Автореферат (1149359), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Специфика формы пятнаконтакта может быть учтена при интегрировании по области Ω. Аналитическое решение этой системы возможно лишь для некоторых простых формконтакта. В общем же случае, решение можно получить только численно.Поделим первое уравнение системы (4) на третье и обозначим через Φ(β, ϑ)8отношение правых частей этих уравнений:dvC= Φ(β, ϑ),dωdϑvC= Tn (β, ϑ).dt(5)Так как сила трения имеет отрицательную мощность, то движение приненулевых начальных условиях заканчивается остановкой, то есть vC (t∗ ) = 0.Поэтому второе уравнение системы (5) позволяет записать соотношение:Tn (β, ϑ) −→ 0,(6)t→t∗ϑ→ϑ∗β→β∗где ϑ∗ и β∗ – предельные значения соответствующих величин, t∗ – моментвремени, соответствующий остановке пластины. Первое уравнение системы(5) может быть проинтегрированоZβ1ω = ω0 exp −dβ.β − Φ(β, ϑ)(7)β0Следует подчеркнуть, что значение функции Φ(β, ϑ), кроме величин βи ϑ, зависит от формы области контакта тела с плоскостью, от закона распределения давления p(ξ, η), компонентов тензора трения fx ,fy и угла ϕ,отвечающего за ориентацию тела на плоскости.

Поэтому значение величиныβ1 , при котором интеграл, стоящий в соотношении (7) становится несобственным и стремится к −∞, зависит от параметров механической системы:β1 −→ β∗ (ϑ∗ , ϕ∗ , Ω, fx , fy , p(ξ, η)).t→t∗ϑ→ϑ∗ϕ→ϕ∗(8)Суммируя сказанное, отметим, что к моменту t∗ должно выполнитьсяусловие (6) иβ − Φ(β, ϑ) −→ 0.t→t∗ϑ→ϑ∗β→β∗9(9)При этом для фиксированных β = β̃ уравнение Tn (β̃, ϑ) = 0 и уравнениеβ̃ − Φ(β̃, ϑ) = 0 могут иметь несколько решений. Но сочетание условий (6)и (9) выполняется для единственных ϑ∗ ,β∗ (см. например, Dmitriev N.N.Movement of the disk and the ring over the plane with anisotropic friction.

//J.Fric. Wear. 2002. Vol. 23. Pp. 10-15.), которые в свою очередь зависят отначальных условий.Во время поиска предельных значений параметров ϑ∗ ,β∗ из уравнений(6) и (9) может оказаться, что решение отсутствует. В таком случае следуетпользоваться уравнениями для обратной величины и находить решение в области ϑ∗ ,δ∗ = β −1 . Более того, поскольку движение пластины существеннозависит от соотношения момента инерции и коэффициентов трения, что дляслучая круговой пластины строго доказано в работе (Dmitriev N.N.

Sliding ofa solid body supported by a round platform on a horizontal plane with orthotropicfriction. Part 1. Regular load distribution. // J.Fric. Wear. 2009. Vol. 30, no. 4.Pp. 227-234), необходимо во время вычислений отслеживать состояние обеихобластей.Кроме того случаи движения, при которых в начальный момент vC = 0,ω 6= 0 или vC 6= 0, ω = 0 должны рассматриваться отдельно от случаяvC 6= 0, ω 6= 0.

Это связано с тем, что при ряде условий движение можетоставаться поступательным или чисто вращательным (см., например, работыДмитриева Н.Н. (2002, 2009)). Однако, при несимметричной области контактаили несимметричном распределении давления p(ξ, η) при поступательном иличисто вращательном движении возникают начальное угловое ускорение илиначальное ускорение центра масс соответственно.Отметим, что исследование равенства (7) при изотропном трении для тонкого диска и тонкого кольца проводилось в работе (Ishlinskii A.Yu., SokolovB.N., Chernous’ko F.L. On the motion of plane bodies in the presence of dryfriction // Izv.

AN SSSR. MTT [Mechanics of Solids]. 1981. no. 4. Pp. 17-28),а для случая анизотропного трения для этих тел в (Dmitriev N.N. Movementof the disk and the ring over the plane with anisotropic friction. // J.Fric. Wear.2002. Vol. 23. Pp. 10-15).Глава 2 посвящена решению задачи о предельном поведении тонкой эллиптической пластины на горизонтальной плоскости с симметричным орто10тропным трением. Показаны два способа вычисления сил трения при равномерном распределении давления: непосредственным интегрированием и методом Лурье. Непосредственным интегрированием также получены уравнениядля вычисления сил трения при линейной распределении давления.

Проведено сравнение результатов численного моделирования двух методов. Сделанвывод о целесообразности использования в дальнейшем метода Лурье. Проведено численно исследование поведения эллиптической пластины при равномерном и линейном распределении давления. Результаты сравниваются сослучаем кругового контакта. Также проанализировано изменение поведенияв зависимости от эксцентриситета эллипса. Показано влияние анизотропиитрения на поведение системы, построен фазовый портрет системы.Некоторые результатыСлучай ω = 0,v 6= 0 Рассмотрим случай, когда в уравнениях (4) в на-чальный момент времени есть только поступательная скорость.

Тогда плотность сил трения будет:τx = −p(ξ, η)(fx cos ϑ + f sin ϑ),τy = −p(ξ, η)(−f cos ϑ + fy sin ϑ).(10)Откуда уравнения движения в проекциях на оси естественного трехгранника при равномерном распределении давления будут:ZZµ sin2 ϑ + fx dξdη,mv̇C = Tx cos ϑ + Ty sin ϑ = −pΩZZmvC ϑ̇ = −Tx sin ϑ + Ty cos ϑ = −p(µ sin ϑ cos ϑ − f ) dξdη,(11)ΩZZ00ZZ(τy x − τx y ) dξdη = −pI ω̇ =Ω(ξK1 + ηK2 ) dξdη,ΩгдеK1 = (µ sin ϑ cos ϕ + fx sin(ϑ − ϕ) − f cos(ϑ − ϕ)),K2 = (−µ sin ϑ sin ϕ − fx cos(ϑ − ϕ) − f cos(ϑ − ϕ)).Легко видеть, что правая часть уравнения для угловой скорости в системе11(11) обратится в ноль в случае круговой и эллиптической площадки контакта,поскольку имеет место симметричная граница.

Так что, в итоге, получимсистему:mv̇C = −pS µ sin2 ϑ + fx ,mvC ϑ̇ = −pS (µ sin ϑ cos ϑ − f ) ,(12)I ω̇ = 0.Очевидно, что движение будет только поступательным.Случай ω 6= 0,v=0Рассмотрим случай, когда в начальный момент времени в системе (4) присутствует только вращательная скорость, что означает β = 0 и получим уравнения движения в проекциях на оси естественного трехгранника в виде:ZZξA0 + ηA1dξdη = −p [A0 F1 (ξ, η) + A1 G1 (ξ, η)] ,Dmv̇C = −pΩZ ZmvC ϑ̇ = −pξB0 + ηB1dξdη = −p [B0 F1 (ξ, η) + B1 G1 (ξ, η)] ,DΩZZI ω̇ = −pξ 2 C0 + ξηC1 + η 2 C2dξdη = −p [C0 F2 (ξ, η) + C1 L(ξ, η) + C2 G2 (ξ, η)] ,DΩ(13)гдеpD = ξ 2 + η2,A0 = µ cos ϕ sin ϑ + fx sin(ϑ − ϕ) + f cos(ϑ − ϕ),A1 = f sin(ϑ − ϕ) − µ sin ϑ sin ϕ − fx cos(ϑ − ϕ),B0 = µ cos ϕ cos ϑ + fx cos(ϑ − ϕ) − f sin(ϑ − ϕ),B1 = f cos(ϑ − ϕ) + fx sin(ϑ − ϕ) − µ sin ϕ cos ϑ,C0 = fx + µ cos2 ϕ, C1 = −2µ cos ϕ sin ϕ, C2 = fx + µ sin2 ϕ.ZZZZξηppdξdη, G1 (ξ, η) =dξdη,F1 (ξ, η) =ξ 2 + η2ξ 2 + η2ΩΩ12ξ2ZZF2 (ξ, η) =pΩξ 2 + η2η2ZZdξdη,G2 (ξ, η) =pΩZZL(ξ, η) =Ωξ 2 + η2dξdη,ξηpdξdη.ξ 2 + η2После интегрирования система (13) примет вид:mv̇C = 0,(14)mvC ϑ̇ = 0,I ω̇ = C0 F2 (ξ, η) + C2 G2 (ξ, η),Очевидно, что движение будет оставаться чисто вращательным.Случай ω 6= 0,v 6= 0.На рисунке 1 представлено решение системы (4) для некоторых значенийππµ и начальных условий: t = 0, vC = 1, ϑ = , ω = 1, ϕ = .

1(a) и 1(c)43соответствуют круговой площадке контакта, 1(b) и 1(d) – эллиптической сэксцентриситетом e = 0.866. Сплошной линией показан случай, когда силатрения изотропна.Видно, что для диска угол ϑ остаётся неизменным, а в анизотропныхслучаях ϑ обращается в ноль. Эти результаты согласуются с данными статьи (Dmitriev N.N. Sliding of a solid body supported by a round platform ona horizontal plane with orthotropic friction. Part 1. Regular load distribution.// J.Fric. Wear. 2009.

Vol. 30, no. 4. Pp. 227-234), однако, там использовалсядругой способ для вычисления сил трения.Отметим, что движение диска по шероховатой горизонтальной плоскостихарактеризуется тем, что скорость центра масс и угловая скорость обращаются в ноль одновременно, что показано, например, для изотропного трения в работах Ишлинского А.Ю., а для анизотропного в работах ДмитриеваН.Н. Этот вывод подтверждён экспериментально в работе (Waidman P.D.,Malhotra Ch.P. On the Terminal Motion of Sliding Spinning Disks with UniformCoulomb Friction. // Phys. D. 2007. Vol. 233, no. 1. Pp. 1-13), однако, указано,что соотношение между коэффициентом трения и моментом инерции дискаможет иметь решающее значение и приводить к чистому вращению или чистому скольжению.

Зависимость соотношения между v и ω непосредственно13перед моментом остановки от величины µ = fy − fx (fy ≥ fx ) при fx = 0, 42представлены в таблице 1. Как и в работах Дмитриева Н.Н., Waidman P.D.,Malhorta Ch.P., а также в работе (Farkas Z., Bartels G., Unger T., Wolf D.E.Frictional coupling between sliding and spinning motion // Phys. Rev. Lett. 2003.Vol. 90, no. 24. Pp. 248-302), значение величины β в изотропном случае оказалось 0.653. Это значение хорошо видно и в решении динамической задачи нарисунке 1(a). Совпадение решения с результатами других авторов позволяетсделать вывод о верности предложенного подхода.Таблица 1: Зависимость величины β непосредственно перед остановкой от µпри скольжении диска по плоскости с ортотропным трением (fx = 0.42).µ0.00 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18β0.653 0.697 0.739 0.779 0.816 0.859 0.890β(t), circleβ(t), ellipse11330.9220.80.80.60.70110.2a)0.400.40.2b)ϑ(t)0.4ϑ(t)0.810.60.5110.40.200c)0230.20.4−0.503d)20.20.4Рис.

1: Влияние анизотропии сил трения на эволюцию параметров β и ϑ длядиска и эллипса (e = 0.866): 1) µ = 0, 2) µ = 0.09, 3) µ = 0.18. v0 = 1, ω0 =1, ϕ0 = π/3, ϑ0 = π/4В случае эллиптической площадки контакта остановка скольжения и вращения также происходит одновременно, однако характерные значение пара14метра β, расстояния до мгновенного центра скоростей, заметно ниже. Видно,что при движении эллиптической пластины даже в случае изотропного трения угол ϑ меняется: вектор скорости поворачивается в сторону противоположную угловой скорости пластины.В таблице 2 представлены характерные значения величины β при фиπнальном значении угла ϕ = .

Параметры β∗ , θ∗ непосредственно перед оста2новкой существенно зависят от ориентации эллипса непосредственно передокончанием скольжения. В свою очередь, угол ϕ зависит от начальных условий: t = 0, ϕ = ϕ0 , ω = ω0 , v = v0 , т.е. ϕ∗ = ϕ∗ (v0 , ω0 , ϕ0 , fx , fy , p).Таблица 2: Зависимость величины β непосредственно перед остановкой от µпри скольжении эллиптической пластинки (e = 0.866) по плоскости с ортотропным трением (fx = 0.42).µ0.00 0.03 0.06 0.09 0.12 0.15 0.18ϕ∗ = π/20.577 0.593 0.608 0.623 0.637 0.650 0.664β(t), linear pβ(t), uni p113320.80.8210.60.400.61a)0.20.400.40.2b)ϑ(t)0.4ϑ(t)11120.50.51003−0.5030.20.4−0.50c)20.20.4d)Рис. 2: Эволюция параметров β и ϑ для эллипса e = 0.866 при линейном иравномерном распределении давления: 1) µ = 0, 2) µ = 0.12, 3) µ = 0.24.15В предположение линейного распределения давления система (4), которая была получена для центра эллипса, смещённого на ξ0 = 0.1, η0 = 0.1,решалась при начальных условиях t = 0, v = 1, ϑ = π4 , ω = 1.

Характеристики

Список файлов диссертации