Диссертация (1149223), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Определим на пространстве R × X ∗ норму по формуле k(a, f )k =|(a, kf k)|, (a, f ) ∈ R×X ∗ . Поскольку все нормы в R2 эквивалентны, то и все введённые такимобразом нормы в R × X ∗ также эквивалентны. В частности, можно положить1k(a, f )kp = (|a|p + kf kp ) p1 6 p < +∞.Каждой норме на R × X ∗ однозначно соответствует метрика Хаусдорфа, определённая намножестве всех замкнутых ограниченных подмножеств пространства R × X ∗ .
Поскольку всевведённые выше нормы в R×X ∗ эквивалентны, то и все соответствующие метрики Хаусдорфатакже эквивалентны. Поэтому в дальнейшем мы, как правило, не будем уточнять какаяименно норма определена на пространстве R × X ∗ .Рассмотрим линейное пространство R × X. В R × X можно ввести норму по правилу1k(a, x)kp = (|a|p + kxkp ) p ,1 6 p < +∞.Пусть F ∈ (R × X)∗ . Тогда отображение a → F (a, 0) есть, как нетрудно убедиться, линейный непрерывный функционал на R, и поэтому существует единственное c ∈ R такое, что51F (a, 0) = ca. Аналогично, отображение x → F (0, x) является линейным непрерывным функционалом на X и, следовательно, существует единственное f ∈ X ∗ такое, что F (0, x) = f (x).Для любой пары (a, x) ∈ R × X имеемF (a, x) = F (a, 0) + F (0, x) = ca + f (x).Таким образом для любого F ∈ (R × X)∗ существует единственное cF ∈ R и существуетединственное fF ∈ X ∗ такие, что F (a, x) = cF a + fF (x) для всех (a, x) ∈ R × X.
Введёмотображение i : (R × X)∗ → R × X ∗ по правилу i(F ) = (cF , fF ).Предложение 3.1.1. Отображение i является изометрическим изоморфизмом междунормированными пространствами (R×X, k·kq )∗ и (R×X ∗ , k·kp ), где 1 < p, q < ∞, 1/p+1/q =1.Доказательство. Нетрудно проверить, что оператор i является биективным линейным оператором.
Поэтому остаётся только доказать, что оператор i — изометрический. Действительно, для любого функционала F ∈ (R × X)∗ будетkF k =sup|F (a, x)| =(a,x)∈B(0,1)|cF a + fF (x)| 6sup(a,x)∈B(0,1)6k(cF , fF )kp k(a, x)kq = k(cF , fF )kp = ki(F )kp .sup(a,x)∈B(0,1)Здесь мы воспользовались неравенством Гёльдера для сумм.Покажем обратное неравенство.
Для этого зафиксируем произвольное ε > 0. ЕслиfF = 0, то, очевидно, kF k = |cF | = ki(F )kp . Поэтому можно считать, что fF 6= 0. Обозначимµ = (k(cF , fF )kp )p−1 .Из определения нормы линейного непрерывного функционала следует, что существует x ∈SX такое, чтоfF (x) = kfF k −µε.kfF kp−1Положим1kfF kp−1sign(cF )|cF |p−1 , x0 =x.µµТак как 1/p + 1/q = 1, то p = (p − 1)q. Откуда имеем, чтоa0 =(k(a0 , x0 )kq )q =11(|cF |p + kfF kp ) =(k(cF , fF )kp )p = 1,qpµ(k(cF , fF )kp )при этом1(k(cF , fF )kp )p − ε = k(cF , fF )kp − ε.µЗначит kF k > k(cF , fF )kp − ε = ki(F )kp − ε, и следовательно kF k = ki(F )kp , т. е. оператор iF (a0 , x0 ) =— изометрический.52Замечание 3.1.1.
(i) Построение оператора i, по существу, повторяет исследование пространства, сопряжённого к прямому произведению нормированных пространств (см., например, [28]). Однако, в рассматриваемом нами случае можно установить дополнительно, чтооператор i является изометрическим.(ii) Нетрудно проверить, что оператор i осуществляет изоморфизм между топологическими векторными пространствами ((R × X)∗ , w∗ ) и (R × X ∗ , τ × w∗ ) (напомним, что τ —стандартная топология на R).В дальнейшем нам потребуется критерий компактности множества K ⊂ R × X ∗ втопологии τ × w∗ .Теорема 3.1.1.
Для того чтобы подмножество K пространства R×X ∗ было компактно втопологии τ × w∗ достаточно, а в случае когда пространство X — банахово и необходимо,чтобы множество K было ограничено (относительно нормы) и замкнуто в топологииτ × w∗ .Доказательство. Необходимость. Замкнутость K следует из общих свойств компактныхмножеств.
Покажем ограниченность множества K. Определим множестваCk (a, f ) = {x ∈ X | |a| + |f (x)| 6 k},(a, f ) ∈ K, k ∈ N.Множества Ck (a, f ) замкнуты в топологии порождённой нормой в силу непрерывности отображения x → |a| + |f (x)| в данной топологии. Следовательно, замкнуты также и множестваCk =\Ck (a, f ).(a,f )∈KВ силу компактности множества K и непрерывности отображения (a, f ) → |a| + |f (x)| втопологии τ × w∗ множество{|a| + |f (x)| | (a, f ) ∈ K} ⊂ Rограничено при каждом x ∈ X.
ПоэтомуX=∞[Ck .k=1По условию пространство X полно, поэтому по теореме Бэра существуют k0 ∈ N, x0 ∈ Xи ε > 0 такие, что множество Ck0 плотно в шаре B(x0 , ε). Ввиду замкнутости Ck0 отсюдаследует, чтоB(x0 , ε) ⊂ Ck0 .53Это означает, что для любых x ∈ B(x0 , ε) и (a, f ) ∈ K будет |a| + |f (x)| 6 k0 . В частности,|f (x0 )| 6 k0 . Тогда для любых y ∈ B(0, ε) и (a, f ) ∈ K будет|a| 6 k0 ,|f (y)| 6 |f (y + x0 )| + |f (x0 )| 6 2k0 ,так как y + x0 ∈ B(x0 , ε).
Отсюда получаем, чтоk(a, f )k1 = |a| + sup |f (x)| 6 k0 (1 + 2/ε) ∀(a, f ) ∈ K,x∈B(0,1)т. е. множество K ограничено.Достаточность. Пусть множество K ограничено. Тогда существует константа C > 0такая, что для любой пары (a, f ) ∈ K будет|a| + kf k 6 C.(3.1)Замкнутый шар B(0, C) в X ∗ компактен в слабой∗ топологии по теореме Банаха–Алаоглу.Из (3.1) следует, что K ⊂ [−C, C] × B(0, C) = M . Множество M компактно в (R, τ ) × (E ∗ , w∗ )как прямое произведение компактных множеств. Отсюда получаем, что K компактно, какзамкнутое подмножество компактного множества.3.2Определение кодифференцируемостиПусть Ω — открытое множество в вещественном нормированном пространстве X,H = {h : X → R | h(·) = a + ϕ(·), a ∈ R, ϕ ∈ X ∗ },т.
е. H — множество, состоящее из всех непрерывных аффинных функций. Пример 2.6.2мотивирует нас дать следующее определение кодифференцируемости функции, заданной нанормированном пространстве.Определение 3.2.1. Функция f : Ω → R называется кодифференцируемой в точке x ∈ Ω,если существуют собственная пн. сн. выпуклая функция Φ : X → R и собственная пн. св.вогнутая функция Ψ : X → R такие, что 0 ∈ int dom Φ ∩ int dom Ψ, Φ(0) + Ψ(0) = 0, функцииΦ и Ψ непрерывны в нуле и для любого допустимого ∆x ∈ Xf (x + ∆x) − f (x) = Φ(∆x) + Ψ(∆x) + o(∆x, x),где o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.54Замечание 3.2.1. Отметим, что если пространство X — банахово, то по теореме 1.3.4 непрерывность в нуле функций Φ и Ψ в предыдущем определении вытекает из предположения0 ∈ int dom Φ ∩ int dom Ψ.Нетрудно понять, что если функция f : Ω → R кодифференцируема в точке x ∈ Ω,то она является H–кодифференцируемой в этой точке. В случае, когда пространство X— банахово, из теорем 1.4.2 и 1.3.4 вытекает, что понятия кодифференцируемости и H–кодифференцируемости совпадают.Укажем различные эквивалентные формулировки кодифференцируемости.Предложение 3.2.1.
Пусть функция f : Ω → R и точка x ∈ Ω произвольны. Эквивалентыследующие утверждения:i. функция f кодифференцируема в точке x;ii. существуют выпуклые ограниченные и компактные в топологии τ × w∗ множестваA, B ⊂ R × X ∗ такие, чтоmax a + min b = 0(a,ϕ)∈A(b,ψ)∈B(3.2)и для любого допустимого ∆x ∈ Xf (x + ∆x) − f (x) = max (a + ϕ(x)) + min (b + ψ(x)) + o(∆x, x),(a,ϕ)∈A(b,ψ)∈Bгде o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0;iii. существуют непрерывная сублинейная функция Φ0 : R × X → R и непрерывная суперлинейная функция Ψ0 : R × X → R такие, что Φ0 (1, 0) + Ψ0 (1, 0) = 0 и для любогодопустимого ∆x ∈ Xf (x + ∆x) − f (x) = Φ0 (1, ∆x) + Ψ0 (1, ∆x) + o(∆x, x),где o(α∆x, x)/α → 0 при α ↓ 0.Доказательство. Импликация (i) ⇒ (ii) следует из замечания 2.6.1 и того факта, что функции Φ и Ψ непрерывны в нуле. Если выполнено (ii), то для функцийΦ0 (c, y) = max (ac + ϕ(y)),(a,ϕ)∈AΨ0 (c, y) = min (bc + ψ(y)) ∀c ∈ R, ∀y ∈ X(b,ψ)∈B(3.3)выполняется (iii), т.
е. справедлива импликация (ii) ⇒ (iii). Если же положить Φ(·) = Φ0 (1, ·)и Ψ(·) = Ψ0 (1, ·), то получим справедливость импликации (iii) ⇒ (i).55Замечание 3.2.2. Утверждение (iii) предыдущего предложения использовалось в качествеопределения кодифференцируемости отображения между банаховыми решётками в [127].Утверждение (iii) выглядит несколько избыточным по сравнению с остальным эквивалентными определениями кодифференцируемости, однако оно позволяет упростить формулировку и доказательство некоторых результатов о кодифференцируемых функциях (см.
[127]).Замечание 3.2.3. Покажем на примере, что условие (3.2) в утверждении (ii) предыдущегопредложения является существенным. Действительно, пусть X = R,|x|, если x 6= 0,f (x) =−1, если x = 0.Покажем, что функция f не является кодифференцируемой в нуле. От противного. Предположим, что существуют пн. сн. собственная выпуклая функция Φ : R → R и пн. св. собственная вогнутая функция Ψ : R → R, удовлетворяющие определению кодифференцируемостифункции f .
Поскольку 0 ∈ int dom Φ ∩ int dom Ψ, то функции Φ и Ψ являются дифференцируемыми по направлениям в нуле по теореме 1.3.6. Поэтому по предложению 2.2.3 функцияf дифференцируема по направлениям в точке x = 0, что, очевидно, неверно, посколькуf (α) − f (0)1lim= lim 1 += +∞.α↓0α↓0ααОднако, нетрудно проверить, что для A = {0}×[−1, 1] и B = {(1, 0)} и для любых ∆x ∈ R\{0}и α > 0 будетf (α∆x) − f (0) − max (a + v∆x) − min (b + w∆x) = f (α∆x) − f (0) − α|∆x| − 1 = 0.(a,v)∈A(b,w)∈BЗаметим, что в данном случае max(a,v)∈A a + min(b,w)∈B b = 1.Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема в точке x ∈ Ω.
Пара множествDf (x) = [A, B], фигурирующая в утверждении (ii) предложения 3.2.1, называется кодифференциалом функции f в точке x, множество df (x) = A называется гиподифференциаломфункции f , а множество df (x) = B — гипердифференциалом функции f в точке x. Значит,гиподифференциал и гипердифференциал функции f являются выпуклыми ограниченнымии компактными в топологии τ × w∗ множествами.Функция f : Ω → R называется гиподифференцируемой (гипердифференцируемой) вточке x ∈ Ω, если f кодифференцируема в данной точке и существует кодифференциалфункции f в точке x вида Df (x) = [df (x), {0}] (Df (x) = [{0}, df (x)]).Замечание 3.2.4. (i) Очевидно, что в отличие от H–кодифференциала, кодифференциалфункции f в точке x не единственен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
