Диссертация (1149223), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Покажем, чтоsup inf (ϕλβ (∆x) + fβ (x) − f (x)) =β∈B λβ ∈ΛβДля произвольных p ∈Qβ∈Bsup(ϕp(β) (∆x)Qinfp∈ β∈B Λβ β∈B+ fβ (x) − f (x)).Λβ и β ∈ B справедливо неравенствоsup(ϕp(β) (∆x) + fβ (x) − f (x)) > ϕp(β) (∆x) + fβ (x) − f (x),β∈B1здесь знакQобозначает прямое произведение множеств Λβ91(4.5)откуда для любых β ∈ B и p ∈Qβ∈BΛβ будетsup(ϕp(β) (∆x) + fβ (x) − f (x)) ≥ inf (ϕλβ (∆x) + fβ (x) − f (x)),λβ ∈Λββ∈Bследовательноsup(ϕp(β) (∆x)Qinfp∈ β∈B Λβ β∈A+ fβ (x) − f (x)) ≥ sup inf (ϕλβ (∆x) + fβ (x) − f (x)).β∈B λβ ∈Λβ(4.6)Покажем обратное неравенство. По определению точной нижней грани, для любого β ∈ B идля любого ε > 0 существует такое λβ ∈ Λβ , чтоϕλβ (∆x) + fβ (x) − f (x) − ε 6 inf (ϕλβ (∆x) + fβ (x) − f (x)),λβ ∈Λβоткудаsup(ϕλβ (∆x) + fβ (x) − f (x)) − ε ≤ sup inf (ϕλβ (∆x) + fβ (x) − f (x)),β∈B λβ ∈Λββ∈Bтем болееp∈Qinfsup(ϕp(β) (∆x) + fβ (x) − f (x)) − ε ≤ sup inf (ϕλβ (∆x) + fβ (x) − f (x)).β∈Bβ∈B λβ ∈ΛβΛβ β∈BВвиду произвольности ε > 0 получаем требуемое неравенство, из которого, с учётом (4.6),вытекает справедливость равенства (4.5).В итоге имеем, что для любого допустимого ∆x ∈ X выполняетсяf (x + ∆x) = f (x) +То, что для любого p ∈Qβ∈Bsup(ϕp(β) (∆x)Qinfp∈ β∈B Λβ β∈B+ fβ (x) − f (x)) + o(∆x).Λβ функция χp = supβ∈B (ϕp(β) + fβ (x) − f (x)) является сильнойнеодн.
в.в.а. функции f в точке x проверяется непосредственно.Замечание 4.2.2. Справедливо аналогичное утверждение о вычислении исчерпывающего семейства сильных неодн. н.в.а. точной нижней грани множества функций, допускающих сильную неодн. н.в.а..Пусть Y — нормированное пространство и пусть задан линейный непрерывный оператор T : Y → X. Предположим также, что y ∈ Y , T y = x и в некоторой окрестности точки yимеет смысл суперпозиция f ◦ T . Непосредственно проверяется справедливость следующегоутверждения.Предложение 4.2.5. Пусть семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством сильных неодн.
в.в.а. (н.в.а.) функции f в точке x. Тогда семейство {ϕλ ◦ T }, λ ∈ Λ,является исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а. (н.в.а.) функции f ◦ T в точкеy.924.3Условия экстремумаЦелью данного раздела является получение необходимых, а в некоторых случаяхи достаточных условий экстремума негладких функций допускающих неоднородные в.в.а.(н.в.а.).Следующая теорема является тривиальным следствием необходимого условия экстремума в терминах верхних H–выпуклых аппроксимаций (теорема 2.5.1).Теорема 4.3.1. Пусть A ⊂ Ω — замкнутое выпуклое множество, {ϕλi }, λi ∈ Λi — семейство слабых неодн.
в.в.а. функции fi : Ω → R в точке x∗ ∈ A, i ∈ I0 = {0} ∪ I, I = {1, . . . , n}.Предположим, что точка x∗ является точкой локального минимума в задачеf0 (x) → inf,x ∈ A,fi (x) 6 0,i ∈ I.Тогда для любых ϕλi таких, что ϕλi (0) = 0, i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} будетno∗co ∂ϕλi (0) i ∈ R(x ) ∪ {0} ∩ (−N (A, x∗ )) 6= ∅,где R(x∗ ) = {i ∈ I | fi (x∗ ) = 0}.Замечание 4.3.1. Теорема 4.3.1 является обобщением аналогичного условия экстремума выражаемого в терминах верхних коэкзостеров (теорема 2.6.1).Аналогичным образом можно сформулировать необходимые условия максимума в терминах неодн.
н.в.а..Следствие 4.3.1. Пусть A ⊂ Ω — замкнутое выпуклое множество, {ψλi }, λi ∈ Λi —семейство слабых неодн. н.в.а. функции fi : Ω → R в точке x∗ ∈ A, i ∈ I0 = {0} ∪ I,I = {1, . . . , n}. Предположим, что точка x∗ является точкой локального максимума взадачеf0 (x) → sup,x ∈ A,fi (x) > 0,i∈IТогда для любых ψλi таких, что ψλi (0) = 0, i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} будетonco ∂ψλi (0) i ∈ R(x∗ ) ∪ {0} ∩ N (A, x∗ ) 6= ∅,(4.7)где R(x∗ ) = {i ∈ I | fi (x∗ ) = 0}.Приведём пример применения необходимых условий экстремума рассмотренных выше.93Пример 4.3.1. Пусть X = Ω = R2 , x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , A = co{(1, 1), (1, 3), (−1, 3), (−1, 1)} —замкнутое выпуклое множество.
Положимg1 (x) = −x1 + x2 − 1,g2 (x) = x1 + x2 − 1,f1 (x) = max{−x1 + x2 , x1 + x2 },S = {x ∈ R2 | gi (x) > 0, i ∈ {1, 2}},f2 (x) = max{−x1 − x2 + 2, x1 − x2 + 2},f0 (x) = min{f1 (x), f2 (x)}.Рассмотрим задачу максимизации функции f0 на множестве S ∩ A.Проверим, что в точке x∗ = (0, 1) выполнены необходимые условия экстремума указанные в теореме 4.3.1. Для этого вычислим исчерпывающие семейства неодн.
н.в.а. функцийg1 , g2 и f . Ясно, что в качестве исчерпывающей сильной неодн. н.в.а. функции g1 в точке x∗можно взять функцию ψ1 (x) = −x1 + x2 − 1, а в качестве исчерпывающей сильной неодн.н.в.а. функции g2 в точке x∗ — ψ2 = x1 + x2 − 1. Введём функции(1)ψ2 (x) = x1 + x2 − 1,(2)ψ2 (x) = x1 − x2 + 1.ψ1 (x) = −x1 + x2 − 1,ψ1 (x) = −x1 − x2 + 1,(i)(1)(2)(i)Нетрудно понять, что семейство {ψ1 , ψ2 } является исчерпывающим семейством сильныхнеодн. н.в.а. функции fi в точке x∗ , i ∈ {1, 2}. Тогда по замечанию 4.2.2 семейство {ψij =(1)(2)min{ψi , ψj }}, i, j ∈ {1, 2}, является исчерпывающим семейством сильных неодн. н.в.а.функции f0 в точке x∗ .Понятно, что N (A, x∗ ) = {(0, −α) | α > 0} и R(x∗ ) = {1, 2}.
Теперь нетрудно проверить,что условиеco{∂ψij (0), ∂ψ1 (0), ∂ψ2 (0)} ∩ N (A, x∗ ) 6= ∅выполняется для всех i, j ∈ {1, 2}, т.е. в точке x∗ выполнено необходимое условие экстремума(4.7). Отметим, что x∗ действительно является точкой максимума функции f0 на множествеS ∩ A.Выведем теперь достаточные условия строгого локального минимума функции, допускающей неоднородную в.в.а..Теорема 4.3.2.
Пусть семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством сильных неодн. в.в.а. функции f в точке x∗ ∈ Ω. Тогда, если существует r > 0 такое, чтоB(0, r) ⊆ ∂ϕλ (0) ∀λ ∈ Λ,то x∗ является точкой строгого локального минимума функции f .94(4.8)Доказательство. Поскольку для любого λ ∈ Λ функция ϕλ выпукла, пн. сн.
и 0 ∈ int dom ϕλ ,то она дифференцируема по направлениям в точке 0 и её производная по направлениям имеетвид (теорема 1.3.6)ϕ0λ (0, g) = infα>0ϕλ (αg) − ϕλ (0)= sup p(g) ∀g ∈ X.αp∈∂ϕλ (0)(4.9)Из (4.8) и (4.9) следует, что для любых α > 0 и λ ∈ Λ выполняется неравенствоϕλ (αg) > ϕλ (0) + αrkgk > αrkgk ∀g ∈ X.(4.10)Поскольку семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством сильныхнеодн. в.в.а. функции f в точке x∗ , то существует открытый шар O(0, a) (a > 0) такой,чтоrf (x∗ + ∆x) > f (x∗ ) + inf ϕλ (∆x) − k∆xk ∀∆x ∈ O(0, a).λ∈Λ2Тогда, с учётом (4.10), получаемrrf (x∗ + ∆x) > f (x∗ ) + rk∆xk − k∆xk > f (x∗ ) + k∆xk ∀∆x ∈ O(0, a),22т.е. x∗ — точка строгого локального минимума функции f .Следствие 4.3.2.
Пусть семейство {ψλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семействомсильных неодн. н.в.а. функции f в точке x∗ ∈ Ω. Тогда, если существует r > 0 такое,что B(0, r) ⊆ ∂ψλ (0) для всех λ ∈ Λ, то точка x∗ является точкой строгого локальногомаксимума функции f .Как правило, неодн. в.в.а. более удобны для получения необходимых условий минимума, в то время как неодн. н.в.а. более удобны для получения необходимых условий максимума. Необходимые условия максимума также могут быть выражены в терминах исчерпывающего семейства неодн.
в.в.а., однако данные условия не столь очевидны и наглядны, какнеобходимые условия минимума.Пример 4.3.2. Пусть Ω = X и функция f ≡ 0. Пусть λ ∈ (0, 1), определим ϕλ (·) = λk · k.Ясно, что функции ϕλ являются сильными неоднородными в.в.а. функции f в точке 0 иf (x) = inf λ∈(0,1) ϕλ (x) для всех x ∈ X.Отметим, что 0 ∈ ∂ϕλ (0) = B(0, λ) для всех λ ∈ (0, 1). При этом, несмотря на то, что 0является точкой глобального максимума функции f , 0 является точкой строгого глобальногоминимума всех функций ϕλ .Рассмотрим пример, который несколько лучше проясняет ситуацию.95Пример 4.3.3.
Пусть X = Ω = R, x0 = 1, f (x) = min{2 − x, x} для всех x ∈ R. Точка x0является точкой строгого глобального максимума функции f . Определим ϕ1 (x) = 1 − x,ϕ2 (x) = x − 1. Ясно, что {ϕ1 , ϕ2 } является исчерпывающим семейством сильных неодн.в.в.а. функции f в точке x0 . При этом ∂ϕ1 (0) = {−1}, ∂ϕ2 (0) = {1}. Отметим, что 0 ∈co{∂ϕ1 (0), ∂ϕ2 (0)}.Теорема 4.3.3. Предположим, что семейство {ϕλ }, λ ∈ Λ, является исчерпывающим семейством слабых неодн. в.в.а. функции f в точке x∗ и пусть x∗ является точкой локального максимума функции f . Тогда0 ∈ cl co[(4.11)∂ϕλ (0).λ∈ΛЗдесь замыкание берётся в слабой∗ топологии.Доказательство.
Пусть x∗ является точкой локального максимума функции f . Покажем,что тогда выполняется (4.11). От противного. Пусть0∈/ cl co[∂ϕλ (0).λ∈ΛРассмотрим множества {0} и C = cl coSλ∈Λ∂ϕλ (0), как подмножества топологического век-торного пространства (X ∗ , w∗ ). Множество C выпукло замкнуто и не пересекается с выпуклым компактным множеством {0}, поэтому по теореме об отделимости существует такойслабо∗ непрерывный линейный функционал Φ : X ∗ → R, который строго разделяет эти множества, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
