Диссертация (1145400), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Вспомогательные функции Gn являются монотонными и гладкими (см. рис.2.4). Значения этих функций в настоящей работе вычислялись заранее на достаточно частойсетке аргумента и интерполировались для промежуточных значений кубическими сплайнами[126].611,5011,0Gn230,50,00123Рис. 2.4. Графики вспомогательных функций Gn для n = 0, 1, 2, 3.Теперь, с учётом определений (2.17), выражения (2.12)–(2.14) принимают вид:WF (r )  4  d cos   G1 I P d    FP (r ) ,0(2.22)0W4U  (r )   d  G0 I P d   U P (r ) ,c00W (r )  ck (1   )U P (r ) .(2.23)(2.24)В (2.22)–(2.24) FλP(r) = πIλP(r) – спектральный поток энергии с поверхности чёрного тела стемпературой Тb = Te(r), τW – оптическая плотность плазмы вдоль отрезка длиной lW = AC впоперечном сечении столба дуги (см.

рис. 2.3):W lW ( r , ) k dl .0Кроме того, в (2.22)-(2.24) введены вспомогательные функции (r)   (r) гдеW4 d cos   G1 ( ) f ( )d ,01W d  G0 ( ) f ( )d0(2.25)00.(2.26)62f ( ) I P ( ) exp  A(0)   1, A(0) = hc/(λkBTе(r)) , A(τ) = hc/(λkBTе(τ)) .I P (0) exp  A( )   1(2.27)Таким образом, метод прямого интегрирования сводится к вычислению интегралов(2.25)–(2.26), определяющих спектральные радиационные величины Fλ , Uλ , Wλ , ипоследующему интегрированию по спектру выражений (2.16).В заключение этого раздела сделаем два важных замечания.

Во-первых, отметим, чтоприведённые выше соотношения (2.12)–(2.14) и (2.22)–(2.26) не содержат каких-либоупрощений и предположений и являются следствием уравнения переноса излучения дляплазмы, находящейся в состоянии ЛТР в условиях аксиальной симметрии разряда.Во-вторых, отметим, что существует ряд случаев, когда МПИ допускает дальнейшиеупрощения. Это случаи оптически прозрачной и оптически плотной плазмы, однороднаяплазма и перенос излучения в линии. Рассмотрение этих случаев и получениесоответствующих формул важно как само по себе, поскольку позволяет сократить объёмвычислений при определении F, U и W, так и потому, что даёт возможность тестированиярезультатов расчётов, выполненных в рамках МПИ.2.5.

Приближения оптически прозрачной и оптически плотной плазмыВ реальном спектре всегда можно выделить участки, для которых плазма разрядаявляется оптически прозрачной или оптически плотной. Для расчёта переноса излучения наэтих участках целесообразно использовать известные приближения [70,85], менеетрудоёмкие, чем МПИ. Для записи соответствующих приближённых формул переносаизлучения и условий их применения введём значения максимальной τmax и минимальной τminоптических толщин, отделяющих данную точку с координатой r от границы плазмы в осевомсечении:RrR min   k ( r )dr  ,  max   R ( )   k ( r )dr  ,  R ( )   k ( r )dr .r0(2.28)0Здесь τR – радиальная оптическая толщина столба газоразрядной плазмы.При τmax << 1 (случай оптически прозрачной плазмы) из (2.26) для величины ψλ следуетоценка ψλ ~ τmaxexp(A(r)-A(0)).

В случае, когда ψλ << 1, для величины радиационных потерьэнергии Wλ , в соответствии с (2.24), справедливо приближение оптически прозрачнойплазмы:W ( r )  ck U P ( r )1  O  Условием применимости (2.29) является соотношение(2.29)63ψλ ~ τmaxexp(A(r)-A(0)) << 1.(2.30)Отметим, что для приосевой области A(r) ≈ A(0) и условие (2.30) эквивалентно условию τmax<< 1. Во внешних холодных слоях плазмы величина exp(A(r)-A(0)) ~ exp(hc/λkBTе(R)) можетбыть велика и условие (2.30) может не выполняться даже при τmax << 1. В случаеиспользования приближения оптически прозрачной плазмы величину спектрального потокаэнергии Fλ удобнее находить, используя связь между Fλ и Wλ (2.15):rF ( r ) r1cr W ( r )dr    r k  ( r )U P ( r )dr  .r0r0(2.31)Отметим, что получить простые выражения для определения плотности энергии излученияUλ в случае оптически прозрачной плазмы не удаётся.

При необходимости рассчитать Uλприходится по-прежнему выполнять интегрирование непосредственно по общим формулам(2.23), (2.26).При τmin >> 1 (случай оптически плотной плазмы) можно найти главный членасимптотического разложения (2.25) по параметру   A / k R  1 , А = hc/λkBTе . Для этогопроинтегрируем внутренний интеграл в (2.25) по частям несколько раз и воспользуемсярекуррентным свойством (2.18):WW00W G1 ( ) f ( )d    f ( )dG2 ( )   f ( )G2 ( ) 0WW00  G2 ( ) f ( )d  f (0)G2 (0)  f ( )dG3 ( ) W f (0)G2 (0)  f ( )G3 ( ) 0W   G3 ( ) f ( )d  f (0)G2 (0)  f (0)G3 (0)  f (0)G4 (0)  ...0(2.32)Здесь учтено, что из τW >> 1, с учётом асимптотики (2.20), следует малость слагаемого,содержащего Gn(τW) << 1 .

В соответствии с определением (2.27) f(0) = 1. Вычислим теперьзначения первых двух производных f (0) и f (0) (при τ = 0). Используя определение (2.27)получаем:df df dA dTe dr  dl.d dA dTe dr  dl dИспользуя определения (2.17) и (2.27) вычисляем производныеdAAdl1dfeA,и.f AdTeTed k dAe 1Для нахождения dr / dl учтём, что (см.

рис. 2.5)r   l 2  2lr cos  r 2 иdr  l  r cos .dlr64Отсюда получаемdfe A A dTe l  r cos  1 f A.drke  1 Te dr Учтём, что при τ → 0 точка D → A и, соответственно, r  r , l → 0 (см. рис. 2.5). Теперьf (0)  A R Te cos .k  R Te r 1  e  A(2.33)Выполняя аналогичные вычисления при повторном дифференцировании, получаем значениевторой производной22 A 1  2  R Te   1  e  A 2 f (0)  cos   A AA k  R  1  e  Te r   1  eR2ATe 2  2Te Te  sin 2  cos 2  k    cos r  rk r  r 2.(2.34)Здесь А = A(r) = hc/(λkBTе(r)), Te = Te(r), k'λ = k'λ(r).При подстановке (2.32)-(2.34) в (2.25) учтём, что cos  coskd  0 при чётных k (k = 0, 2,04, ...).

В результате получаем (r)   4 R Te1 O 3 .3 Te r 1  exp(  A)(2.35)Для получения асимптотического разложения ψ λ также выполним интегрирование по частямво внутреннем интеграле в (2.26). Действуя аналогично (2.32), получаем:65W G0 ( ) f ( )d  f (0)G1 (0)  f (0)G2 (0)  f (0)G3 (0)  ... .0При подстановке этого разложения в (2.26) учтём, что coskd  0 при нечётных k. В0результате получаем R dT  2  1  e  A 2  R 2   2T T  1 1 k   4e ee   (r )  1    2    O( ) . A  T dr  AA  ATe  rr  r k  r  3(1  e )  e 1 e2(2.36)В частности, на оси23  ( 0)  1   211  eAR 2  2Te O ( 4 ) ,2ATe r(2.37)где значения всех величин вычисляются при r = 0.Теперь, используя (2.22) и (2.24), приходим к выражениям, совпадающим сприближением лучистой теплопроводности [70,85]:F ( r )   f W (r )  Tec U P,r3k rT1 1  cr U Prf  e  .r rrr r 3k r(2.38)(2.39)Здесьf 4hc1.I P21  exp(  hc / k B Te )3k BTe  Отметим также, что при записи соотношений (2.38)-(2.39) были опущены члены порядка A / k R 3 .

Выпишем отдельно условия применимости формул лучистой теплопроводности(2.38)-(2.39):Gk(τmin) << 1 (k > 0) иhc / k BTe ( r ) 1 .k ( r ) R(2.40)Первое из условий применимости приближения лучистой теплопроводности (2.40)нарушается вблизи границы плазмы, где τmin → 0. В то же время, при τR >> 1 и в этой областиможно построить асимптотические приближения для ψλ и φλ . В частности, при r = R двойноеинтегрирование по частям во внутренних интегралах в (2.25) и (2.26)и последующееинтегрирование по внешней полусфере (по углу θ в интервале 0 < θ < π/2) приводит кследующим асимптотическим выражениям:66  ( R)  1   ( R) Здесь  AW / k ( R) R  1 ,2 R Te3 TW r  O 2 ,r R1 1 R Te2 4 TW r(2.41)  O 2 .r R(2.42)AW  hc / k BTW , TW = Tе(R) и полагается 1- exp(-AW) ≈ 1.Подставляя последние формулы в (2.22) и (2.24) получаем 2 R TеF ( R)  FP ( R) 1   3 TW rr R O 2  , 1 R Tе1W ( R)  ck  ( R)U P ( R) 1  2 2 TW rr R(2.43) O 2 ,(2.44)2.6.

Приближение однородной плазмыРассмотрение однородной плазмы представляет интерес в связи с тем, что столб дуги вцелом ряде случаев можно приближённо считать однородным. Кроме того, на примереоднородной плазмы проще понять важные особенности радиационного теплообмена. В этомслучае общие формулы прямого интегрирования (2.22)-(2.24) упрощаются и принимают вид[A24]:F (r )  4 I P  d cos G2 ( W ) ,  W  k   r cos   R 2  r 2 sin 2   ,041U  (r ) I P 1   dG1 ( W )  , c0(2.45)W (r )  4k I P  dG1(W ) .0Отметим, что оптическая толщина τ W луча, по которому выполняется интегрирование в(2.45), является убывающей функцией угла θ (см.

Характеристики

Список файлов диссертации