Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Так, применяя вторую формулу (68), из (90) получаем В частном случае импульсов строго прямоугольной формы спектр каждого импульса имеет форму (73) и ва„-, -.„< — [е< >[в 3'[ч — (ч) ю] = " з1п' — '" [ < . (6.92) Полученные формулы позволяют определить спектр функции корреляции 8~(т) для рассмотренной системы случайных точек. Сопоставляя (69) и (90) н учитывая (88), находим 2 о<и[ 7М)-= <> ~е < и<~> (6.93) 155 Наличие дельтаобразной особенности 4нб(в)/(Ц' вызвано отличным от нуля средним значением (<), которое, естественно, обратно среднему расстоянию между точками (Ц Совершая преобразование Фурье, обратное преобразованию (70), получаем функцию корреляции распределе- ния г =.
е(-) Кт( ) ~(~) ) е Йе ! е( )с"~ 1 Р Е(ы) 1г (() ) 1 — Е (е) соз ютгтш. (6.94) гИ (г) 1 л 4 ) е '"П«з(с — (Е) е)" (695) Подставив сюда вырзжеиие (99) гтй (т) 1 Г кы 1+ Е (е) чт 4к (() 3 ье 1 — Е (е) Г .;,.-.. 1+ Е ( — ы) 4к(() ) е ™ 1 — Е(-е) (6г96) Второй элен можио также записать в форме Г,„... 1+е( ') 4(г) )Е '"' 1 Е(.>и' ('= — ) откуда видно, что ои отличается от первого замеиой т иа — т. Поскольку ь может принимать лишь положительные зиачеиия, из (79) имеем и (!р) = ( е лзш(,") гтг, 0 Выведенные формулы позволяют найти связь между характеристической фуикцией Е(ы) и преобразованием Лапласа корреляциоииой функции я!(т) .: — я(т]. Пролиффереацировав по т обе части равенства [2.!4), имеем г с Ю((р) совпадает с изобракением Лапласа функции ш(ь) Онз аналитична при мер)~ 0 и интеграл Я ш(1) = 9 ) е ьМО(~)п~= 9 .
~ел О(тр)пр (р = — тн) есть не что иное, как обратное преобразование Лапласа. 1+ 6((р) Функция р —: —, в свою очередь, является изображением Я 1 О(]р) Лапласа некоторой функции.Она также аналитична при Кер)~0 (если С не детерминированная величина), и интеграл есть обратное преобразование Лапласа. Оно дает, следовательно, функцию, равную нулю при т < О. Таким образом, в (96) прч т > 0 отличен от нуля лишь первый член, а при т < 0 — второй. Оригинал Лапласа указанного выше изображения пропорционален производной от корреляционной функции (6.97) Учитывая, что Г гтй Г г(й Г Дй и= — "—,.= ' — .-' — ° о о и, следовательно, Ь (й (т), р] = — (3. ~ — „, р~ — 1.
~ — „,, 0$, (6.98) голучаем в силу (97) 1 1+0(тр) 1 1. (й (г),,о) = — — —. (6.99) 2 (() 1 — 8 (зр) р (() в Аналогичное соотношение можно записать и для функции (9т) Перейдем к рассмотрению последовательности неодинаковых импульсов, а именно импульсов, имеющих 157 строго прямоугольную форму, одинаковую высоту, но неодинаковую длительность (рис 6.2).
При этом случайными точками являются не только моменты, соответствующие началу импульсов, но и моменты их конца. Следовательно, случайные точки на оси времени теперь являются неодинаковыми. Задачу можно свести, правда, .к рассмотрению системы одинаковых точек. но не на прямой, а на плоскости. Тем не менее мы не будем излагать общую теорию, а ограничимся рассмотрением частной задачи, (// гу ~/ Рис. 6.2. Импульсы и интервалы, имеющие случайную длину. Пусть точки начала 1у и конца 1/ импульсов пронумерованы в порядке возрастания времени ...1,<1,'<1,<г,'<...
(6.101) Тогда последовательность импульсов можно записать Ч (1) = .." 19,, (1 — ьу), (6.102) те! у где ~ 1 прн 0<1«, 10 при ~<0 и Г)0. Высота импульсов принята единичной. Вместо функции (102) удобнее рассматривать ее производную т1 (1) =-1(1) = — ~~'.!й (à — 8у) — 6 (à — Г,.')], (6,103) ! которая является обобщением случайной функции плотности (21) на случай неодинаковых точек, Желая определить спектральную плотность стационарной последовательности импульсов (102), нужно принять во внима- 158 ние, что спектральные плотности указанных функций связаны очевидной формулой 8 [ть ю] = — Я [с, оз] 1 (6.104) или 5 [т) — (з)), ю] = —,Я [с — (Ц, ю], (6.105) Ограничимся рассмотрением того случая, когда длительности импульсов гу' — ь' 1= О/ (6,106) н интервалы между импульсами г) — г) — — а) (6.107) представляют собой независимые случайные величины.
Первые имеют одинаковый закон распределения, соот- ветствующий характеристической функции 0, (и) = (е'"гу), (у — любое). (6.108) Интервалы также имеют одинаковое распределение и характеристическую функцию 6з(и) = (еы'У), () — любое). (6.109) 1. [$, р[ = е лф — е лй + е ла — е л' -1- ... (6.110) Последнее равенство относится к тому случаю, когда начало ~ оординат Г = 0 попадает в интервал между импульсами. В про~ивоположном случае, когда выпадающий импульс покрывает начало координат, следует взять равенство р) — — е Рт — е Рт — е ла фе Р' — 10111) Существуют определенные вероятности Р, и Рз выполнения одного из двух указанных равенств. Останавливаясь на первом из 159 Как и раньше, для вычисления спектральной плотности Б [а, ю) используем формулу (2,27).
Если Га есть наименьшее положительное значение нз всех значений 0 начальных момеагов, то преобразование Лапласа от функции 1!03) записывается в форме ннх н учитывая (1051, (107), преобразуем его к виду 1. [$ р] = е л'[1 — е "Р'+ е лз "" — е лг' лн лг'+ ...! = =е лб ~',(ехр[ — р(р, -', сч-]-...+р +е)]— )=о — ехр [ — р (р, + сч + ... -'- су + ру+,)) ). (б.112) Чтобы вычислить (]1.[1, р]]т), умиожим (110) или (112) на комплексно сопряженное выражение. При этом войдет двойная сумма ~~~~~ ~~~~~ А А«*,(А = е лу — е )" ).
Разделим ее на три у-о«=о суммы (у'= К / > «и у < «). ](. [5, р! ]зев ~~~~ ~~ А А * = ~~Р + ~ + ~~~~, (5.115) ]=о«=о где Хо = Х АуА/"' Х. = ~~'~ А)А«ь = Х ~~~~~ А«+гА«ь' ~~)~- = ~. 1>« «=ОГ-1 Если записать подробнее, то будем иметь ~~Ро — е (л+л )й ~~~~ (ехр [ — р (р, -1- сч + ... -1- р + а Ц— 1=0 — ехр [ — р (р, + сч + ... -1- ау -)- р ь,)]) Х Х (ехр [ — р" (р, + е, + ... + р + еу)]— — ехр [ — рь (р, -1- е, + ... + ет + руэгг)]), (6.114) а также — е гяьл )га ~~~ ~~~Р (ехр [ — р (рг + сч + ... + р«ег + с«+г)— «=ог-т — )зь (р, + ...
+ а«)] — ехр [-р(р, + ... -1- а«ьг)— — рт (рг + ... + а«+ р«лч)] — Ехр [ — р (р, + ... + а«4Г + р«ьсь,)— — Р*(Р, + ... + е«)] + ЕКР [-Р(Р, + ... + ~«4Г+ Р«+ГЬ,)— — ре (р + ... + а«+ р«, г)]]. (б.115) При усреднении последних выражений мы получаем произведения характеристических функций (108), (109) вследствие независимости.
случайных величии ру, ад Так, из (114) имеем (Хо) = (е гльр*>го) ~ Огу(ГР+ (о*) 9 у(ррт+ гр') Х )=о Х (1 — 0~ (1р) — 0,(1р*) + 0,(ср+ гр*)]. Суммируя Зтот ряд как геометрическую прогрессию и полагай р+ р" = е, получаем ( <е — ага) "~о~ 1 — 8,(М) 8,(!а) (! + еа(аа) — 8~(!Р) — еа" (!Р)) (6.116) Аналогично, усреднение ряда (115) дает <Х+) = <Е ') Х Х <Еа" (!а) еаа <!а) Еа! (!Р) Еаг<!Р)— а=а г=г — ет~ (га) еаа (аа) 8~~ (ар) Еа~(!Р) 6 а (М) Е «(!а)ф~~(!р) Е а(;,) ! +8!" ( >еаа( )Е,' р>Еаа(!Р)).
( <е-'"> Е (ар) Е. (<Р) а'"+) 1 — 8,(и) еа(и) 1 — 8 (!Р18,(!Р) 8, (й) Х(! —, > е, <!Р)+е, «.)~. (6.117) 8 (!Р> Согласно (2.27), (ПЗ) искомая спектральная интенсивность определяется по формуле 1 2 Б [б, ш] = !йп а<~о> + !ип а(~я~~ ~) + !ип а<~~~~ ) = .-о а (г .-о = Вша<~~~о) + 2 Ке !!ш а < ~а', ), -о .-о (6.118) где положено а р = — аш. 2 ы+ 6 81(ю)еа(ы) т- 1 то предельный переход совершенно тривиален. Поскольку 1 Е, (! ) = 1 —. <р) + 2 а (р > + ..., 1 8, (8) = ! а <.> + 2 ° <. > + то а 1 <>+ <> при а- О.
(6.119) 11 Зак.з/1 161 Вынося за скобки 8,"(ы)8,а(ы)8,'(!Р)е,а(!Р), легко видеть, что последнее выражение представляет собой геометрическую прогрессию как по й, так и по б Суммирование обеих прогрессий приводит к результату Поэтому равенства (1!6), (ПУ) дают 1 Иш з ( УЧ = —... [2 — 0,(м) — нгь(м)] = 2 ээ — — †..( )(е [1 — 6, (и)[, / з5ч 'х ! 0ю (е) нз (и) ~ь/ (Р) + (.) ! — 0, ( ) Нз( ) Х [2 — 0 — О, (м)~. (6.120) Прн ее выводе мы пользовались выражениями, справедливыми в том случае, когда начало координат !=О оказывается в проме>кутке ме кду двумя импульсами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
