Оптимизация системы логистики в бизнесе на основе теоретикоигровой модели (1142526), страница 11
Текст из файла (страница 11)
синтетическийкритерий Гурвица превращается в критерий, который противоположен критериюГурвица относительно рисков с показателем оптимизма σ , а также не зависит отпоказателя оптимизма λ .72При α = 1 из (2.27) будем иметь Huri pr (1, λ , σ ) = Huri p (λ ) , т.е. синтетическийкритерий Гурвица наоборот превращается в критерий Гурвица относительновыигрышей с показателем оптимизма λ и не зависит уже от показателяоптимизма σ .На основании приведенных выше утверждений, а также приведенных нижеопределений эквивалентных и сравнимых критериев была сформулированатеоремы об эквивалентности и несравнимости синтетического критерия Гурвица скритериями Гурвица относительно выигрышей и рисков.Итак, два критерия K1 и K 2 можно назвать эквивалентными, если в рамкахлюбой игры множества оптимальных стратегий этих критериев совпадают:( S C )O ( K1 ) = ( S C )O ( K 2 ) .Два критерия K1 и K 2 можно назвать сравнимыми, если в рамках любойигры множество оптимальных стратегий по первому из критериев являетсяподмножеством множества оптимальных стратегий второго: ( S C )O ( K1 ) ⊂ ( S C )O ( K 2 ) ,или если в любой игре множество оптимальных стратегий второго из нихявляетсяподмножествоммножестваоптимальныхстратегийпервого:( S C )O ( K 2 ) ⊂ ( S C )O ( K1 ) .Также важно заметить, что эквивалентные критерии всегда сравнимы,обратное не верно.Два критерия K1 и K 2 называются несравнимыми, если найдется игра, вкоторой множество оптимальных стратегий каждого из них не являетсяподмножеством множества оптимальных стратегий другого: ( S C )O ( K1 ) ⊄ ( S C )O ( K 2 )и ( S C )O ( K 2 ) ⊄ ( S C )O ( K1 ) .73Критерии, которые зависят от некоторых параметров, могут бытьэквивалентными при частных значениях этих параметров, но не быть сравнимымив общем случае.Теорема 1.
Синтетический критерий Гурвица Hur pr (α , λ , σ ) при выигрышпоказателе α = 0эквивалентен критерию Гурвица относительно рисковHur r (σ ) .Доказательство. Пусть есть стратегия Ak оптимальная во множестве S Cчистых стратегий по критерию Гурвица относительно рисков с показателемоптимизма σ ∈ [0, 1] :Ak ∈ ( S C )O ( Hurr(σ )).(2.30)В соответствии с определениями (2.22) и (2.23) это означает, чтоHurkr (σ ) = HurSrC (σ ) = min{Hurir (σ ) : i = 1,2,..., m} .Тогда, в силу (2.27), (2.30), (2.25) и (2.28),Hurkpr (0, λ , σ ) = − Hurkr (σ ) = − HurSrC (σ ) = − min{Hurir (σ ) : i = 1,2,..., m} =max{− Hurir (σ ) : i = 1,2,..., m} = max{Huri pr (0, λ , σ ) : i = 1,2,..., m} = HurSprC (0, λ , σ ) .А это по определению (2.29) означает оптимальность стратегии Ak вомножестве чистых стратегий по синтетическому критерию Гурвица при α = 0 :Ak ∈ ( S C )O ( Hurpr( 0,λ ,σ )).(2.31)Итак, мы доказали справедливость импликации (2.30) ⇒ (2.31), котораяозначает справедливость включения:( S C )O ( Hurr(σ ))⊂ ( S C )O ( Hurpr( 0,λ ,σ )).(2.32)74Теперь докажем включение, обратное включению (2.33).
Пустьсправедлива принадлежность (2.31). Тогда на основании (2.27), (2.31), (2.28) и(2.29) будем иметь:Hurkr (σ ) = − Hurkpr (0, λ , σ ) = − HurSprC (0, λ , σ ) = − max{Huri pr (0, λ , σ ) : i = 1,2,..., m} == min{Hurir (σ ) : i = 1,2,..., m} = HurSrC (σ ) .Полученное равенство по определению (2.26) означает справедливостьпринадлежности (2.30).Таким образом, доказана импликация (2.31) ⇒ (2.30), которая говорит осправедливости включения:( S C )O ( HurВключения( S C )O ( Hurpr( 0,λ ,σ ))pr( 0,λ ,σ ))(2.32)= ( S C )O ( Hur⊂ ( S C )O ( Hurиr(σ ))(2.33)r(σ )).означают(2.33)справедливостьравенства, которое доказывает теорему ■Также в силу приведенных выше определений несравнимых критериев быласформулирована теорема о несравнимости синтетического критерия ни скритериемГурвицаотносительно выигрышей ни скритериемГурвицаотносительно и рисковТеорема 2.
Синтетический критерий Гурвица несравним ни с критериемГурвица относительно выигрышей, ни с критерием Гурвица относительнорисков.Данная теорема была доказана автором в [42], в частных значениях, темсамым подтвердив несравнимость данных критериев в общем случае.В процессе анализа синтетического критерия Гурвица, а также изучения еговзаимосвязей с критериями Гурвица относительно выигрышей и относительно75рисков, встает вопрос оценки цены игры в чистых стратегиях по синтетическомукритерию Гурвица через цены игры в чистых стратегиях по критериям Гурвицаотносительно выигрышей и относительно рисков.Итак, цену игры в чистых стратегиях по синтетическому критерию Гурвицаможно оценить через цены игры в чистых стратегиях по критериям Гурвицаотносительно выигрышей и рисков.
Используя равенства (2.28), (2.27), (2.12) и(2.13), будем иметь:HurSprC (α , λ , σ ) = max{Huri pr (α , λ , σ ) : i = 1,2,..., m} == max{[αHuri p (λ ) − (1 − α ) Hurir (σ )] : i = 1,2,..., m} ≤≤ max{[αHuri p (λ )] : i = 1,2,..., m} + max{[−(1 − α ) Hurir (σ )] : i = 1,2,..., m} == max{[αHuri p (λ )] : i = 1,2,..., m} − min{[(1 − α ) Hurir (σ )] : i = 1,2,..., m} == α max{Huri p (λ ) : i = 1,2,..., m} − (1 − α ) min{Hurir (σ ) : i = 1,2,..., m} == αHurSpC (λ ) − (1 − α ) HurSrC (σ ) .Таким образом, неравенство доказаноHurSprC (α , λ , σ ) ≤ αHurSpC (λ ) − (1 − α ) HurSrC (σ ) ,Неравенство(2.34)приα =0α , λ , σ ∈ [0, 1] .превращается(2.34)вравенствоHurSprC (0, λ , σ ) = − HurSrC (σ ) , а при α = 1 - в равенство HurSprC (1, λ , σ ) = HurSpC (λ ) .Разумеется, все вышеизложенное также вызывает вопрос о необходимых идостаточных условиях, при которых неравенство (2.34) превращается в равенствоHurSprC (α , λ , σ ) = αHurSpC (λ ) − (1 − α ) HurSrC (σ ) ,если 0 < α < 1.λ , σ ∈ [0, 1] ,(2.35)76Ответ на оба вопроса содержится в теореме 3.Теорема 3.
Пусть 0 < α < 1. Для того чтобы неравенство (2.34) былоравенством (2.35) необходимо и достаточно, чтобы существовала стратегия,оптимальная во множестве чистых стратегий и по критерию Гурвицаотносительно выигрышей с показателем оптимизма λ , и по критерию Гурвицаотносительно рисков с показателем оптимизма σ .Доказательство. Необходимость. Пусть справедливо равенство (2.35).Стратегия Ak ( k ∈ {1,2,..., m} ) оптимальна во множестве чистых стратегий посинтетическому критерию Гурвица Hur pr (α , λ , σ ) .
Тогда по определениям (2.29) и(2.27),HurSprC (α , λ , σ ) = Hurkpr (α , λ , σ ) = αHurkp (λ ) − (1 − α ) Hurkr (σ ) , 0 < α < 1.(2.36)Теперь докажем принадлежность данной стратегии множеству чистыхстратегий по синтетическому критерию Гурвица Hur pr (α , λ , σ ) .Ak ∈ ( S C )O ( Hurp( λ )) ( S C )O ( HurПредположим, чтоr(σ )).Ak ∉ ( S C )O ( Hur(2.37)p( λ )). Тогда по определению (2.14),Hurkp (λ ) < HurSpC (λ ) и поскольку α > 0 , будем иметь:αHurkp (λ ) < αHurSpC (λ ) .(2.38)В силу (2.21), HurSrC (σ ) ≤ Hurkr (σ ) и поскольку 1 − α > 0 , то− (1 − α ) HurSrC (σ ) ≥ −(1 − α ) Hurkr (σ ) .(2.39)Из равенства (2.36) и неравенств (2.38) и (2.2.3.13) следует неравенствоHurSprC (α , λ , σ ) < αHurSpC (λ ) − (1 − α ) HurSrC (σ ) ,(2.40)77противоречащее равенству (2.35).Ak множеству чистыхЭто означает, что принадлежность стратегиистратегий по критерию Гурвица относительно выигрышей доказана.Ak ∈ ( S C )O ( Hurp( λ )).(2.41)Теперь рассмотрим допущение, что Ak ∉ ( S C )O ( Hurr(σ )).
В таком случае поопределению (2.22) HurSrC (σ ) < Hurkr (σ ) . Тогда из равенства (2.36) в силу того,что α < 1 и, следовательно, 1 − α > 0 , получим неравенство (2.40), котороеприводит нас к противоречию с равенством (2.35). Таким образом, доказанапринадлежность:Ak ∈ ( S C )O ( Hurr(σ )),(2.42)которая вместе с принадлежностью (2.41) означает справедливость (2.37).Достаточность.
Пусть ( S C )O ( Hurp( λ )) ( S C )O ( Hurr(σ ))≠ Ø.Для определенности заметим, что справедливо (2.37).Тогда, используяравенства (2.15), (2.22) , (2.27) и (2.28), получим неравенствоαHurSpC (λ ) − (1 − α ) HurSrC (σ ) = αHurkp (λ ) − (1 − α ) Hurkr (σ ) == Hurkpr (α , λ , σ ) ≤ HurSprC (α , λ , σ ) .Из этого неравенства и неравенства (2.34) получаем равенство (2.35) ■Теперь используя теорему 3, докажем теорему о структуре множества( S C )O ( Hurpr(α ,λ ,σ ))при 0 < α < 1.Теорема 4.
Пусть 0 < α < 1. Для справедливости равенства( S C )O ( Hurpr(α , λ ,σ ))= ( S C )O ( Hurp( λ )) ( S C )O ( Hurr(σ )),(2.43)78необходимо и достаточно, чтобы( S C )O ( Hurp( λ )) ( S C )O ( Hurr(σ ))≠ Ø.(2.44)Доказательство. Необходимость. Пусть выполняется равенство (2.43). Таккак множество ( S C )O ( Hurpr(α ,λ ,σ ))не пусто, то из (2.43) получаем (2.44).Достаточность. Пусть выполняется (2.43) и для определенности имеетместо принадлежность (2.44).
Тогда по достаточной части теоремы 3справедливо равенство (2.35).Тогда, исходя из принадлежности (2.37)и равенства (2.35), получаемравенствоHurSprC (α , λ , σ ) = αHurkp (λ ) − (1 − α ) Hurkr (σ ) = Hurkpr (α , λ , σ , ) ,означающее, чтоAk ∈ ( S C )O ( HurТакимобразом,pr(α ,λ ,σ )).(2.45)доказано,чтоизпринадлежности(2.37)следуетпринадлежность (2.45). Данное утверждение доказывает включение:( S C )O ( Hurp( λ )) ( S C )O ( Hurr(σ ))⊂ ( S C )O ( Hurpr(α ,λ ,σ )), 0 < α < 1.(2.46)Теперь докажем обратное включение.
Пусть имеет место принадлежность(2.45). В связи с тем, что выполняется (2.44), то по достаточной части теоремы 3имеет место равенство (2.35). Также при условии справедливости равенства (2.35)и принадлежности (2.45) в необходимой части теоремы 3 были доказаныпринадлежности (2.42) и (2.43),что доказывает включение:( S C )O ( Hurpr(α ,λ ,σ ))⊂ ( S C )O ( Hurp( λ )) ( S C )O ( Hurr(σ )).(2.47)79Включения (2.46) и (2.47) доказывают справедливость равенства (2.45).Зачастую сложность анализа экономических моделей, проводимого сприменением игр с природой, заключается в большом количестве стратегийигрока A , что в свою очередь ведет к большому размеру матрицы выигрышей.Но в ситуациях, когда матрица выигрышей обладает определенными свойствами,рассматриваемую игру можно редуцировать, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
