Диссертация (1149223), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Пусть X — банахово пространство, и пусть множество H состоит из всехсобственных пн. сн. выпуклых функций h : X → R таких, что 0 ∈ int dom h. В данном примере мы рассмотрим только H–гипердифференцируемые функции, поскольку множество всехH–гипердифференцируемых функций в рассматриваемом случае совпадает с определённымклассом негладких функций.Укажем сначала полезную характеризацию H–гипердифференцируемых функций вконечномерном случае.
Будем говорить, что H–гипердифференцируемая в точке x ∈ Ω функция f : Ω → R сильно H–гипердифференцируема в этой точке, если существует (0, Ψ) ∈δH f (x) такое, что для любого допустимого ∆x ∈ Xf (x + ∆x) − f (x) = Ψ(∆x) + o(∆x, x),где o(∆x, x)/k∆xk → 0 при ∆x → 0.Предложение 2.6.2. Пусть X — конечномерное нормированное пространство, f : Ω →R — произвольная функция, x∈Ω. Тогда для того, чтобы f была сильно H–гипердифференцируема в некоторой окрестности O ⊂ Ω точки x необходимо и достаточно,чтобы f была пн.
св. на O.Доказательство. Зафиксируем произвольное y ∈ O. Необходимость. Поскольку f строгоH–гипердифференцируема в точке y, то существует непустое множество U ⊂ H такое, чтодля любого допустимого ∆y ∈ Xf (y + ∆y) − f (y) = Ψ(∆y) + o(∆y, y),(2.19)где o(∆y, y)/k∆yk → 0 при ∆y → 0, Ψ(0) = 0, 0 ∈ int dom Ψ и H–вогнутая функция Ψпорождена множеством U .Пусть h ∈ H произвольно. Поскольку h — собственная пн. сн. выпуклая функция такая, что 0 ∈ int dom h, то h непрерывна в некоторой окрестности нуля (теорема 1.3.4). Отсюдаследует, что функция Ψ пн. св. в нуле, как точная нижняя грань семейства непрерывныхфункций. Откуда, с учётом (2.19), нетрудно получить полунепрерывность сверху функцииf в точке y.46Достаточность. Зафиксируем произвольное δ > 0. Нетрудно проверить, что множество H0 , состоящее из всех выпуклых функций h : X → R непрерывных на B(0, δ), удовлетворяет всем условиям теоремы 2.2.2.
Откуда получаем, что существует U ⊂ H0 такое, чтодля достаточно малого r > 0 будетf (y + ∆y) − f (y) = sup(h(∆y) − f (y)) ∀∆y ∈ B(0, r),h∈Uто есть функция f сильно H–гипердифференцируема в точке y.Изучим H–гипердифференцируемость в общем случае. Предположим, что функцияf : Ω → R является H–гипердифференцируемой в точке x ∈ Ω, т. е. существует множествоU ⊂ H такое, что для любого допустимого ∆x ∈ X будетf (x + ∆x) − f (x) = inf h(∆x) + o(∆x, x),h∈Uгде o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0. Предположим также, что существует ρ > 0 такое, чтокаждая функция h ∈ U ограничена на O(0, ρ).
Тогда, воспользовавшись следствием 2.6.1,получим, что существует семейство выпуклых ограниченных и компактных в топологии τ ×w∗ множеств Ah ⊂ R × X ∗ , h ∈ U такое, что для любого допустимого ∆x ∈ Xf (x + ∆x) − f (x) = inf max (a + ϕ(∆x)) + o(∆x, x),h∈U (a,ϕ)∈Ahгде o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0. Откуда получаем, что семейство Ef (x) = {Ah ⊂ R × X ∗ |h ∈ U } является верхним коэкзостером функции f в точке x. Таким образом мы получаемсправедливость следующего утверждения.Предложение 2.6.3.
Пусть X = Rn , f : Ω → R — произвольная функция. Тогда для тогочтобы существовал верхний коэкзостер функции f в точке x ∈ Ω необходимо и достаточно, чтобы функция f была H–гипердифференцируемой в этой точке и существовали ρ > 0и пара (U, {0}) ∈ DH f (x) такие, что каждая функция h ∈ U ограничена на множествеO(0, ρ).Получим с помощью теоремы 2.5.3 необходимые условия экстремума функции, обладающей верхним коэкзостером.Теорема 2.6.1. Пусть A ⊂ Ω — выпуклое замкнутое множество, и предположим, чтосуществуют верхние коэкзостеры Efi (x∗ ) функций fi : Ω → R в точке x∗ ∈ A, i ∈ I0 = I ∪{0}, I = {1, . .
. , n}. Предположим также, что x∗ является точкой локального минимумав задачеf0 (x) → inf,x ∈ A,47fi (x) 6 0,i ∈ I.Тогда для любых Ci ∈ efi (x∗ ), i ∈ {0} ∪ R(x∗ ) будетco Ci | i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} ∩ ({0} × (−N (A, x∗ ))) 6= ∅,где efi (x∗ ) = {C ∈ Efi (x∗ ) | max(a,ϕ)∈C a = 0} и R(x∗ ) = {i ∈ I | fi (x∗ ) = 0}.Доказательство. Зафиксируем произвольные Ci ∈ ei f (x∗ ), i ∈ I0 и обозначимgi (·) = max (a + ϕ(·)) ∀i ∈ I0 .(a,ϕ)∈CiС учётом теоремы 2.5.3 получаем, что выпуклая функцияg(·) = max{g0 (·), g1 (·) + f1 (x∗ ), . .
. , gn (·) + fn (x∗ )}достигает глобального минимума на множестве A−x∗ в нуле. Откуда, воспользовавшись необходимым условием минимума выпуклой функции на выпуклом множестве (теорема 1.3.11)и теоремой о субдифференциале максимума конечного числа выпуклых функций (теорема1.3.9), имеем, что∂g(0) ∩ (−N (A − x∗ , 0)) 6= ∅,∂g(0) = co{∂gi (0) | i ∈ R(x∗ ) ∪ {0}}.Остаётся только воспользоваться очевидным равенством N (A − x∗ , 0) = N (A, x∗ ) и заметить,что по теореме 1.3.10 будет {0} × ∂gi (0) ⊂ Ci .Замечание 2.6.2.
(i) В главе 4 мы более подробно изучим H–гипердифференцируемость врассматриваемом случае опираясь на понятие выпуклой аппроксимации негладкой функции.(ii) Аналогичным образом можно рассмотреть случай, когда множество H состоит извсех собственных пн. св.
вогнутых функций h : X → R таких, что 0 ∈ int dom h, и установитьсвязь между H–гиподифференцируемость и существованием нижнего коэкзостера функцииf : Ω → R.Пример 2.6.4. Пусть X = Rn и множество H состоит из всех функций h : Rn → R видаh(x) = minhvi , xi + c,i∈Iгде I = {1, . . . , n + 1}, c ∈ R и vi ∈ Rn , i ∈ I.
Каждая функция h, очевидно являетсянепрерывной вогнутой функцией и ∂h(0) = co{vi | i ∈ I}. Мы будем рассматривать толькоH–гиподифференцируемые функции.Можно показать, что функция Φ : Rn → R такая, что Φ(0) < +∞ является H–выпуклойтогда и только тогда, когда Φ является пн. сн.
на Rn и выпуклой вдоль лучей, т.е. тогда и48только тогда когда Φ пн. сн. и для любого x ∈ Rn функция α → Φ(αx), α ∈ [0, +∞) являетсявыпуклой ([119], предложение 5.53 и теорема 5.16). Отсюда получаем, что функция f : Ω → Rявляется H–гиподифференцируемой в точке x ∈ Ω тогда и только тогда, когда существуетпн. сн. и выпуклая вдоль лучей функция Φ : Rn → R такая, что 0 ∈ int dom Φ, Φ(0) = 0 и длялюбого допустимого ∆x ∈ Rnf (x + ∆x) − f (x) = Φ(∆x) + o(∆x, x),где o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.Укажем простое достаточное условие H–гиподифференцируемости.Предложение 2.6.4.
Пусть функция f : Ω → R дифференцируема по направлениям в точкеx ∈ Ω, и предположим, что производная по направлениям f 0 (x, ·) функции f в точке xполунепрерывна снизу. Тогда функция f является H–гиподифференцируемой в точке x.Доказательство. Функция f 0 (x, ·), очевидно, является пн. сн. и выпуклой вдоль лучей. Приэтом для любого ∆x ∈ Rn будетf (x + ∆x) − f (x) = f 0 (x, ∆x) + o(∆x, x),где o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0. Откуда получаем, что f является H–гиподифференцируемойв точке x.Выведем необходимые условия максимума для H–гиподифференцируемых функций.Предложение 2.6.5.
Пусть A ⊂ Ω — замкнутое выпуклое множество, функции fi : Ω →R, i ∈ I0 = {0} ∪ I, I = {1, . . . , n}, являются H–гиподифференцируемыми в точке x∗ ∈ Aявляющейся точкой локального максимума в задачеf0 (x) → sup,x ∈ A,fi (x) ≥ 0,i ∈ I.Тогда для любых (Ui , 0) ∈ DH fi (x) и hi ∈ Ui таких, что hi (0) = 0, i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} будетco ∂hi (0) | i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} ∩ N (A, x∗ ) 6= ∅,(2.20)где R(x∗ ) = {i ∈ I | fi (x) = 0}.Доказательство. Зафиксируем произвольные (Ui , 0) ∈ DH fi (x) и hi ∈ Ui такие, что hi (0) =0, i ∈ I0 .
Ясно, что функция hi является нижней H–вогнутой аппроксимацией функцииfi в точке x∗ , i ∈ I0 . Тогда по теореме 2.5.2 ноль является точкой глобального максимумавогнутой функцииg(·) = min{h0 (·), h1 (·) + f1 (x∗ ), . . . , hn (·) + fn (x∗ )}49на множестве A − x∗ . Откуда, воспользовавшись теоремами 1.3.9 и 1.3.11, получаем справедливость условия (2.20).Рассмотрим конкретный пример H–гиподифференцируемой функции. Пусть n = 2, идля всех x = (x1 , x2 ) ∈ R2 положим−|x1 | − |x2 |, если x1 6 0,f (x) =|x1 | + |x2 |, если x1 > 0.Нетрудно проверить, что функция f пн. сн. и положительно однородна, поэтому f являетсяH–гиподиффренцируемой в точке x = (0, 0). Укажем, как можно вычислить множество U ⊂H такое, чтоf (x) = sup h(x) ∀x ∈ X,h∈Uт.е.
(U, 0) ∈ DH f (x) (здесь мы следуем [119], параграф 5.5). Положимh0 (x) = min{0, x1 − x2 , x1 + x2 }.Ясно, что h0 ∈ H, при этом h0 (x) = f (x), если x1 6 0 и h(x) < f (x) если x1 > 0.Определим множествоS+ = {x ∈ R2 | kxk2 = 1, x1 > 0}.и зафиксируем произвольные x0 ∈ S+ и δ ∈ (0, f (x0 )). Здесь k · k2 — евклидова норма.Очевидно, что существует y0 ∈ R2 такое, что ky0 k2 = 1 и hy0 , x0 i = 0. Для любого C > 0определим функциюhx0 ,δ,C (x) = min{h(f (x0 ) − δ)x0 − Cy0 , xi, h(f (x0 ) − δ)x0 + Cy0 , xi, h(f (x0 ) + 1)x0 , xi}.Нетрудно проверить, что hx0 ,δ,C ∈ H и hx0 ,δ,C (x0 ) = f (x0 ) − δ.
При этом можно показать, чтосуществует C(x0 , δ) > 0 такое, что для любого C > C(x0 , δ) будетhx0 ,δ,C (x) 6 f (x) ∀x ∈ R2(см. [119], доказательство теоремы 5.14). Следовательно, можно положитьU = {h0 } ∪ {hx0 ,δ,C | x0 ∈ S+ , δ ∈ (0, f (x0 )), C = C(x0 , δ) + 1}.Заметим, что для всех x0 ∈ S+ , δ ∈ (0, f (x0 )) и C > C(x0 , δ) будет0∈/ ∂hx0 ,δ,C (0) = co{(f (x0 ) − δ)x0 − Cy0 , (f (x0 ) − δ)x0 + Cy0 , (f (x0 ) + 1)x0 },т.е. в точке x = (0, 0) не выполнено необходимое условие максимума, указанное в предложении 2.6.5.50Глава 3Кодифференцируемые функцииВ данной главе будут более детально изучены кодифференцируемые функции, определённые на нормированном пространстве.
Мы рассмотрим непрерывно кодифференцируемыефункции и их различные свойства, а также необходимые условия экстремума и численныйметод нахождения стационарных точек кодифференцируемой функции.3.1Предварительные сведенияВ данном разделе мы докажем несколько вспомогательных результатов, которые упростят изложение теории кодифференцируемых функций.Пусть везде в этой главе X — вещественное нормированное пространство, а | · | —произвольная норма в R2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
