Диссертация (1149223), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Тогда функция f является H–кодифференцируемой в точке x ∈ Ω тогда и только тогда, когда функция f является дифференцируемой по направлениям в этой точке и производная по направлениям f 0 (x, ·) функции f в точке x представима в виде суммы конечной H–выпуклой и конечной H–вогнутойфункций.Воспользовавшись теоремой 1.3.13 о представлении сублинейных функций, нетруднопоказать справедливость следующих утверждений.Следствие 2.2.1. Пусть X = Rd , H = X ∗ и функция f : Ω → R произвольна. Тогда fявляется H–кодифференцируемой в точке x ∈ Ω тогда и только тогда, когда она квазидифференцируема в этой точке.Следствие 2.2.2. Пусть X = Rd , множество H состоит из всех сублинейных (суперлинейных) функций h : Rd → R и функция f : Ω → R произвольна. Тогда функция f являетсяH–гипердифференцируемой (H–гиподифференцируемой) в точке x ∈ Ω тогда и только тогда, когда существует верхний (нижний) экзостер функции f в точке x.Следующее предложение даёт описание H–кодифференцируемости и H–производнойдифференцируемой по направлениям функции в общем случае.Предложение 2.2.2.
Пусть функция f : Ω → R дифференцируема по направлениям (поГато) в точке x ∈ Ω. Для того чтобы функция f была H–кодифференцируема в точкеx необходимо и достаточно, чтобы существовали H–выпуклая функция Φ : X → R и H–вогнутая функция Ψ : X → R такие, что 0 ∈ int(dom Φ ∩ dom Ψ), функция Φ + Ψ дифференцируема по направлениям (по Гато) в нуле и f 0 (x, ·) = (Φ + Ψ)0 (0, ·).
Более того, в данномслучае δH f (x) состоит из всех таких пар функций (Φ, Ψ) ∈ P F (X, H), что функция Φ + Ψдиффренцируема по направлениям (по Гато) в нуле и f 0 (x, ·) = (Φ + Ψ)0 (0, ·).Справедливо и обратное утверждение.31Предложение 2.2.3. Пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точкеx ∈ Ω. Для того чтобы функция f была дифференцируемой по направлениям (по Гато) вточке x необходимо и достаточно, чтобы нашлись (Φ, Ψ) ∈ δH f (x) такие, что функцияΦ + Ψ дифференцируема по направлениям (по Гато) в нуле, причём f 0 (x, ·) = (Φ + Ψ)0 (0, ·).Приведём несколько общих утверждений об H–кодифференцируемых функциях.Предложение 2.2.4. Пусть каждая функция h ∈ H положительно однородна степениµ > 1, и пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точке x. Тогда fдифференцируема по Гато в точке x и f 0 [x] = 0.Доказательство.
Поскольку функция f является H–кодифференцируемой в точке x, то длялюбых (U, V ) ∈ DH f (x) и для любого допустимого ∆x ∈ X будетf (x + ∆x) − f (x) = sup h(∆x) + inf p(∆x) + o(∆x, x),p∈Vh∈Uгде o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0. Отсюда получаем, что для любого допустимого ∆x ∈ X будет111sup h(α∆x) + inf p(α∆x) + lim o(α∆x, x) =lim (f (x + α∆x) − f (x)) = limp∈Vα↓0 αα↓0 α h∈Uα↓0 α= lim αµ−1 sup h(∆x) + inf p(∆x) = 0.α↓0h∈Up∈VЗначит функция f дифференцируема по Гато в точке x и f 0 [x] = 0.Предложение 2.2.5. Пусть каждая функция h ∈ H положительно однородна степениµ < 1, и пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точке x. Тогда длялюбого ∆x ∈ X будет1lim (f (x + α∆x) − f (x)) = ∞.α↓0 αТеорема 2.2.1.
Пусть пространство X конечномерно, f : Ω → R — произвольная функция,x ∈ Ω. Предположим, что существует подмножество H0 множества H, удовлетворяющее следующим условиям:1. существует δ > 0 такое, что каждая функция h ∈ H0 непрерывна на B(0, δ);2. H0 является конусом;3. H0 замкнуто относительно вертикальных сдвигов;4.
для каждого z ∈ B(0, δ) существует функция h ∈ H0 такая, что h(z) = 0 и h(x) < 0для всех x ∈ B(0, δ) \ {z}.32Тогда для того чтобы функция f : Ω → R была H–гиподифференцируема в некоторойокрестности O точки x достаточно, чтобы f была полунепрерывна снизу на O.Доказательство. Зафиксируем произвольное y ∈ O. Поскольку функция f пн.сн. на O, тосуществует r > 0 такое, что f пн.сн. на B(y, r) ⊂ O. Положим r0 = min{δ, r} > 0 и определимфункцию g : B(0, r0 ) → R по правилу g(z) = f (y + z). Функция g, очевидно, пн.
сн. на B(0, r).Так как пространство X конечномерно, то множество B(0, r) компактно. Откуда, потеореме 1.4.3, функция g является H0 –выпуклой на B(0, r), то есть существует U ⊂ H0 ⊂ Hтакое, чтоg(z) = sup h(z) ∀z ∈ B(0, r).h∈UСледовательно, для любого ∆y ∈ B(0, r) будетf (y + ∆y) − f (y) = g(∆y) − f (y) = sup(h(∆y) − f (y)).h∈UЗначит функция f является H–гиподифференцируемой (даже H0 –гиподифференцируемой)в точке y, что и требовалось.Теорема 2.2.2. Пусть пространство X конечномерно, f : Ω → R — произвольная функция,x ∈ Ω. Предположим, что существует подмножество H0 множества H, удовлетворяющее следующим условиям:1.
существует δ > 0 такое, что каждая функция h ∈ H0 непрерывна на B(0, δ);2. H0 является конусом;3. H0 замкнуто относительно вертикальных сдвигов;4. для каждого z ∈ B(0, δ) существует функция h ∈ H0 такая, что h(z) = 0 и h(x) > 0для всех x ∈ B(0, δ) \ {z}.Тогда для того чтобы функция f : Ω → R была H–гипердифференцируема в некоторойокрестности O точки x достаточно, чтобы f была полунепрерывна сверху на O.В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное определение регулярностиH–производной.Определение 2.2.3. Пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точкеx ∈ Ω. Будем говорить что H–производная δH f (x) регулярна в нуле, если существует пара(Φ, Ψ) ∈ δH f (x) такая, что для любого y ∈ X существуют Ly > 0 и αy > 0 для которых|Φ(αy) + Ψ(αy)| 6 Ly α ∀α ∈ (0, αy ).33Заметим очевидное свойство функции, H–производная которой регулярна в нуле.Предложение 2.2.6.
Пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точкеx ∈ Ω, и предположим, что H–производная δH f (x) регулярна в нуле. Тогда для любого∆x ∈ X существуют L > 0 и α0 > 0 такие, что|f (x + α∆x) − f (x)| 6 Lα2.3α ∈ [0, α0 ).Абстрактно выпуклые аппроксимацииВ данном разделе мы рассмотрим абстрактные выпуклые аппроксимации негладкихфункции. Абстрактные выпуклые аппроксимации функции тесно связаны с её абстрактнымкодифференциалом и являются очень удобным инструментом исследования различных экстремальных задач.Замечание 2.3.1.
Понятие абстрактной выпуклой аппроксимации является естественнымобобщением понятия выпуклой аппроксимации функции, изучавшегося многими авторами(см., например, [16, 23, 34, 43, 93]).Пусть Ω ⊂ X — открытое множество, f : Ω → R — произвольная функция.Определение 2.3.1. H–выпуклая функция ϕ : X → R называется верхней H–выпуклойаппроксимацией функции f в точке x, если1. ϕ(0) > 0 и 0 ∈ int dom ϕ;2. для любых ε > 0 и ∆x ∈ X существует α0 > 0 такое, что co{x, x + α0 ∆x} ⊂ Ω ∩ dom ϕ иf (x + α∆x) − f (x) 6 ϕ(α∆x) + αε ∀α ∈ [0, α0 ).Определение 2.3.2.
H–вогнутая функция ψ : X → R называется нижней H–вогнутойаппроксимацией функции f в точке x, если1. ψ(0) 6 0 и 0 ∈ int dom ψ;2. для любых ε > 0 и ∆x ∈ X существует α0 > 0 такое, что co{x, x + α0 ∆x} ⊂ Ω ∩ dom ψ иf (x + α∆x) − f (x) > ψ(α∆x) − αε ∀α ∈ [0, α0 ).Следующее предложение указывает очевидную связь между верхними H–выпуклыми(нижними H–вогнутыми) аппроксимациями функции и её H–производной.34Предложение 2.3.1. Пусть множество H замкнуто относительно сложения и для любого h ∈ H будет 0 ∈ int dom h. Предположим, что функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точке x ∈ Ω.
Тогда для любой пары (Φ, Ψ) ∈ δH f (x) и для всехh ∈ supp− (Φ, H) и p ∈ supp+ (Ψ, H) функция Φ + p является верхней H–выпуклой аппроксимацией функции f в точке x, а функция h + Ψ является нижней H–вогнутой аппроксимацией функции f в данной точке.2.4Исчисление абстрактно кодифференцируемыхфункцийВ данном разделе мы посроим исчисление абстрактно кодифференцируемых функций.При этом заметим, что аналогичным образом можно получить некоторые правила для вычисления верхних H–выпуклых и нижних H–вогнутых аппроксимаций, а также исчислениеH–гиподифференцируемых и H–гипердифференцируемых функций.Пусть Ω ⊂ X — открытое множество. Ясно, что если функция f : Ω → R являетсяH–кодифференцируемой в точке x ∈ Ω, то для любого c ∈ R функция f + c также H–кодифференцируема в этой точке, причём δH (f + c)(x) = δH f (x) и DH (f + c)(x) = DH f (x).Отметим ещё два очевидных правила вычисления H–производных.Предложение 2.4.1.
Пусть функции f1 , f2 : Ω → R являются H–кодифференцируемымив точке x, и предположим, что множество H замкнуто относительно сложения. Тогдафункция f1 +f2 также является H–кодифференцируемой в точке x, причём δH (f1 +f2 )(x) =δH f1 (x) + δH f2 (x) и DH (f1 + f2 )(x) = DH f1 (x) + DH f2 (x).Предложение 2.4.2. Пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точкеx ∈ Ω, и пусть α ∈ R произвольно. Предположим, что 0 ∈ H в случае α = 0, и H являетсяконусом в случае α 6= 0. Тогда функция αf является H–кодифференцируемой в точке x,δH (αf )(x) = αδH f (x) и DH (αf )(x) = αDH f (x) в случае α > 0, и функция αf является(−H)–кодифференцируемой в точке x, δ(−H) (αf )(x) = αδH f (x) и D(−H) (αf )(x) = αDH f (x).Следствие 2.4.1. Пусть множество H является линейным подпространством пространства RX (здесь RX — линейное пространство, состоящее из всех отображений из X в R).Тогда множество всех функций f : Ω → R, являющихся H–кодифференцируемыми в точкеx ∈ Ω (или на множестве A ⊂ Ω), есть линейное пространство относительно поточечныхопераций сложения и умножения на число.35Рассмотрим вопрос об H–кодифференцируемости суперпозиции функций.Теорема 2.4.1.
Предположим, что выполнены следующие условия:1. множество H является линейным подпространством RX ;2. функции fi : Ω → R являются H–кодифференцируемы в точке x ∈ Ω, i ∈ I ={1, . . . , n};3. δH fi (x) регулярны в нуле, i ∈ I;4. S ⊂ Rn открытое множество такое, что y = (f1 (x), . .
. , fn (x)) ∈ S;5. функция g : S → R дифференцируема в точке y;6. функция T (·) = g(f1 (·), . . . , fn (·)) определена на открытом множестве O ⊂ Ω.Тогда функция T является H–кодифференцируемой в точке x иnX∂g(f1 (x), . . . , fn (x))δH fi (x),δH T (x) =∂yii=1nX∂gDH T (x) =(f1 (x), . . . , fn (x))DH fi (x).∂yii=1Доказательство. Так как функция g дифференцируема в точке y, то для любого допустимого ∆y = (∆y1 , . . . , ∆yn ) ∈ Rn будетg(y + ∆y) − g(y) =nX∂g(y)∆yi + β(∆y)k∆yk,∂yii=1(2.3)где β(∆y) → 0 при ∆y → 0, k · k — произвольная норма в Rn .Зафиксируем произвольное ∆x ∈ X такое, что co{x, x + ∆x} ⊂ O.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
