Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 20
Текст из файла (страница 20)
от ол Суммируя подабиые имвульсы и авода двумерную случайнуо Функцию плотвости Е(т, о) =~,'а(т ту)а(о — оу), 1 (б.53) будем иметь )а (О е )г )г6 (т — т', о) 5 (т', о) ага'до, (б.51) Здесь 6(т, о) — полностью известная функция двух переменныт, определяемая усаовияа~и движения электрона. Теперь мы имеем случайную систему точек на плоскости т, о. Предполагая, как и раньше, начальные данные различных электронов независимыми, можем по-прежнему рассматривать указанные точки как пуассоновскне. В силу (29) вместо формулы (39) в этом двумерном случае будем иметь ~(~(т о» с(тч.т ")1=а (т о)а(т)а(о — о'), (5.55) при этом (7а) = еЦ6 (т т о)ла (К, о) йиаао = е~я (о) а(о, (5.55) поскольку плотность я,(й о) я~(о) постоянна во времени и ) 6(т, о)а(т = 1 при любом о. Вводя нормированную плотность распределения а(о] по начальным скоростям, запишем Ка(о) в виде я (о) = —,, ю(о). ()а) (5.57) Учитывая (54), (55) и (57), приходим к результату к 17„7„) = еа) ) 6 (т - т', ) 6 (т +.
— н, ) л, ( ) лт ь = = е()а)) ) 6(а, о) 6(а+ а, о) ю(о) пЫо. (5.58) (6.59> 147 4. Системы случайных точек, полностью определяемые первыми двумя моментами В теории случайных функций иногда ограничиваются рассмотрением корреляций второго порядка, т. е. рас- сматривают лишь первые два момента случайной функ- ции. Между тем первые два момента импульсной слу- чайной функции типа (21) или (22) однозначно связаны с первыми двумя функциями распределения. Разрешая равенства (26), имеем й ((>= (5>, ая И, (а> = (1 (~а>(Иэ) > — (( И1> > (1 Из> >— — (Е (у,»3 (~, (,>, Поэтому в теории первых двух моментов функции Кь Д2 или )ь )2 можно считать известными.
Однако первые две функции распределения в общем случае не характеризуют полностью системы случайных точек, Поэтому для более полного описания случайных точек может возникнуть потребность рассмотрения более высоких моментов импульсного процесса. В некоторых же частных случаях такой потребности не возникает и система случайных точек, а также построенный на ней импульсный процесс полностью определяются первыми двумя функциями распределения, первыми двумя моментами. Рассмотрим два таких случая. 1.
Система парнокоррелированных точ е к. Случайные точки мы называем парнокоррелированными, когда все функции корреляции распределения, кроме дь д2, равны нулю: К2=К2= =О. (6.60) Производящий функционал (9) для таких точек имеет вид т 1-г [о (1) ) = ехр ~~ й' (~) о И) 2У1+ (о г г + ) ~ Ы2(~ ~)~(") ( ) о о (6.61) =ехр О о 148 2 Система несближающихся точек.
Пусть все функции корреляции распределения выражаются через две функции 11(г), )2(г, 1') по формулам д, (1~ ..., 1,) = (- 1)'-' (а — 1) 1Х, (1,)...)', (1,) Х Х Я(1„2,)...Я(1„1,))„(6.62) где (...)„как и раньше, обозначаетоперацию симметризации, Указанным функциям корреляции согласно (9) соответствует производящий функционал йг[о (г)1 = Здесь произведено суммирование ряда при помощи формулы: ~ — ( — 1)'-Ч' '=1-'1п(1+1). Смысл функции Д(1, 1') раскроем, положив а=2 в (62). Это дает ЙВ И1 ~з) Л ((1)Л (~2) Й И1 ~2) или Л(~» (з) =.~ (1)~~((з) [1 — Я((„1з)! (664) Функцию Р((, (') удобно назвать коэффициентом корреляции, Когда он равен единице, функция распределения 1з вследствие (64) обращается в нуль. Мало того, при )т= 1 формула (63) переходит в равенство т Йг(о(1)) = 1+ ) г,(1) о(1) И, О которое согласно (4) говорит о том, что обращаются в нуль все функции распределения, кроме первой.
Если т.,р определяет быстроту исчезновения корреляций и й(г, г) =1 при малых расстояниях ( — Т((т„,р,то описанные случайные точки не могут, следовательно, выпадать близко друг к другу (с интервалами, много меньшими, чем т.,р). Поэтому мы назвали такие точки несближающимися.
При помощи выражения (63) можно найти, в частности, вероятность того события, что на интервале 0<(<Т не выпадет ни одной точки. Используя формулу (13), имеем Р(и=О) = с т ш ~ — (л(б ~)г, п~ ~, (() ~й . (6.65) =ехр (Й(б н)ЛМ Чтобы получать конкретные результаты, при решении ряда задач целесообразно реальные более сложные си- 149 стемы случайных точек заменять на системы описанного вида. Так, формулы теории несближающихся точек при- меняются в разд. 2 5 12 для вычисления распределения выбросов по длительности. Б. Спектральная плотность последовательности импульсов Рассмотрим сначала последовательность импульсов, имеющих стандартную форму, описываемую функцией 6(1) . Положение различных таких импульсов на оси вре- мени является, вообще говоря, случайным, и последова- тельность импульсов записывается в виде суммы 'чР) =Х~И вЂ” х~), 1 где г — случайные точки.
Последнее преобразование можно трактовать как линейное преобразование случайной функции плотности (21) ч(~)=) 6(~ — ~')Е(г')аТ (6.66) или в спектральной форме ч„= Р(1е) Е„, Г ()м) = ~ е 0 (т) сКт, (6.67) где ч„= — = ( е ь'ч (1) И, т' 2~~,) Е„= — 1 е '"'Е (1) ог, т' 2~~,) (я) =Р(0)(Е), ВИ "'1=1~(1 )Г6(Е ! (6,68) Рассматриваемую последовательность импульсов мы предполагаем стационарным случайным процессом, это означает, что система случайных точек — положений импульсов — также является стационарной. В этом случае пз (66) или (67) вытекает Но спектральная интенсивность Я[~, ь] в соответствии с (2.9), (2.12), а также вторым равенством (26) или (28) легко выражается через функции дь дз 8 [1, м]=2д,+27(а)+4яд,ч5(ю), (6.69) 8 [Š— (Ц, м] = 2 [т ( ) + 8'~], где 7( )=) е 'й',()пт.
(6.70) После подстановки этого выражения в (68) будем иметь 8 [Ч в] =4яР~(0) ~Л(ы)+ 2]Р(!м)]а [7(м) +дД 8 [ч — (т1), ы] = 2 [ Р(ась) [т [т (в) + дД. (6.71) В том частном случае, когда функция 6(т) представ- ляет собой прямоугольный импульс фиксированной вы- соты Оа и длительности т„(рис, 6.1), т. е. ~0, при 0<т<т„, 6(т) = !О при т<0, т)т„, (6.72) имеем Р(ю~) = —,' [1 — е '" ] (6.73) и формулы (68), (71) принимают вид (6.74) (ч) = ~отиК~ щ] о з. т ~~и [, (щ) 1 151 Мы видим, что спектральная интенсивность последовательности импульсов без особого труда может быть найдена, когда известны первые две функции 9~ и йь В противном случае их вычисление следует ,проводить независимым образом на другой основе и использовать формулы (69), (7!), напротив, для определения функций Кь 7 ет Рассмотрим пример именно такого типа.
Пусть случайные точки 1~ (рис. 6.1) определяются тем, что расстояния между соседними точками — одинаковые неза- висимые случайные величины, имеющие известный закон распределения ю(Ь). Выбрав начало отсчета времени 1=0, перенумеруем случайные точки с положительными значениями координаты 12)0. Пусть 10 — наименьшее из этих значений. Нумеруя остальные значения в порядке возрастания, имеем ьо — Ь1 ьг Рг — "2 или ~1 — йо+ Г1 ~2 ~0+ ь1+ '2~ ь1 — ье+ьт+ . +ьд (6.75) Рис. 6.Ь Последовательность импульсов одинаковой высоты и длительности. Для вычисления спектральной интенсивности случайной функции с (1) .= ~ 3 (1 — 17) воспользуемся фор- 1 мулой (2.27), которая требует совершения предельного перехода е — 0 в выражении 2(~(.[с, — — 102~~ ).
Здесь 2 В [1, р) — преобразование Лапласа случайной функции с (1), которое равно В [$, р[ = ) е-"((й) ~й = о е — ра[), — рс, + — рс;рс. + ] (6.76) Отсюда имеем р[ [2 е 1ртл 1п~~ ~~)~ е л1с1 ...есу1 — л 1сге. ° ° есм (6 77) /=12=1 (значок в обозначает комплексное сопряжение).
Разобьем слагаемые последней суммы на две группы, к первой отнесем члены, для которых )) й, обозначив 152 !' — й=(, а ко второй — остальные члены, для которых ](й, и обозначим й — /=й Тогда (77) запишется в виде 11-(1 р1Г= -!рддр*!и ~~ т~ — ср !р ! !с +... +со!-р !со+,+... ~ьсо+с! + (о=! с-о ~~' ~Р— СР+Р*! !с!+. +сР-Р'С!7+с+ ! су+с! (6 78) !=!с=! При вычислении среднего значения от последнего выражения воспользуемся независимостью различных случайных величин ~р Вследствие этого каждый член указанной суммы можно будет записать в виде произведения характеристических функций, соответствующих распределению ж(~) и взятых от различных аргументов.
Так, обозначая В(и)=) е'"'тв(с)Ж= (е'"'), (6.79) имеем (е «') =В(ср); (е хм) =В((р") =4Эо((р). (6.80) Вследствие сказанного среднее от (78) примет форму (! Е, )Е, р! Р):= (е "~~ ~ ") ~,~~ ~ В' ()р+ ср') Вс(ср) + со=! с-о + ~~.", ~~~В/()р+ ср*) Вос((р) . (681) с=!с=! (!~ (1, 2 — ссо]/ 7 ! — и(!а) Х (+2)(+2)~ 153 Здесь ряды представляют собой геометрическую прогрессию и их можно легко просуммировать, после Е чего получим, полагая р= — — см, 2 оенность. Дополняя ею формулу (83), справедливую в остальных местах, получаем 2 < — ~Е< >[а 4З<> 8[~ ") = <<> [~ — и< >[+ <<> (<) = (Ц (6.88) Учитывая (2.12), получаем из (87) спектральную плотность для случайной функции с вычтенным средним значением '['-(') .[- <'> [<- <-и' > — !в<.»р (6.89) Легко проверить, что последнее равенство можно также записать 8 [< (<) ~~[= <<> Ре > и( > (690) Зная спектральную плотность функции З(<), можно непосредственно записать спектральную плотность последовательности импульсов (66).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
