)q̇ = 1 ,где M — масса всей системы.Наложим теперь на движение этой системы неголономные связи высокого порядка (1.2).Тогда надо будет найти такие дополнительные обобщенные силыRσ ,σ = 1, s ,40(1.4)добавив которые к правым частям уравнений (1.3), удастся выполнить уравнения связей(1.2).
Поэтому искомые силы (1.4) можно рассматривать как управляющие силы, обеспечивающие выполнение программы движения, заданной в виде дополнительной системы дифференциальных уравнений высокого порядка (1.2), обязательно удовлетворяющихся при движении. Таким образом, С.А. Зегжда, Ш.Х. Солтаханов и М.П. Юшков сформулировали фактически некоторый новый класс задач управления. Решаются такие задачи с помощью разработанной ими теории движения неголономных систем со связями высокого порядка, являющейся развитием идей классической теории движения неголономных систем, изложеннойв главе I.
Нахождение искомой управляющей силы будет сводиться к определению реакциисвязей (1.2). Сформулированная выше задача в работе [26] называлась смешанной задачеймеханики.Перейдем к обсуждению формирования управляющих сил. Пусть система управлениясоздает k управляющих сил Λκ , κ = 1, k, элементарная работа которых вычисляется поформулеδA = Λκ bκσ (t, q, q̇)δq σ ,κ = 1, k ,σ = 1, s .(1.5)Вошедшие в формулу (1.5) коэффициенты bκσ системой управления осуществляются обычнов виде постоянных величин или заданных функций обобщенных координат.Из формул (1.5) следует, что искомые дополнительные обобщенные силы (1.4) таковы:Rσ = Λκ bκσ .(1.6)Напомним, что вошедшие в формулу (1.6) множители Лагранжа Λκ , κ = 1, k, в излагаемой теории рассматриваются как функции времени, подлежащие определению.
При этом,как увидим ниже, дифференциальное уравнение относительно каждой из функций Λκ будетиметь порядок (n − 2).§ 2. Первая теория движения неголономных системсо связями высокого порядка.Построение совместной системыдифференциальных уравненийСистема уравнений (1.3) при добавлении к силам Qσ сил Rσ запишется в виде одноговекторного уравненияM W = Y + Λκ bκ ,κ = 1, k ,(2.1)в котором введены обозначенияbκ = bκσ eσ ,()()W = gστ q̈ τ + Γσ,αβ q̇ α q̇ β eσ = q̈ σ + Γσαβ q̇ α q̇ β eσ ,()1 στ ∂gτ β ∂gτ α ∂gαβστσΓαβ = g Γτ,αβ = g+−,2∂q α∂q β∂q τY = Qσ eσ ,σ, τ = 1, s ,α, β = 0, s ,41κ = 1, k .(2.2)Из выражений (2.1) и (2.2) можно составить систему дифференциальных уравнений, разрешенных относительно обобщенных ускорений:q̈ σ = F2σ (t, q, q̇, Λ) ,F2σ = −Γσαβ q̇ α q̇ β + (Qτ + Λκ bκτ )gστ /M ,σ, τ = 1, s ,α, β = 0, s ,(2.3)κ = 1, k .Система s уравнений (2.3) содержит (s + k) неизвестных функций q σ , σ = 1, s,Λκ ,κ = 1, k.
Покажем вначале, как эту систему можно дополнить дифференциальными уравнениями относительно множителей Лагранжа Λκ в случае n = 3. Тогда уравнения связей (1.2)перепишутся в виде...f3κ ≡ aκ3σ (t, q, q̇, q̈) q σ + aκ30 (t, q, q̇, q̈) = 0 ,κ = 1, k .σ = 1, s ,(2.4)Остановимся первоначально на выводе одной важной формулы. Из утвержденияeρ · eτ = const ,ρ, τ = 1, s ,(2.5)следует, что−ėρ · eτ = eρ · ėτ .(2.6)Если для удобства рассуждений обозначать временно вектор ėτ как вектор b = b ρ eρ , топравая часть формулы (2.6) оказывается равной b ρ . Поэтому b ρ можно приравнять левойчасти формулы (2.6):b ρ = −ėρ · eτ = −q̇ α∂eρ· eτ .∂q α(2.7)Но в то же время из равенства (2.5) имеем−∂eρ∂eτ· eτ = α · eρ ≡ Γρτα ,α∂q∂qпоэтому согласно (2.7) можем записатьb ρ = Γρτα q̇ α .В результате получаем окончательно интересующую нас формулу:ėτ = Γρτα q̇ α eρ .(2.8)Возьмем теперь представление вектора ускорения системы (2.2) в виде)(W = q̈ τ + Γταβ q̇ α q̇ β eτи продифференципуем его по времени.
Тогда получим()()... τd ( τ α β)Ẇ = q +Γαβ q̇ q̇eτ + q̈ τ + Γταβ q̇ α q̇ β ėτ .dt42(2.9)Введем новые векторыaκ3 = aκ3σ eσ ,σ = 1, s ,κ = 1, k ,(2.10)полностью определяемые уравнениями связей (2.4). Если теперь формулу (2.9) умножить навекторы (2.10), предварительно заменив в ней вектор ėτ его выражением (2.8), то получим:)(()... τd ( τ α β) κκẆ · a3 = q +a3σ + q̈ τ + Γταβ q̇ α q̇ β Γρτα q̇ α , κ = 1, k .Γαβ q̇ q̇(2.11)dtДобавим к обеим частям формул (2.11) слагаемые aκ30 (t, q, q̇, q̈) и учтем выполнение связей(2.4). В результате запишем следующее представление заданных неголономных связей (2.4)в виде скалярных произведений:Ẇ · aκ3 = χκ3 (t, q, q̇, q̈) ,()) σ αd ( σ α β) ( τκκα βκτχ3 = −a30 + a3σΓ q̇ q̇ + q̈ + Γαβ q̇ q̇ Γτ α q̇ ,dt αβσ, τ = 1, s ,α, β = 0, s ,(2.12)κ = 1, k .Полученная запись уравнений связей (2.12) позволяет построить дополнительную системудифференциальных уравнений относительно множителей Лагранжа.
Продифференцируемвекторное уравнение движения системы (2.1) по времени:M Ẇ = Ẏ + Λ̇κ bκ + Λκ ḃκ ,κ = 1, k .(2.13)Напомним, что, если задан вектор a = aτ eτ , то ковариантные компоненты от его производнойb = ȧ вычисляются по формуле (см. формулу (A.52) в монографии [28])bρ = ȧρ − Γτρα aτ q̇ α ,(2.14)поэтому производные от векторов в формуле (2.13) имеют видḃκ = (ḃκτ − bκσ Γστα q̇ α ) eτ ,Ẏ = (Q̇τ − Qσ Γστα q̇ α ) eτ ,σ, τ = 1, s ,α, β = 0, s ,κ = 1, k .Если теперь умножить уравнение (2.13) на векторы aµ3 и учесть выражения связей (2.12), тосможем записатьµΛ̇κ hκµ3 = B3 (t, q, q̇, q̈, Λ) ,B3µ = M χµ3 − Ẏ · aµ3 − Λκ ḃκ · aµ3 ,µκκ µ στhκµ,3 = b · a3 = bσ a3τ gσ, τ = 1, s ,κ, µ = 1, k .(2.14)В предположении, что имеет место неравенствоdet[bκσ aµ3τ gστ ] ̸= 0 ,σ, τ = 1, s ,κ, µ = 1, k ,линейную неоднородную алгебраическую систему (2.14) можно разрешить относительно Λ̇κ :Λ̇κ = h3κµ (t, q, q̇, q̈)B3µ (t, q, q̇, q̈, Λ) ,43κ, µ = 1, k .(2.16)Здесь h3κµ являются элементами матрицы, обратной по отношению к матрице (hκµ3 ).
Важно,что формулы (2.3) позволяют исключить производные q̈ σ из функций h3κµ , B3µ и представитьправые части уравнений (2.16) в видеκ = 1, k .Λ̇κ = Cκ3 (t, q, q̇, Λ) ,(2.17)При произвольном n появятся функции hnκµ , Bnµ , из которых потребуется исключать про(n−1)изводные q̈ σ , ... , q σ . Из выражений (2.3) следует, что...σ ∂F2σ ∂F2σ τ ∂F2σ τ ∂F2σq =q̇ +q̈ ++Λ̇κ ,∂t∂q τ∂ q̇ τ∂Λκκ = 1, k .σ, τ = 1, s ,(2.18)Формулы (2.3) позволяют исключить производные q̈ τ из выражений (2.18) и записать их ввиде...σq = F3σ (t, q, q̇, Λ, Λ̇) ,σ = 1, s .Рассуждая аналогично, получаем(n−1)σq(n−3)σ= Fn−1(t, q, q̇, Λ, Λ̇, ...
, Λ ) ,σ = 1, s .Таким образом, в общем случае имеем(n−2)(n−3)κ = 1, k ,Λκ = Cκn (t, q, q̇, Λ, Λ̇, ... , Λ ) ,n > 3.(2.19)Частным случаем этих уравнений является система (2.17).Уравнения (2.3) и (2.19) образуют замкнутую систему уравнений относительно функцийq σ (t) и Λκ (t). При начальных данныхΛκ (t0 ) = Λ0κ ,Λ̇κ (t0 ) = Λ̇0κ ,q σ (t0 ) = q0σ ,q̇ σ (t0 ) = q̇0σ ,(n−3)(n−3)κ = 1, k ,σ = 1, s ,...
,Λκ (t0 ) = Λκ 0 ,(2.20)она имеет единственное решение.§ 3. Движение искусственного спутника Землис постоянным по модулю ускорением.Размерные дифференциальные уравнения движенияВидимо, первым примером реальной неголономной связи высокого порядка являлся пример о движении искусственного спутника Земли с постоянным по модулю ускорением, предложенный Ш.Х Солтахановым и М.П. Юшковым еще в 1991 г. [71], позже эта задача рассматривалась в монографии [70].
Изучим подробно решение этой проблемы, так как оно хорошодемонстрирует применение изложенной в предыдущем параграфе первой теории движениянеголономных систем со связями высокого порядка.44Пусть материальная точка с массой m движется в поле притяжения Земли (то есть точкаявляется искусственным спутником Земли). Как известно, в этом случае точка (ИСЗ) перемещается по эллипсу, в одном из полюсов которого находится центр притяжения (Земля).Для описания движения удобно воспользоваться полярной системой координатq1 = r ,q2 = φс базисами {er , eφ } и {er , eφ }.При движении спутника его ускорение w меняется, и проекции на оси принятой полярнойсистемы координат вычисляются по формулам:wr = r̈ − rφ̇2 ,wφ = rφ̈ + 2ṙφ̇ .Ясно, что квадрат величины ускорения w2 будет равенw2 = (r̈ − rφ̇2 )2 + (rφ̈ + 2ṙφ̇)2 .Предположим, что в некоторый момент времени t = 0 ускорение спутника имеет величину w0 .
Поставим следующую задачу: найти такое движение спутника (в этом случае еголучше называть космическим аппаратом), при котором в дальнейшем имеющаяся величина ускорения w0 не будет меняться, то есть будет оставаться постоянной. Такое требованиеможно выразить в виде нелинейной неголономной связи второго порядкаf2 (q, q̇, q̈) ≡ (r̈ − rφ̇2 )2 + (rφ̈ + 2ṙφ̇)2 − w02 = 0 ,(3.1)которая накладывается на дальнейшее движение спутника (космического аппарата).Таким образом, в статье [71] впервые была поставлена реальная механическая задача изобласти космонавтики, в которой на движение материальной точки была наложена неголономная нелинейная связь второго порядка (3.1).
По постановке задачи эту связь можно считать идеальной. Сформулированную задачу можно рассматривать как задачу теории управления, когда программа движения состоит в требовании, чтобы в процессе движения выполнялось нелинейное дифференциальное уравнение (3.1). Решать эту задачу будем аппаратомнеголономной механики со связями высокого порядка, поэтому наложенную на движениесвязь (3.1) естественно назвать программной связью, а создаваемая ею реакция оказываетсяискомой управляющей силой, решающей поставленную задачу управления.Для применения изложенной в предыдущем параграфе теории движения неголономныхсистем со связями высокого порядка связь (3.1) следует продифференцировать по времении представить ее в виде линейной неголономной связи третьего порядка:...f3 ≡ f˙2 = (r̈ − rφ̇2 )( r − ṙφ̇2 − 2rφ̇φ̈)+...+(rφ̈ + 2ṙφ̇)(ṙφ̈ + r φ + 2r̈φ̇ + 2ṙφ̈) = 0 .45Эту линейную связь удобно записать в стандартном виде:.........f3 (q, q̇, q̈, q ) ≡ a3r r + a3φ φ + a30 = 0 ,a3r = (r̈ − rφ̇2 ) ,(3.2)a3φ = (rφ̈ + 2ṙφ̇)r ,a30 = (rφ̈ + 2ṙφ̇)(ṙφ̈ + 2r̈φ̇ + 2ṙφ̈)−−(r̈ − rφ̇2 )(ṙφ̇2 + 2rφ̇φ̈) .Запишем векторное уравнение движения:(′′′mw = F + Λ∗ ∇ f3 ≡ F + Λ∗∂f3 r ∂f3 φe...
e + ...∂r∂φ).Умножая его на векторы основного базиса er , eφ , получимµ,r2Λ(rφ̈ + 2ṙφ̇) = 0 ,Λ∗Λ=− 1.mΛ(r̈ − rφ̇2 ) =(3.3)Здесь µ — постоянная Гаусса для поля притяжения Земли. Из системы (3.3) получаем дифференциальные уравнения вида (2.3):r̈ = rφ̇2 +µ,Λr2φ̈ = −2ṙφ̇.r(3.4)Используем уравнения (3.4) для того, чтобы с помощью уравнения связи (3.2) получитьдополнительное дифференциальное уравнение относительно Λ. Для этого вначале первыедва уравнения (3.3) продифференцируем по времени:µ...Λ̇(r̈ − rφ̇2 ) + Λ( r − ṙφ̇2 − 2rφ̇φ̈) + 2 3 ṙ = 0 ,r...Λ̇(rφ̈ + 2ṙφ̇) + Λ(ṙφ̈ + r φ + 2r̈φ̇ + 2ṙφ̈) = 0 .(3.5)(3.6)Чтобы выделить здесь уравнение связи (а тем самым уничтожить третьи производные),умножим уравнение (3.5) на a3r , а уравнение (3.6) — на a3φ и результаты сложим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
