Диссертация (1145244), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Это особенно актуально для магнитнойгидродинамики, уравнения которой представляют собой значительно болеесложную нелинейную систему уравнений, чем уравнения электродинамики игидродинамики, взятые по отдельности. Поскольку наиболее универсальнымметодом, позволяющим решать аналитически нелинейные уравненияикачественно исследовать математические модели является метод групповогоанализа,товполнеестественным являетсяприменениеэтогомощногоматематического аппарата.
Групповой анализ дифференциальных уравнений былсоздан замечательным норвежским математиком Софусом Ли во второй половине19–го века. Одним из выдающихся достижений С. Ли было открытие того факта,что большинство известных методов интегрирования – воспринимаемых какудачные находки предшественников – могут быть получены при помощи теориигрупп единообразно. Кроме того, анализ групп Ли сводит 400 типов обыкновенныхдифференциальных уравнений второго порядка (как известно, многие законыприроды описываются именно такими уравнениями) к 4 типам! Несмотря на то, чтомногочисленные результаты, полученные С. Ли были признаны современниками,дальнейшее развитие его работ, по непонятным причинам, не производилось втечении длительного времени.
В этот период решение задач механики и физики восновном начиналось с применения теории подобия и размерности для полученияупрощений и последующего интегрирования приближенной системы уравнений.Хотя идея использования непрерывных групп преобразований в математическоммоделировании была достаточно старой, её техническое осуществление начал12Г. Биркгоф.
Именно он наиболее полно изучил найденную аналогию междутеорией подобия и теорией инвариантов относительно преобразования координат.Впоследствии Г. Биркгоф применил групповой анализ к некоторым задачаммеханики и нашел ряд частных решений, которые назвал симметричными. Лишьво второй половине 20-го века, благодаря работам Л.В. Овсянникова,систематический интерес к групповому анализу был возрожден. ИменноОвсянниковым был введен термин «групповой анализ дифференциальныхуравнений». Сейчас этот термин является общепризнанным.Существенное развитие теория групповых свойств дифференциальныхуравнений получила в работах Л.В.
Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В.И. Фущича,В.Ф. Зайцева, П. Олвера. Они положили начало систематическому исследованиюс точки зрения группового анализа многих уравнений механики и физики.Многоплановое применеие методов теории групп к задачам механики жидкостибыло продолжено в работах Л.В. Овсянникова, Н.Х. Ибрагимова, В.В. Пухначева,В.О.
Бытева, А.А. Бучнева, Ю.Н. Павловского, В.М. Меньшикова. Наряду суказанными авторами, уравнения механики сплошных сред с помощью групповогоанализа продолжают исследовать В.К. Андреев, В.В. Бублик, С.В. Мелешко, А.А.Родионов, С.В.
Головин, О.В. Капцов, Ю.Д. Чашечкин и другие ученые. Впоследнее время методы теории групп начинают применяются в геофизическойгидродинамике, где – в силу сложности изучаемых процессов – частоединственным средством теоретического анализа, до недавних пор, была теорияподобия. Поэтому более поздние работы по математическому описанию явленийи процессов в окружающей среде, стимулировали развитие методов анализасложных неоднородных течений, в том числе в атмосфере и гидросфере.Применение группового анализа для изучениия движения проводящих сред нашлоотражение в работах как отечественных так и зарубежных учёных (Н.Х.Ибрагимов, О.И. Богоявленский, А.Г. Куликовский, Н.Д.
Наумов, А.Г.Чевяков,В.А.Дородницын, С.В. Головин, Ф. Галас, А. Донато, Дж. Фучс, Ф. Оливьери, Е.Рихтер, А. Гриндлэнд, П. Пикард, Е. Тасси, А. Жеффрей и др.).13В 1991 году на Седьмом всесоюзном съезде по теоретической и прикладноймеханике Л.В. Овсянниковым была сформулирована программа ПОДМОДЕЛИ.Эта программа направлена на систематическое и полное изучение групповыхсвойств разнообразных моделей механики сплошных сред.
К настоящему временив рамках этой программы рассмотрены рассмотрены уравнения классическоймеханики жидкости и газодинамики. В последние годы методы теории группначинают применяться в геофизической гидродинамике, для анализа сложныхнеоднородных течений, в том числе в атмосфере и гидросфере. Однако в магнитнойгидродинамике обычно ограничиваются рассмотрением линейных и одномерныхуравнений, описывающих течение идеальной проводящей жидкости. Такимобразом, актуальным является исследование нелинейных многомерных МГД–уравнений, что позволит существенно расширить класс решаемых задач и болееполно, «изнутри», аналитически изучить внутреннюю структуру данной модели.Групповойанализприменяется,вчастности,какметодпостроенияпромежуточных моделей – с целью создания более комфортных исходных позицийдля применения численных методов и как метод, позволяющий провести сравнениеобщих свойств уже существующих моделей, получивших распространение вмагнитной гидродинамике.
Использованию группового анализа МГД–уравнений,описывающих нестационарные пространственные движения вязкой несжимаемойпроводящей жидкости, в современной научной литературе уделено сравнительномало внимания. Кроме того основанная на свойствах симметрии редукцияуравнений позволяет находить как асимптотические, так и точные решения, что,безусловно, поможет создавать новые математические модели сложных МГДустройств.Цель исследованияЦелью данной работы является:1.
Физико–математическое моделирование потоков вязкой слабопроводящейжидкости в каналах различной формы при наличии магнитных полей.142. Проведение группового анализа системы МГД–уравнений вязкой несжимаемойпроводящей жидкости для дальнейшей редукции и оптимизации нахожденияинвариантных решений.3. Изучение турбулентного течения вблизи плоской шероховатой поверхностикак при наличии внешнего магнитного поля, так и в его отсутствии.4. Апробация вычислительного комплекса ANSYS.CFХ на тестовых МГД–течениях и изучение с его помощью взаимодействия гидродинамического иэлектромагнитного полей в условиях, обеспечивающих максимальный эффектэтого взаимодействияМетоды исследования.В работе применяются теоретические методы исследования, опирающиесяна основные положения общей физики, классической электродинамики, механикисплошных сред и ее математический аппарат.
Для качественного аналитическогоисследования математической модели движения вязкой проводящей несжимаемойжидкостииспользуютсяметодыгрупповогоанализадифференциальныхуравнений (алгоритм вычисления допускаемой группы преобразований). Длярасчетов МГД–течений широко используется прямое численное моделирование,как вычислительный эксперимент. Аналитические результаты получены спомощью метода сращиваемых асимптотических разложений и общей теориидифференциальных уравнений.Достоверность результатов.Достоверностьрезультатовполученныхвдиссертационнойработедостигается применением:– физически непротиворечивых моделей для описания процессов переноса в вязкойнесжимаемой жидкости, в том числе и проводящей;– применением апробированных методов исследования;15– сравнением результатов численного моделирования с экспериментальнымиданными и точными решениями в области применимости последних, включаясравнение полученных результатов с известными ранее в предельных случаях.Научная новизна.1.Впервые показано, что:– стационарное движение проводящей жидкости в тороидальномканале, находящемся в однородном магнитном поле, эквивалентнодвижению той же жидкости в прямолинейном канале, который находится вмагнитном поле, периодически изменяющемся вдоль оси симметрииканала;– течение проводящей жидкости в спиралевидных каналах различнойформы, находящихся в однородном магнитном поле, приводит к появлениюразличныхпространственно–временныхструктуриндуцированногомагнитного поля.2.Впервые установлено, что круговое движение проводящейжидкости в зазоре коаксиальных цилиндров во внешнем однородноммагнитном поле, направленном вдоль оси симметрии цилиндров, способноперемагнитить первоначально намагниченную стенку одного из цилиндров.3.Впервые показано, что:при обтекании проводящей жидкостью спиралевидного канала (с такойже неподвижной жидкостью), находящегося в зазоре коаксиальныхцилиндров в однородном магнитном поле, появляется индуцированноемагнитное поле;для двух разных течений:а) течение в спиралевидном канале, находящемся в зазоре коаксиальныхцилиндров (заполненном такой же неподвижной жидкостью) при наличии16однородного магнитного поля, направленного перпендикулярно осицилиндров,б) течение в зазоре коаксиальных цилиндров, при котором происходитобтекание спиралевидного канала (заполненного такой же неподвижнойжидкостью), находящегося в этом зазоре, при наличии однородногомагнитного поля, направленного перпендикулярно оси цилиндров,существует подобие распределений проекции индуцированного магнитногополя, направленной вдоль оси цилиндров.4.Показано, что вязкий подслой и буферная зона в пограничном слое примоделировании могут быть объединены в единую область, охваченнуютурбулентнымдвижением.Найденыраспределенияинтенсивноститурбулентных пульсаций вблизи стенки с естественной шероховатостью.5.Найдено распределение составляющей индуцированного магнитногополя, вызванного турбулентным движением проводящей жидкости вблизишероховатой стенки, находящейся в однородном магнитном поле,перпендикулярном поверхности,6.Впервые предпринято изучение групповых свойств уравнений морскойэлектродинамики.Теоретическая и практическая значимость результатов.Методами теории групп осуществлена редукция системы МГД–уравнений, описывающей движение вязкой несжимаемой проводящей жидкости– эволюционные уравнения сведены к стационарным.
Найдена группа,допускаемая полученной упрощенной системой, что позволяет ставитьзадачи по оптимизации поиска инвариантных решений.Диссертационная работа является опытом применения теории инвариантных решений для уравнений морской электродинамики.17Изменение однородного магнитного поля при турбулентном движениипроводящей жидкости вблизи стенки с естественной шероховатостьюможно рассматривать как фактор, управляющий течением в пограничномслое.Диссертационная работа направлена на изучение взаимодействия гидродинамического и электромагнитного полей в условиях, обеспечивающихмаксимальный эффект этого взаимодействия. Решение этой проблемывесьма актуально для прикладных задач морской гео- и гидрофизики, создания перспективных образцов энергетических систем.Апробация работы.Результаты диссертационной работы докладывались, обсуждались и былиодобрены на следующих конференциях и семинарах:1.Семинаркафедры«Вычислительныеметодымеханикидеформируемого твердого тела» СПбГУ (руководитель Ю.М.
Даль), октябрь 2007г.2.Международная конференция “6–е Окуневские чтения”, июнь 2008 г.3.Международная конференция по механике “Пятые Поляховскиечтения”, февраль 2009 г.4.Международная конференция “7–е Окуневские чтения”, июнь 2011 г.5.Международная конференция по механике “Шестые Поляховскиечтения”, январь 2012 г.6.55–я Научная конференции МФТИ “Проблемы фундаментальных иприкладных естественных и технических наук в современном информационномобществе”, ноябрь 2012 г.7.Международная конференция “8–е Окуневские чтения”, июнь 2013 г.188.56–я Научная конференция МФТИ, “Проблемы фундаментальных иприкладных естественных и технических наук в современном информационномобществе”, ноябрь 2013 г.9.процессы»,Международнаяпосвященнаяконференция:100–летиюсо«ТурбулентностьднярожденияиволновыеакадемикаМ.Д.Миллионщикова.
МГУ, ноябрь 2013 г.10. Всероссийская (с международным участием) научно-практическаяконференция: “Изобретатели в инновационном процессе России”СПбГПУ,декабрь 2013 г.11. LXVIIпроблемыМеждународнаясовременнойконференцияматематикии«Некоторыематематическогоактуальныеобразования«Герценовские чтения — 2014». СПбГПУ им.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
