Диссертация (1149223), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Функция f : Ω → R называется непрерывно кодифференцируемой вточке x ∈ Ω, если функция f кодифференцируема в некоторой окрестности точки x и существует кодифференциальное отображение x → Df (x) такое, что многозначные отображенияx → df (x) и x → df (x) непрерывны по Хаусдорфу в точке x.Нетрудно проверить, что если функции f1 , f2 : Ω → R непрерывно кодифференцируемыв точке x ∈ Ω, то для любых α, β ∈ R и непрерывно дифференцируемой функции g : R2 → Rфункции αf1 +βf2 , f1 ·f2 , max{f1 , f2 }, min{f1 , f2 }, а также g(f1 (·), f2 (·)) являются непрерывнокодифференцируемыми в точке x.
Также любая непрерывно дифференцируемая функцияявляется непрерывно кодифференцируемой.Справедливо следующее необходимое условие экстремума, выражаемое в терминах кодифференцируемых функций.Теорема 1.5.3. Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема в точке x∗ ∈ Ω, и пусть x∗— точка локального минимума (максимума) функции f . Тогда0 ∈ df (x∗ ) + {(0, w)}∀(0, w) ∈ df (x∗ )0 ∈ df (x∗ ) + {(0, v)}25∀(0, v) ∈ df (x∗ ) .Дальнейшим обобщением кодифференцируемых функций является понятие функции,обладающей коэкзостером.Определение 1.5.6. Пусть f : Ω → R — произвольная функция. Семейство непустых выпуклых компактных подмножеств Ef (x) пространства Rn+1 называется верхним коэкзостеромв смысле Дини функции f в точке x ∈ Ω, если для любого допустимого ∆x ∈ Rn будетf (x + ∆x) − f (x) = minmax (a + hv, ∆xi) + o(∆x, x),C∈Ef (x) (a,v)∈Cгде o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.Семейство непустых выпуклых компактных подмножеств Ef (x) пространства Rn+1называется нижним коэкзостером в смысле Дини функции f в точке x ∈ Ω, если длялюбого допустимого ∆x ∈ Rn будетf (x + ∆x) − f (x) = maxmin (b + hw, ∆xi) + o(∆x, x),C∈Ef (x) (b,w)∈Cгде o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.Теорема 1.5.4.
Пусть существует верхний коэкзостер функции f : Ω → R в точке x∗ ∈ Ω,и предположим, что x∗ является точкой локального минимума функции f . Тогда0∈C∀C ∈ R(x∗ ),где R(x∗ ) = {C ∈ Ef (x∗ ) | min(a,v)∈C a = 0}.Замечание 1.5.2. Справедливо аналогичное необходимое условие максимума для функции,обладающей нижним коэкзостером.Популярными инструментами исследования различных негладких задач являются различные обобщения субдифференциалов.Определение 1.5.7. Вектор v ∈ Rn называется проксимальным субградиентом функцииf : X → R в точке x ∈ dom f , если существуют ε > 0 и k > 0 такие, чтоf (x + ∆x) − f (x) − hv, ∆xi > −kk∆xk2∀∆x ∈ B(0, ε).Множество всех проксимальных субградиентов функции f в точке x обозначается через∂p f (x).
Пусть функция f пн. сн. в точке x ∈ dom f . Предельным проксимальным субдифференциалом функции f в точке x называется множество∂f (x) =lim supu→x,f (u)→f (x)26∂p f (u).Определение 1.5.8. Пусть функция f : Ω → R удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности точки x ∈ Ω. Производной Кларка функции f по направлению g ∈ Rn вточке x называется величина↓fCl(x, g) = lim supy→x,t↓0f (y + tg) − f (y).tМножество↓(x, g) > hv, gi ∀g ∈ Rn }∂Cl f (x) = {v ∈ Rn | fClназывается субдифференциалом Кларка функции f в точке x.Следующая теорема позволяет упростить вычисление субдифференциала Кларка внекоторых случаях.Теорема 1.5.5.
Пусть функция f : Ω → R удовлетворяет условию Липшица на Ω. Обозначим через Ωf ⊂ Ω — множество всех точек y ∈ Ω в которых функция f дифференцируема.Тогда∂Cl f (x) = conolim ∇f (xn ) xn → x, xn ∈ Ωf , n ∈ N ,n→∞где ∇f (y) — градиент функции f в точке y.Справедливо следующее необходимое условие экстремума в терминах субдифференциала Кларка.Теорема 1.5.6. Пусть функция f : Ω → R удовлетворяет условию Липшица в некоторой окрестности точки x∗ ∈ Ω, являющейся точкой локального минимума (максимума)функции f . Тогда 0 ∈ ∂Cl f (x∗ ).27Глава 2Абстрактные выпуклые аппроксимациинегладких функций2.1Вспомогательные построенияВ данном разделе мы рассматриваем абстрактно кодифференцируемые функции и абстрактные выпуклые аппроксимации негладких функций. Также мы строим исчисление абстрактных кодифференциалов, выводим условия экстремума и исследуем связь введённыхаппроксимаций с некоторыми классическими понятиями негладкого анализа.Введём несколько вспомогательных множеств, которые позволят упростить дальнейшее изложение теории.
Пусть везде далее X — вещественное нормированное пространство,а H — непустое множество функций h : X → R. Обозначим через P F (X, H) множество, состоящее из всех пар функций (Φ, Ψ) таких, что функция Φ : X → R является H–выпуклой,функция Ψ : X → R является H–вогнутой и 0 ∈ int(dom Φ ∩ dom Ψ).Введём бинарное отношение σ на множестве P F (X, H). Пусть ((Φ1 , Ψ1 ), (Φ2 , Ψ2 )) ∈ σгде (Φi , Φi ) ∈ P F (X, H), i ∈ {1, 2}, тогда и только тогда, когда Φ1 (0) + Ψ1 (0) = Φ2 (0) + Ψ2 (0)и для любого x ∈ Xlimα↓01Φ1 (αx) + Ψ1 (αx) − Φ2 (αx) − Ψ2 (αx) = 0.αНетрудно проверить, что бинарное отношение σ является отношением эквивалентности.Множество всех классов эквивалентности P F (X, H)/σ обозначим через EP F (X, H). Если(Φ, Ψ) ∈ P F (X, H), то обозначим через [Φ, Ψ] класс эквивалентности элемента (Φ, Ψ) поотношению σ.Любая H–выпуклая функция определяется некоторым подмножеством множества H.Поэтому вместо множества P F (X, H) можно рассматривать множество P S(H), состоящее28из всех возможных пар (U, V ) непустых подмножеств U, V ⊂ H таких, чтоsup h, inf p ∈ P F (X, H).h∈Up∈VНа множестве P S(H) можно ввести отношение эквивалентности σe аналогичное отношениюэквивалентности σ.
А именно, пусть ((U1 , V1 ), (U2 , V2 )) ∈ σe, где (Ui , Vi ) ∈ P S(H), i ∈ {1, 2},тогда и только тогда, когда( sup h1 , inf p1 ), ( sup h2 , inf p2 ) ∈ σ.h1 ∈U1p1 ∈V1h2 ∈U2p2 ∈V2Нетрудно понять, что σe — это отношение эквивалентности. Как и в случае множестваP F (X, H), определим множество EP S(H) = P S(H)/eσ и введём обозначение [U, V ] для класса эквивалентности элемента (U, V ) ∈ P S(H) по отношению σe.Введём операции сложения и умножения на вещественное число на множествеEP F (X, H). Операции сложения и умножения на число на множестве EP S(H) определяются аналогичным образом.
Пусть α ∈ R произвольно. Предположим, что 0 ∈ H в случаеα = 0, и H является конусом в случае α 6= 0.Пусть (Φ, Ψ) ∈ P F (X, H). Положим[αΦ, αΨ] ∈ EP F (X, H), если α > 0,α[Φ, Ψ] = [αΨ, αΦ] ∈ EP F (X, −H), если α < 0,[0, 0], если α = 0.Нетрудно проверить, что введённая выше операция умножения на вещественное число корректно определена, в том смысле, что элемент α[Φ, Ψ] не зависит от выбора (Φ0 , Ψ0 ) ∈ [Φ, Ψ],т. е. для любых (Φ1 , Ψ1 ), (Φ2 , Ψ2 ) ∈ [Φ, Ψ] будет [αΦ1 , αΨ1 ] = [αΦ2 , αΨ2 ] в случае α > 0 и[αΨ1 , αΦ1 ] = [αΨ2 , αΦ2 ] в случае α < 0.Пусть (Φi , Ψi ) ∈ P F (X, H), i ∈ {1, 2} и множество H замкнуто относительно сложения.Определим[Φ1 , Ψ1 ] + [Φ2 , Ψ2 ] = [Φ1 + Φ2 , Ψ1 + Ψ2 ].Ясно, что операция сложения корректно определена.Замечание 2.1.1.
Определение множества EP F (X, H) аналогично определению множества,элементами которого являются разности сублинейных функций (см., например, [16, 30, 31,112]). Также принцип построения множества EP S(H) и введения операций в нём аналогиченпринципу построения пространства выпуклых множеств, введённого в [115].292.2Абстрактно кодифференцируемые функцииПусть Ω ⊂ X — открытое множество.Определение 2.2.1. Функция f : Ω → R называется H–кодифференцируемой (или абстрактно кодифференцируемой по отношению к множеству H) в точке x ∈ Ω, если существуетэлемент δH f (x) ∈ EP F (X, H) для которого существует пара (Φ, Ψ) ∈ δH f (x) такая, чтоΦ(0) + Ψ(0) = 0 и для любого допустимого ∆x ∈ X (т. е. co{x, x + ∆x} ⊂ Ω ∩ dom Φ ∩ dom Ψ)будетf (x + ∆x) − f (x) = Φ(∆x) + Ψ(∆x) + o(∆x, x),(2.1)где o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.
Элемент δfH (x) называется H–производной функции f вточке x.Нетрудно заметить, что если функция f является H–кодифференцируемой в точкеx, то любая пара (Φ, Ψ) ∈ δH f (x) удовлетворяет равенству (2.1), т. e. определение H–кодифференцируемости не зависит от выбора пары (Φ, Ψ) ∈ δH f (x). Также нетрудно проверить, что H–производная δH f (x) функции f в точке x единственна.
При этом в общемслучае δH f (x) состоит из бесконечного числа эквивалентных элементов.Пример 2.2.1. Пусть X = R, а множество H совпадает с множеством аффинных функций,т. е.H = {h : R → R | h(x) = ax + b, a, b, x ∈ R}.Пусть f (x) = x2 . Для любого λ > 0 положим Φλ (x) = max{−x − λ, 0, x − λ}. Ясно, что всефункции Φλ являются H–выпуклыми. Поскольку функция f дифференцируема и f 0 (0) = 0,то нетрудно проверить, что f является H–кодифференцируемой в нуле и для любого λ > 0будет (Φλ , 0) ∈ δH f (x).Пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точке x ∈ Ω, и пусть(Φ, Ψ) ∈ δH f (x) произвольно. Тогда по определению абстрактной выпуклой и абстрактнойвогнутой функций существуют непустые множества U, V ⊂ H такие, чтоΦ(y) = sup h(y),Ψ(y) = inf p(y) ∀y ∈ Y.p∈Vh∈U(2.2)Обозначим класс эквивалентности [U, V ] ∈ EP S(H) через DH f (x).
Класс эквивалентностиDH f (x) называется H–кодифференциалом функции f в точке x. Нетрудно проверить, чтоDH f (x) не зависит от выбора пары (Φ, Ψ) ∈ δH f (x) и множеств U, V ⊂ H, удовлетворяющих(2.2). Таким образом, H–кодифференциал функции f в точке x однозначно определён.30Определение 2.2.2. Пусть функция f : Ω → R является H–кодифференцируемой в точкеx ∈ Ω, и предположим, что 0 ∈ H.
Функция f называется H–гиподифференцируемой в точкеx, если существует H–выпуклая функция Φ : X → R такая, что δH f (x) = [Φ, 0]. Функцияf называется H–гипердифференцируемой в точке x, если существует H–вогнутая функцияΨ : X → R такая, что δH f (x) = [0, Ψ].Отметим связь H–кодифференцируемости с дифференцируемостью по направлениям.Предложение 2.2.1. Пусть f : Ω → R произвольная функция, и предположим, чтокаждая функция h ∈ H положительно однородна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
