Диссертация (1149223), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема по Фреше в точкеx ∈ Ω. Тогда функция f непрерывна в этой точке.Замечание 3.3.3. Легко видеть, что если функции f1 , f2 : Ω → R кодифференцируемы поФреше в точке x ∈ Ω, то для любых λ1 , λ2 ∈ R и непрерывно дифференцируемой функции g,определённой в некоторой окрестности точки (f1 (x), f2 (x)) ∈ R2 , функции λ1 f1 + λ2 f2 , f1 · f2 ,max{f1 , f2 }, min{f1 , f2 } и g(f1 (·), f2 (·)) являются кодифференцируемыми по Фреше в точкеx.Теорема 3.3.1. Пусть Y — вещественное нормированное пространство и предположим,что выполнены следующие условия:1.
функция f : Ω → R кодифференцируема по Фреше в точке x ∈ Ω;2. S ⊂ Y — открытое множество;3. отображение F : S → X дифференцируемо по Гато в точке y ∈ S, причём F (y) = x;4. суперпозиция g = f ◦ F определена на S.Тогда функция g кодифференцируема в точке y, причёмdg(y) = {(a, ϕ ◦ F 0 [y]) ∈ R × Y ∗ | (a, ϕ) ∈ df (x)},(3.6)dg(y) = {(b, ψ ◦ F 0 [y]) ∈ R × Y ∗ | (b, ψ) ∈ df (x)}.(3.7)Доказательство. Множества dg(y) и dg(y), очевидно, выпуклы и ограничены. Покажем,что они компактны в топологии τ × σ(Y ∗ , Y ).
Действительно, определим линейный операторT : R × X ∗ → R × Y ∗ по формулеT (a, ϕ) = (a, ϕ ◦ F 0 [y]) ∀(a, ϕ) ∈ R × X ∗ .Покажем, что оператор T непрерывен, как отображение между топологическими векторными пространствами (R × X ∗ , τ × σ(X ∗ , X)) и (R × Y ∗ , τ × σ(Y ∗ , Y )), тогда множества dg(y) иdg(y) будут компактными в топологии τ × σ(Y ∗ , Y ), как образы компактных множеств df (x)и df (x) при непрерывном отображении T .Зафиксируем произвольное (a, ϕ) ∈ R × X ∗ . Пусть O ⊂ R × Y ∗ — окрестность точкиT (a, ϕ) в топологии τ × σ(Y ∗ , Y ).
Тогда существует ε > 0 и y1 , . . . , ym ∈ Y такие, чтоT (a, ϕ) ∈ OY = (c, χ) ∈ R × Y ∗ ||c − a| < ε, |χ(yk ) − ϕ(F 0 [y](yk ))| < ε, k ∈ {1, . . . , m} ⊂ O.63Положим xk = F 0 [y](yk ), k ∈ {1, . . . , m}, и определим множествоOX = (b, ψ) ∈ R × X ∗ | |a − b| < ε, |ψ(xk ) − ϕ(xk )| < ε, k ∈ {1, . . . , m} .Ясно, что OX — окрестность точки (a, ϕ) в топологии τ ×σ(X ∗ , X), причём T (OX ) ⊂ OY ⊂ O,т. е. оператор T — непрерывен.Покажем теперь, что функция g кодифференцируема в точке y. Для этого зафиксируемпроизвольное допустимое ∆y ∈ Y . Поскольку функция F дифференцируема по Гато в точкеy, тоF (y + α∆y) − F (y) = αF 0 [y](∆y) + oF (α),(3.8)где oF (α)/α → 0 при α ↓ 0.
Функция f кодифференцируема по Фреше в точке x = F (y),поэтомуf (x + ∆x) − f (x) =max (a + ϕ(∆x)) +(a,ϕ)∈df (x)min(b + ψ(∆x)) + β(∆x)k∆xk,(b,ψ)∈df (x)(3.9)где β(∆x) → 0 при ∆x → 0. ОбозначимΦ(y) =max (a + ϕ(y)),Ψ(y) =(a,ϕ)∈df (x)min(b + ψ(y)) ∀y ∈ Y.(b,ψ)∈df (x)Из (3.8) и (3.9) следует, что для любого достаточно малого α > 0g(y + α∆y) − g(y) = f (F (y + α∆y) − F (y) + F (y)) − f (F (y)) == Φ(αF 0 [y](∆y)+oF (α))+Ψ(αF 0 [y](∆y)+oF (α))+β(F (y+α∆y)−F (y))kαF 0 [y](∆y)+oF (α)k.Учитывая (3.8) и свойства функции β, получаем, что β(F (y + α∆y) − F (y)) → 0 при α ↓ 0.Также, очевидно, что существует α0 > 0 такое, чтоkαF 0 [y](∆y) + oF (α)k 6 α(kF 0 [y](∆y)k + 1) ∀α ∈ (0, α0 ).Откуда, воспользовавшись тем, что функции Φ и Ψ удовлетворяют условию Липшица внекоторой окрестности нуля (теорема 1.3.3), получим, что для достаточно малых α > 0будетg(y + α∆y) − g(y) = Φ(αF 0 [y](∆y)) + Ψ(αF 0 [y](∆y)) + o(α),где o(α)/α → 0 при α ↓ 0.
Отсюда следует, что функция g кодифференцируема в точке y иеё кодифференциал в данной точке вычисляется по формулам (3.6) и (3.7).Следствие 3.3.1. Пусть в условиях предыдущего предложения функция f непрерывно кодифференцируема по Фреше в точке x и оператор F непрерывно дифференцируем по Гатов точке y. Тогда функция g непрерывно кодифференцируема в точке y.64Замечание 3.3.4. Можно доказать более сильную теорему о кодифференцируемости суперпозиции кодифференцируемых функций (см. [16, 21, 127]). Однако, доказательство этой теоремы достаточно громоздко и она не используется при вычислении кодифференциалов напрактике, поэтому мы её не приводим.3.4Необходимые условия экстремумакодифференцируемых функцийВыведем необходимые условия экстремума кодифференцируемой функции. Пусть A ⊂Ω — замкнутое выпуклое множество, fi : Ω → R — произвольные функции, i ∈ I0 = {0} ∪ I,I = {1, .
. . , n}. Для любой точки x ∈ Ω обозначим R(x) = {i ∈ I | fi (x) = 0}.Замечание 3.4.1. Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема в точке x ∈ Ω. Для удобствадальнейшего изложения введём обозначенияa(f, x) =maxa,b(f, x) =(a,ϕ)∈df (x)minb.(b,ψ)∈dfi (x)Отметим, что из определения кодифференцируемости следует, что справедливо равенствоa(f, x) + b(f, x) = 0.Нам потребуется следующее вспомогательное определение регулярностиОпределение 3.4.1. Пусть функции fi , i ∈ I, кодифференцируемы в точке x ∈ A. Будем говорить, что функции fi , i ∈ I и множество A регулярны в точке x, если для любых(b(fi , x), ψi ) ∈ dfi (x), i ∈ R(x) будетo nco dfi (x) + {(b(fi , x), ψi )} i ∈ R(x) ∩ {0} × (−N (A, x)) = ∅.Сформулируем удобное достаточное условие регулярности.Предложение 3.4.1. Пусть функции fi , i ∈ I, кодифференцируемы в точке x ∈ A, ипредположим, что для любых (b(fi , x), ψi ) ∈ df (x), i ∈ R(x), существует y ∈ A такое, чтоmaxϕ(y − x) < 0 ∀i ∈ I.(0,ϕ)∈dfi (x)+(b(fi ,x),ψi )Тогда функции fi , i ∈ I и множество A регулярны в точке x.Справедлива следующая теорема о необходимых условиях минимума в задаче математического программирования в терминах кодифференциалов.65Теорема 3.4.1.
Пусть функции fi , i ∈ I0 кодифференцируемы в точке x∗ ∈ A и предположим, что x∗ является точкой локального минимума в задачеf0 (x) → inf,x ∈ A,fi (x) 6 0,i ∈ I.Тогда для любых (b(fi , x∗ ), ψi ) ∈ dfi (x∗ ), i ∈ R(x∗ ) ∪ {0}, будетno co dfi (x∗ ) + {(b(fi , x∗ ), ψi )} i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} ∩ {0} × (−N (A, x∗ )) 6= ∅.Если, кроме того, функции fi , i ∈ I и множество A регулярны в точке x∗ , то для любых(b(fi , x∗ ), ψi ) ∈ dfi (x∗ ), i ∈ I0 , существуют λi > 0, i ∈ I такие, что λi fi (x∗ ) = 0 для всехi∈I и∗∗df0 (x )+{(b(f0 , x ), ψ0 )}+nX∗∗λi dfi (x )+{(b(fi , x ), ψi )}∩ {0}×(−N (A, x∗ )) 6= ∅. (3.10)i=1Доказательство. Зафиксируем произвольные (b(fi , x∗ ), ψi ) ∈ dfi (x∗ ), i ∈ I0 и обозначимgi (·) =(a + ϕ(·)) ∀i ∈ I.max(a,ϕ)∈dfi (x∗ )+{(b(fi ,x∗ ),ψi )}Ясно, что gi (0) = 0 для всех i ∈ I.
Из теоремы 2.5.3 следует, что выпуклая функцияg(·) = max{g0 (·), g1 (·) + f1 (x∗ ), . . . , gn (·) + fn (x∗ )}достигает глобального минимума на множестве A−x∗ в нуле. Откуда, воспользовавшись необходимым условием минимума выпуклой функции на замкнутом выпуклом множестве (теорема 1.3.11) и теоремой о субдифференциале максимума конечного числа выпуклых функций(теорема 1.3.9), получаем, что∂g(0) ∩ (−N (A − x∗ , 0)) 6= ∅,∂g(0) = co{∂gi (0) | i ∈ R(x∗ ) ∪ {0}}.Остаётся только заметить, что по теореме о субдифференциале супремума выпуклых функций (теорема 1.3.10) будет {0} × ∂gi (0) ⊂ dfi (x∗ ) + {(b(fi , x∗ ), ψi )} для всех i ∈ I0 .Предположим теперь, что функции fi , i ∈ I и множество A регулярны в точке x∗ .PТогда существуют µi > 0, i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} такие, что i∈R(x∗ )∪{0} µi = 1 иXµi dfi (x∗ ) + {(b(fi , x∗ ), ψi )} ∩ {0} × (−N (A, x∗ )) 6= ∅.i∈R(x∗ )∪{0}С учётом регулярности функций fi и множества A в точке x∗ получаем, что µ0 6= 0.
Следовательно, для множителей λi = µi /µ0 при i ∈ R(x∗ ) и λi = 0 при i ∈ I \ R(x∗ ) выполняетсяравенство (3.10).66В качестве элементарного следствия из предыдущей теоремы мы получаем правиломножителей Лагранжа в гладкой задаче математического программирования с ограничениями неравенствами.Следствие 3.4.1. Пусть функции fi , i ∈ I0 дифференцируемы по Гато в точке x∗ ∈ A,являющейся точкой локального минимума в задачеf0 (x) → inf,x∈Afi (x) 6 0,i ∈ I.Тогда существуют не равные одновременно нулю λi > 0, i ∈ I0 такие, чтоλ0 f00 [x∗ ] +nXλi fi0 [x∗ ] (y − x∗ ) > 0 ∀y ∈ Ai=1и λi fi (x∗ ) = 0 для любого i ∈ I. Кроме того, если существует y ∈ A такое, что для всехi ∈ R(x∗ ) будет fi0 [x∗ ](y − x∗ ) < 0, то λ0 6= 0 и можно считать λ0 = 1.Справедливо также следствие из теоремы 3.4.1 о необходимом условии минимума дляфункции, представимой в виде разности выпуклых функций.Следствие 3.4.2.
Пусть функции fi : X → R представимы в видеfi (x) = g1i (x) − g2i (x) ∀x ∈ X,где g1i , g2i : X → R — собственные выпуклые функции, i ∈ I0 . Предположим, что функцииg1i , g2i непрерывны в точке x∗ ∈ A, i ∈ I0 , являющейся точкой локального минимума взадачеf0 (x) → inf,x ∈ A,fi (x) 6 0,i ∈ I.Тогда для любых ψi ∈ ∂g2i (x∗ ), i ∈ I0 , существуют не равные одновременно нулю числаλi > 0, i ∈ I0 такие, что λi fi (x∗ ) = 0 для всех i ∈ I иnXλi ∂g1i (x∗ ) − {ψi }∩ − N (A, x∗ ) 6= ∅.(3.11)i=0Если, кроме того, для любых ψi ∈ ∂g2i (x∗ ), i ∈ R(x∗ ) существует y ∈ A такое, чтоmaxϕ∈∂g1i (x∗ )−{ψi }ϕ(y − x∗ ) < 0,то для любых ψi ∈ ∂g2i (x∗ ), i ∈ I0 , можно считать, что в (3.11) будет λ0 = 1.Доказательство.
Справедливость данного утверждения непосредственно следует из теоремы 3.4.1 и примера 3.2.5.67В качестве ещё одного следствия из теоремы 3.4.1 получим необходимое условие оптимальности в конечномерной минимаксной задаче с ограничениями.Следствие 3.4.3. Пусть X = Rd и предположим, что выполнены следующие предположения:1. функции fi , i ∈ I дифференцируемы в точке x∗ ∈ A;2. G — компактное топологическое пространство;3.
g : Ω × G → R — заданная функция такая, что отображение y → g(x, y) непрерывнона G при каждом x ∈ Ω, отображение x → g(x, y) дифференцируемо в некоторойокрестности U ⊂ Ω точки x∗ при каждом y ∈ G и отображение (x, y) → gx0 [x, y]непрерывно на U × G.Тогда, если x∗ является точкой локального минимума в задачеmax g(x, y) → inf,y∈Gx ∈ A,i ∈ I,fi (x) 6 0,то существуют числа λk > 0, k ∈ I0 , такие, что λk fk (x∗ ) = 0 для любого k ∈ I иλ0 W (x∗ ) +nXλk fk0 [x∗ ] ∩ (−N (A, x∗ )) 6= ∅,k=1гдеW (x∗ ) = co gx0 [x∗ , y] | y ∈ G : g(x, y) = max g(x, v) .v∈GЕсли, кроме того, существует y ∈ A такое, что fk0 [x∗ ](y − x∗ ) < 0 для всех k ∈ R(x∗ ), тоλ0 6= 0.Доказательство.
Справедливость утверждения непосредственным образом вытекает из теоремы 3.4.1 и примера 3.2.3.Справедлива также следующая теорема о необходимых условиях максимума в задачематематического программирования.Теорема 3.4.2. Пусть функции fi кодифференцируемы в точке x∗ ∈ A и предположим,что x∗ является точкой локального максимума в задачеf0 (x) → sup,x ∈ A,fi (x) > 0,i ∈ I.Тогда для любых (a(fi , x∗ ), ϕi ) ∈ dfi (x∗ ), i ∈ R(x∗ ) ∪ {0}, будетno co dfi (x∗ ) + {(a(fi , x∗ ), ϕi )} i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} ∩ {0} × N (A, x∗ ) 6= ∅.68Если, кроме того, для любых (a(fi , x∗ ), ϕi ) ∈ dfi (x∗ ), i ∈ R(x∗ ), будетo ∗∗co dfi (x ) + {(a(fi , x ), ϕi )} i ∈ R(x ) ∩ {0} × N (A, x ) = ∅,n∗∗то для любых (a(fi , x∗ ), ϕi ) ∈ dfi (x∗ ), i ∈ I0 , существуют λi > 0, i ∈ I такие, что λi fi (x∗ ) =0 для всех i ∈ I и∗∗df0 (x ) + {(a(f0 , x ), ϕ0 )} +nX λi dfi (x∗ ) + {(a(fi , x∗ ), ϕi )} ∩ {0} × N (A, x∗ ) 6= ∅i=1Условия экстремума кодифференцируемой функции выражаются особенно просто вслучае когда функция f является гиподифференцируемой или гипердифференцируемой иотсутствуют ограничения.Предложение 3.4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
