Диссертация (1143951), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Тогда, с учетом модели (2.17), в областях техпикселей изображения, через которые не проходит граница объекта, постояннойявляется не только яркость, но и все условно-идеальное изображение: I [i, j ], (i, j )  OB,V ( x, y ) ( x , y ) = const =  OBijI BG [i, j ], (i, j )  BGгде OB и BG – множества индексов пикселей объекта и фона соответственно, заисключением пикселей, через которые проходит граница. Тогда, интегральнаясумма (2.16) раскладывается на три составляющие:I[i, j ] V ( x j + md x , yi + nd y )h ( −md x , −nd y )  +( k ,l )( OB  BG )  ( m ,n ):( x j + md x , yi + nd y )k ,lI[i+k,j+l]h(−md,−nd)  OB,nd )xy  +( k ,l ):( i + k , j + l )OB(m,n):(md xyk,lh ( −md x , −nd y )  . I BG [i + k , j + l ] ( k ,l ):( i + k , j + l )BG ( m ,n ):( md x ,nd y )k ,l (2.18)83Нормирующий коэффициент (dxdy) опущен для краткости.

Два последнихслагаемых представляют собой дискретную свертку матрицы, образованнойотсчетами матриц IOB и IBG, с импульсным откликом вида:H[k , l ] = h (md( m , n ):( md x , nd y ) k ,lx, nd y ) .(2.19)Таким образом, субпиксельные вычисления проводятся лишь для граничныхпикселей синтезируемого изображения. По сравнению с обобщенным методомсинтеза, большая часть субпиксельных вычислений интегральной суммы (2.16)заменяется на простую свертку матриц той же размерности, что и синтезируемоеизображение.Алгоритмическая реализация синтеза состоит из следующих шагов:1.

ПредварительновычислитьвспомогательнуюматрицуHпутемсубпиксельного суммирования по (2.19).2. Определить множества индексов пикселей изображения, соответствующихобъекту и фону, но не содержащих границы между ними: (OB, BG).Вычислить вспомогательную матрицу: IOB [i, j ],(i, j )  OB,IC [i, j ] =  I BG [i, j ],(i, j )  BG,0,(i, j )  (OB  BG ).3. Вычислить дискретную свертку: I = I C  H .4.

Для всех пикселей изображения (i, j), исключенных на шаге 2:I[i, j ] = I[i, j ] +V ( x j + md x , yi + nd y )h ( −md x , −nd y )  ,( k ,l ):I c [ k ,l ]=0  ( m ,n ):( xc + md x , yс + nd y ) k ,lгде условно-идеальное изображение V определено моделью (2.17). Величинаокрестности границы определяется размерностью импульсного отклика H.На шаге (2) не требуется точного определения граничных пикселей. Частьпикселей может быть избыточно отнесена к граничным с занулениемсоответствующих элементов матрицы Iс – это приведет лишь к увеличению объемавычислений без потери точности. В предельном случае, когда все элементы84матрицы Ic[i, j]=0, алгоритм сводится к ранее рассмотренному обобщенномусинтезу.Шаг (4) может быть реализован эквивалентным образом с меньшим числомумножений.

Для эквивалентного синтеза необходимо предварительно вычислитьдискретное субпиксельное представление импульсного отклика. Обозначим егоматрицей размерностью (Ny×Nx) элементов:h[m, n ] = h (( m − N x / 2)d x , ( n − N y / 2)d y ) .Тогда эквивалентная реализация шага (4) заключается в том, чтобы для каждогограничного пикселя изображения (i, j) выполнить следующие действия:4.1.Вычислить вспомогательные матрицы масштабированного по амплитудеимпульсного отклика hOB = I OB [i, j ]  h и h BG = I BG [i, j ]  h .4.2.Для каждого субпикселя (m, n) данного граничного пикселя, где (0, 0)обозначает его центр:Если M ( x j + mdx, yi + ndy ) = 14.2.1.Для всех пикселей изображения (k, l), лежащих вокрестности границы, вычислить:I[k , l ] = I[k , l ] + hOB ( m + (i − k ) M x + N x / 2, n + ( j − l ) M y + N y / 2) .Иначе:4.2.2.Для всех пикселей изображения (k, l), лежащих вокрестности границы, вычислить:I[k , l ] = I[k , l ] + h BG ( m + (i − k ) M x + N x / 2, n + ( j − l ) M y + N y / 2) .Величина окрестности определяется размерностью импульсного отклика H.Оценим количество операций, необходимых для осуществления синтеза.Аналогично ранее рассмотренному алгоритму, для этого потребуется задатьразмерность изображения (Ky×Kx), размерность субпиксельного представленияимпульсного оклика (Ny×Nx), количество субпикселей в одном пикселе (My×Mx).Число операций зависит также от количества пикселей изображения, через которыепроходит граница объекта – обозначим это количество как KP.

Число операций,необходимых для определения этих граничных пикселей (шаг 2) в общем случаеопределяется способом задания границы и остается за рамками расчета.85Операция свертки на шаге (3) путем прямого вычисления потребует[KxKyNxNy/(MxMy)] операций умножения с накоплением. Шаг (4) выполняется (KP)раз, при этом на шаге (4.1) выполняется (2NxNy) умножений, на шаге (4.2) – (MxMy)вычислений бинарной маски и (NxNy) операций сложения. Таким образом,суммарное число операций составит:• Умножения с накоплением: KxKyNxNy/(MxMy);• Умножения: 2KPNxNy;• Сложения: KPNxNy;• Вычисления M: KPMxMy+(KxKy-KP);• Вычисления IOB, IBG: KxKy.Теоретическая оценка числа операций показывает, что для синтезаизображения размером 100×100 пикселей с субпиксельным шагом 1/100 пикселя,характерной шириной импульсного отклика в 10 пикселей, а также при количествограничных пикселей KP=100 наибольший вклад в общее число операций составляетчлен (KPNxNy)=108, что на два порядка меньше, чем при использовании методаобобщенного синтеза при тех же параметрах.

При увеличении размераизображения, выигрыш от применения метода будет увеличиваться, а приувеличении числа граничных пикселей – снижаться. В худшем случае, если всепиксели изображения будут определены как граничные, количество операцийсоставит не больше, чем в обобщенном методе.Концепция моделирования изображения в фурье-области2.3.3.При использовании рассматриваемых выше алгоритмов субпиксельногосинтеза,яркостьрассчитываетсяквантами,соответствующимивеличинесубпиксельного шага дискретизации. Модель, построенная таким образом,нечувствительна к изменениям координат точек границы объекта (а также икоординат самого объекта) на величину менее одного субпикселя, ограничиваяточность локализации элементов границы объекта.При снижении величинысубпиксельного шага моделирования, точность локализации увеличивается, но, как86было показано выше, при этом также увеличивается объем вычислений –пропорционально числу субпикселей.

Принципиально иной подход, лишенныйуказанного недостатка, может быть получен при переходе к вычислениям в фурьеобласти. В частности, в литературе описывается основанный на указанной идееспособ представления сигналов с целью проведения высокоточного моделированияработы измерительной системы [92, 93].Предположим, что каким-либо образом удается вычислить фурье-образизображения. Обозначим его FI(ωx, ωy), где (ωx, ωy) – пространственная частота.Тогда, по свойствам фурье-образа, сдвиг изображения на некоторую величину(Δx, Δy) эквивалентен изменению фазы образа:()FI  (x ,  y ) = FI (x ,  y ) exp −i  xx + y y  ,где смещенное изображение I ( x, y ) = I ( x + x, y + y ). Амплитуда фурье-образа присдвиге остается неизменной.

Используя это свойство фурье-образа кодироватьпространственный сдвиг изменением фазы, а также учитывая ограниченностьфурье-образа оптического изображения вследствие дифракционного размытия,можно описать все изображение с высокой точностью ограниченным множествомфурье-коэффициентов его дискретного фурье-образа.Рассмотрим эту идею на примере синтеза изображения простого объектаквадратной формы равномерной яркости в отсутствии фона. Формально, в рамкахпредложенной модели (2.7), изображение такого объекта описывается следующимобразом (рисунок 2.4):I ( x, y ) = M ( x, y )  h( x, y ),1,( x  1)  ( y  1)M ( x, y ) = .0,( x  1)  ( y  1)Функции распределения яркости: I BG ( x, y ) = 0, I OB ( x, y ) = 1 .Воспользовавшись известным выражением аналитического описания фурьеобраза квадрата, легко определить аналитический образ изображения:FI (x ,  y ) =2 sin(x / 2) sin( y / 2)x yFh (x ,  y ) ,где Fh – фурье-образ импульсного отклика оптической системы h.87Пусть размерность дискретного сигнала изображения (Ky×Kx).

Тогдадискретный сигнал может быть точно представлен (KyKx/2) комплекснымикоэффициентами дискретного фурье-образа. Обозначим дискретный фурье-образматрицей FI. Тогда сдвиг изображения на (Δx, Δy) эквивалентен следующемупреобразованию дискретного фурье-образа:FI  [k , l ] = FI [k , l ] exp (− ix x ( k , l ) + y y ( k , l )).(2.20)При таком подходе смещение изображения осуществляется непрерывно, безнеобходимости субпиксельной передискретизации сигнала.MhI|FM||Fh||FI|а)б)в)г)Рисунок 2.4 Пример синтеза изображения в фурье-области: объект (а),импульсный отклик (б), частотно-ограниченное изображение объекта (в),синтезированное изображение объекта (г).

Верхний ряд – изображение, нижнийряд – модуль фурье-образаСледует отметить, что рассматриваемый способ корректно воспроизводитдискретный сигнал смещенного изображения только в том случае, если придискретизации выполняется условие теоремы Котельникова. Как было показаноранее, для этого должно выполняться соотношение (1.9) между шагом растрафотоприемника и параметрами оптической системы. В противном случае,ограниченный дискретный фурье-образ не позволяет восстановить отсчеты сигналамежду точками дискретизации, и результат применения формулы (2.20) приведет к88некорректномувосстановлениюпослеобратногопреобразованияФурье(рисунок 2.5).Δ/Δmax=1Δ/Δmax=4Δ/Δmax=10Рисунок 2.5 Пример субпиксельного сдвига изображения путем изменения фазыфурье-образа при различной величине шага дискретизации Δ:верхний ряд – исходное изображение, нижний ряд – результат сдвига на0.5 пикселя влево и вверхТаким образом, если найти способ расчета фурье-образа изображения объектас заданной границей, представляется возможным описать изображение ссубпиксельной точностью воспроизведения геометрии, не снижая величину шагадискретизации.

Аналитическое решение этой задачи известно для некоторыхпростых объектов [77], например, квадрата, прямоугольника, круга. В общемслучае (для произвольной формы объекта) аналитического решения не известно.Однако при допущении о возможности аппроксимации формы границы объектаотрезками прямых можно получить частично аналитическое решение. Этомурешению посвящен следующий раздел.2.3.4.Алгоритм моделирования изображения в фурье-областиВ соответствии с моделью (2.7) условно-идеальное изображение объекта сзаданной границей раскладывается на сумму произведений двух двумерных89функций: бинарной маски и функции распределения яркости.

Прямой расчетфурье-образа произведения этих функций с учетом неравномерной яркостиобъекта представляется затруднительным. Вместо этого, в работе предлагаетсярассчитать дискретный фурье-образ лишь для бинарной маски, несущей основнуюинформацию о границах объекта, затем выполнить обратное дискретноепреобразованиеФурьеиприменятьмоделинеравномернойяркостивпространственной области.Дальнейшиерассужденияпроводятсявусловияхаппроксимациинепрерывного фурье-образа его дискретным представлением, т.е. при допущении: ( F −1  FM )  F−1  FM  ,где F-1 – обратное дискретное преобразование Фурье, ↓ - оператор дискретизации,FM – непрерывный фурье-образ бинарной маски объекта (функции M), F-1 –обратное непрерывное преобразование Фурье.

При таком подходе процесс синтезаизображения I аппроксимируется следующим образом:I = IOB  M + I BG  ( U − M )   hM = F−1 ( FM ),(2.21)где M – матрица дискретного частотно-ограниченного изображения бинарноймаски объекта, h – матрица импульсного отклика системы, IOB и IBG – матрицыизображений яркости объекта и фона соответственно, U – матрица, все элементыкоторой равны единице, произведение матриц – поэлементное. Операциивыполняются над матрицами той же размерности, что и синтезируемоеизображение, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации