Диссертация (1149223), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема в точке x∗ ∈ Ω, являющейся точкой локального минимума (максимума) фукнции f . Тогда0 ∈ df (x∗ ) + {(b(f, x∗ ), ψ)}0 ∈ df (x∗ ) + {(a(f, x∗ ), ϕ)}∀(b(f, x∗ ), ψ) ∈ df (x∗ )∀(a(f, x∗ ), ϕ) ∈ df (x∗ ) .Более того, если функция f гиподифференцируема (гипердифференцируема) в точке x∗ , то0 ∈ df (x∗ )0 ∈ df (x∗ ) .В следующем разделе будет показано, что необходимые условия экстремума кодифференцируемой функции являются инвариантными относительно выбора кодифференциала.Также мы покажем, что необходимое условие минимума, указанное в предыдущем предложении, эквивалентно условию f 0 (x, g) > 0 для всех g ∈ X.3.5Некоторые свойства кодифференцируемых функцийВ данном разделе мы изучим некоторые свойства кодифференцируемых функций идокажем, что каждая непрерывно кодифференцируемая функция является локально липшицевой.Следующее предложение раскрывает связь между кодифференцируемостью и квазидифференцируемостью.Предложение 3.5.1.
Пусть функция f : Ω → R является кодифференцируемой в точкеx ∈ Ω. Тогда функция f квазидифференцируема в этой точке, причём∂f (x) = ϕ ∈ X ∗ | (a(f, x), ϕ) ∈ df (x) ,∂f (x) = ψ ∈ X ∗ | (b(f, x), ψ) ∈ df (x) .69(3.12)Обратно, любая квазидифференцируемая в точке x ∈ Ω функция f : Ω → R является кодифференцируемой в этой точке, причёмDf (x) = {0} × ∂f (x), {0} × ∂f (x) .Доказательство. Пусть функция f является кодифференцируемой в точке x. ОбозначимΦ(·) =max (a + ϕ(·)),Ψ(·) =(a,ϕ)∈df (x)min(b + ψ(·)).(b,ψ)∈df (x)Из предложения 2.2.3 о дифференцируемости по направлениям H–кодифференцируемойфункции и теоремы 1.3.6 о дифференцируемости по направлениям выпуклой функции следует, что функция f дифференцируема по направлениям в точке x, причёмf 0 (x, g) = Φ0 (0, g) + Ψ0 (0, g) ∀g ∈ X.Поскольку функция Φ выпукла, то функция Φ0 (0, ·) сублинейна, а так как функция Ψ вогнута, то функция Ψ0 (0, ·) суперлинейна.
Откуда следует, что функция f является квазидифференцируемой в точке x. Воспользовавшись теоремой о субдифференциале супремумавыпуклых функций (теорема 1.3.10), получаем справедливость (3.12). Обратное утверждениеочевидно.В конечномерном случае можно указать необходимое и достаточное условие непрерывной кодифференцируемости в терминах квазидифференциалов (см. [105]).Теорема 3.5.1 (Кунц).
Пусть X = Rn , f : Ω → R — произвольная функция. Для тогочтобы функция f была непрерывно кодифференцируема в точке x ∈ Ω необходимо и достаточно, чтобы в некоторой окрестности этой точки существовало квазидифференциальноеотображение y → Df (y) функции f такое, что многозначные отображения y → ∂f (y) иy → ∂f (y) полунепрерывны сверху в точке x.Воспользовавшись предложением 3.5.1, покажем инвариантность необходимых условийэкстремума кодифференцируемой функции относительно выбора кодифференциала.Предложение 3.5.2.
Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема в точке x ∈ Ω, аD1 f (x) = [d1 f (x), d1 f (x)] и D2 f (x) = [d2 f (x), d2 f (x)] два различных кодифференциала функции f в этой точке. Тогда0 ∈ d1 f (x) + {(b1 (x), ψ)}∀(b1 (x), ψ) ∈ d1 f (x)(3.13)∀(b2 (x), ψ) ∈ d2 f (x),(3.14)тогда и только тогда, когда0 ∈ d2 f (x) + {(b2 (x), ψ)}70гдеbi (x) =minb,i ∈ {1, 2}.(b,ψ)∈di f (x)Таким образом, необходимое условие локального минимума кодифференцируемой функциине зависит от выбора кодифференциала.Доказательство.
Очевидно, что достаточно доказать только импликацию (3.13)⇒(3.14). Поэтому предположим, что выполнено (3.13). Следовательно, для любого g ∈ X будетmaxϕ∈∂ 1 f (x)+{ψ}ϕ(g) > 0 ∀ψ ∈ ∂ 1 f (x),где∂ i f (x) = {ϕ ∈ X ∗ | (ai (x), ϕ) ∈ di f (x)},∂ i f (x) = {ψ ∈ X ∗ | (bi (x), ψ) ∈ di f (x)}и ai (x) = −bi (x) для i ∈ {1, 2}. Откуда, с учётом предложения 3.5.1, имеем, что для любогоg∈Xf 0 (x, g) =minmaxψ∈∂ 1 f (x) ϕ∈∂ 1 f (x)+{ψ}ϕ(g) > 0.Поэтому для любых g ∈ X и ψ ∈ ∂ 2 f (x) будетmaxϕ∈∂ 2 f (x)+{ψ}ϕ(g) > 0.Отсюда, с учётом необходимого условия минимума выпуклой функции (теорема 1.3.11) итеоремы 1.3.13 о субдифференциале сублинейной функции, получаем, что0 ∈ ∂ 2 f (x) + {ψ} ∀ψ ∈ ∂ 2 f (x),что эквивалентно (3.14).Замечание 3.5.1.
(i) Тесно связанный с предыдущим предложением вопрос об инвариантности необходимых условий экстремума квазидифференцируемой функции рассматривался в[107].(ii) Из доказательства предыдущего предложения видно, что необходимое условие минимума кодифференцируемой функции (предложение 3.4.2) эквивалентно условию: f 0 (x, g) >0 для всех g ∈ X.Замечание 3.5.2. Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема в точке x ∈ Ω. Не ограничивая общности можно считать, чтоa(f, x) =max(a,ϕ)∈df (x)a=min(b,ψ)∈df (x)71b = b(f, x) = 0.(3.15)Действительно, если данное равенство не выполнено, то вместо кодифференциала Df (x)b (x) = [df (x) − {(a(f, x), 0)}, df (x) +можно взять эквивалентный кодифференциал Df{(a(f, x), 0)}, для которого данное равенство выполнено.
При этом нетрудно проверить,что если функция f непрерывно кодифференцируема в точке x, то отображения y →df (y) − {(a(f, y), 0)} и y → df (y) + {(a(f, y), 0)} также являются непрерывными в метрике Хаусдорфа в данной точке.Отметим, что если пользоваться формулами для вычисления кодифференциала указанными в данной главе, то равенство (3.15) будет выполнено автоматически. Учитываяданное замечание и предложение 3.5.2, везде далее мы будем предполагать справедливостьравенства (3.15).Для кодифференцируемых функций справедлив аналог классической теоремы Лагранжа о среднем значении. Для того чтобы доказать эту теорему нам потребуется вспомогательное утверждение о непрерывности кодифференцируемой функции на отрезках.Лемма 3.5.1.
Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема на множестве Ω. Тогда длялюбых x1 , x2 ∈ Ω таких, что co{x1 , x2 } ⊂ Ω функция f непрерывна на co{x1 , x2 }.Доказательство. Зафиксируем произвольные x1 , x2 ∈ Ω такие, что co{x1 , x2 } ⊂ Ω и определим функцию g(α) = f (x1 + α(x2 − x2 )) для α ∈ [0, 1]. Ясно, что достаточно доказатьнепрерывность функции g на [0, 1].Нетрудно проверить, что функция g кодифференцируема в каждой точке α ∈ (0, 1),причёмDg(α) =h(a, v) ∈ R2 | v = ϕ(x2 − x1 ), (a, ϕ) ∈ df (x1 + α(x2 − x1 )) ,i2(b, w) ∈ R | w = ψ(x2 − x1 ), (b, ψ) ∈ df (x1 + α(x2 − x1 )) .Поэтому для достаточно малых допустимых ∆α ∈ R будетg(α + ∆α) − g(α) =max (a + v∆α) +(a,v)∈dg(α)min(b + w∆α) + o(∆α),(b,w)∈dg(α)где o(∆α)/∆α → 0 при ∆α → 0.
Откуда, воспользовавшись теоремой о непрерывности выпуклых функций (теорема 1.3.4), получаем непрерывность функции g на (0, 1).Очевидно, также, что функция g кодифференцируема справа в точке 0 и кодифференцируема слева в точке 1 (кодифференцируемость справа и кодифференцируемость слева дляфункции ω : [a, b] → R определяется очевидным образом). Откуда, рассуждая аналогичнымобразом нетрудно получить непрерывность функции g на всём отрезке [0, 1].72Теорема 3.5.2 (о среднем значении). Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема намножестве Ω.
Тогда для любых x1 , x2 ∈ Ω таких, что co{x1 , x2 } ⊂ Ω существует θ ∈ (0, 1)для которого существуют (0, ϕ) ∈ df (x1 + θ(x2 − x1 )) и (0, ψ) ∈ df (x1 + θ(x2 − x1 )) такие,чтоf (x2 ) − f (x1 ) = (ϕ + ψ)(x2 − x1 ).Доказательство данной теоремы почти дословно повторяет доказательство теоремы осреднем значении для дифференцируемой функции.Доказательство. 1. Пусть g : [a, b] → R — произвольная кодифференцируема на отрезке[a, b] ⊂ R функция такая, что g(a) = g(b) = 0.
По предыдущей лемме функция g непрерывна на [a, b]. Тогда, очевидно, существует точкая c ∈ (a, b) являющаяся точкой локальногоминимума или максимума функции g. Следовательно, по предложению 3.4.2 имеем, что существуют (0, v) ∈ dg(c) и (0, w) ∈ dg(c) такие, что v + w = 0.2. Пусть теперь g : [a, b] → R — произвольная кодифференцируема на [a, b] функция.Тогда для функцииr(x) = g(x) − g(a) −g(b) − g(a)(x − a)b−aсправедливы равенства r(a) = r(b) = 0.
Функция r, очевидно, кодифференцируема на [a, b],причёмng(b) − g(a) oDr(x) = dg(x) + 0, −, dg(x) .b−aСледовательно, по предыдущему пункту существуют c ∈ (a, b), (0, v) ∈ dg(c) и (0, w) ∈ dg(c)такие, чтоv−g(b) − g(a)+w =0b−aили, что эквивалентно, g(b) − g(a) = (v + w)(b − a).3. Пусть теперь x1 , x2 ∈ Ω — произвольны. Положим xα = x1 + α(x2 − x1 ) и определим функцию g(α) = f (xα ) на отрезке [0, 1]. Как было указано в лемме 3.5.1, функция gкодифференцируема на [0, 1], причёмhDg(α) = {(a, v) ∈ R2 | v = ϕ(x2 − x1 ), (a, ϕ) ∈ df (xα )},i{(b, w) ∈ R | w = ψ(x2 − x1 ), (b, ψ) ∈ df (xα )} .2Отсюда, с учётом пункта 2, получаем, что существуют θ ∈ (0, 1), (0, ϕ) ∈ df (x1 + θ(x2 − x1 ))и (0, ψ) ∈ df (x1 + θ(x2 − x1 )) такие, чтоf (x2 ) − f (x1 ) = g(1) − g(0) = (ϕ + ψ)(x2 − x1 ),что и требовалось.73В качестве следствия из предыдущей теоремы получаем следующее утверждение, характеризующее локальное поведение непрерывно кодифференцируемой функции.Следствие 3.5.1.
Пусть функция f : Ω → R кодифференцируема на множестве Ω. Пустьтакже S ⊂ Ω — выпуклое множество такое, что кодифференциал функции f ограниченна множестве S, т. е. существует R > 0 для которогоdf (x) ∪ df (x) ⊂ B(0, R) ∀x ∈ S.Тогда функция f удовлетворяет условию Липшица на множестве S. В частности, еслифункция f непрерывно кодифференцируема, то она локально липшицева.Доказательство. По теореме о среднем значении для любых x1 , x2 ∈ S существуют θ ∈ (0, 1),(0, ϕ) ∈ df (x1 +θ(x2 −x1 )) и (0, ψ) ∈ df (x1 +θ(x2 −x1 )) такие, что f (x2 )−f (x1 ) = (ϕ+ψ)(x2 −x1 ).Откуда|f (x2 ) − f (x1 )| 6 2Rkx2 − x1 k ∀x1 , x2 ∈ S,т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
