Стратонович Р.Л. Избранные вопросы теории флюктуаций в радиотехнике (1961) (1141997), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Найти соответствующие формулы можно функциональным дифференцированием по и(1) с последующим приравниванием и(1) нулю, а также путем использования разложений (168), (6.9). Так, подставляя последние разложения в (24), логарифмируя и выписывая лишь линейные и билинсйные по и(1) члены, имеем т тт з ~ А, (1,) и (1) йЬ, -]- — ~ ~ й, (1,, 1з) и (1,) и (1з) йЬй1з + о о о тт (6.25) Отсюда, приравнивая порознь линейные и билинейные члены, находим йз(11) =01(11), Аз(1з ~з) =Кз(Г~) Ь(1~ — Гз)+йз(Го 1з). (6 26) Совершенно аналогично, выписывая в (25) большее количество членов, можно получить формулы для корреляционных функций более высоких порядков йз(1о зз зз) =й(т~ Гз) ~(1~ ~з)йз(1~)+ +88(Гз — ~з)йз(1~* Гзйз+йз(1» (з, 1з) 141 +...
=~а,(1,) [е'""' — Ц ж,+ — 'Цйз(г„~з) Х о о о т Х [езони — 1! [его"" — 1] г11,г11з+ ... =1 ~ л',(т' ) Х о т тт Х и (1,) Ж, + — '~ ~ а, М и' (1,) г11 -+ — ',„~ й'з (т'„г' ) и (1,) Х о оо Х и (~з) ~ЙФ + ~4 (~1 ~2 ~З ~1) ~ ("1 ~2) ~ (~1 ~З) ~ (~1 ~1) К1 (~1) + + 4 (3 (Г1 — Гз) З (Г1 — Гз) дз (Г„Г1) ) з + 3 (а (т1 — Гз) Х Х о(12 — 11) д1(~„~з))1+6 Я(11 — 12) Дз(~1, ~з, ~1) ~, + + Ю1 (~1, ~2 гз гз) (6.27) Здесь (...)„как и на стр. 23, обозначает операцию симметризации. Нетрудно понять, что подстановка разложений (1.66), 4) в (24) даст такие же формулы связи моментных ункций с функциями распределения л21 (~1) =Л (~1), т (Г„г,) = з (~, — ~,)~(~,) + 12 (С„~з), РлМ1, Уз, ~з) = (г1 — ~2) И1 — ~з)л(~1)+ +З~йА — ~2)ЛА, ~з))1+Уз(~1 ~2, ~з), (626) Таким образом, мы наблюдаем полную симметрию: если д, относятся к у, так же, как й, к лз„ то и д, относятся к А„как Г; к лз,.
В то же время в объединенной теории случайных функций — случайных точек — имеет место глубокая однородность математического аппарата, проявляющаяся, в частности, в наличии одинаковых симметрирующих сумм. Зная корреляционные (или моментные) функции случайной функции плотности, можно найти корреляционные (моментные) функции любого другого процесса (20) путем многократного применения линейного поеобразования (22). Выше уже отмечалось, что приводимые результаты допускают обобщение на тот случай, когда рассматривается система случайных точек в многомерном пространстве. Если гь ., ар — координаты этого пространства,то их следует брать вместо й Ограничимся тем, что приведем многомерное обобщение формул (26) Аз(г„...,,) =а,( „..., Я,), й2(~1~ ' > ~р ~1 ' ~Р) К1(~1 ' ' ~Р)~(~1 ~1 ) В (яр — ар') + яз(8„..., яр, я1', ..., яр').
(6.29) 142 3. Точки, распределенные по закону Пуассона. Дробовой шум Случайные точки распределены по закону Пуассона, если отсутствуют всякие корреляции мегкду ними, т. е. если факт выпадения одной или нескольких точек не изменяет вероятности выпадения других точек. Для таких точек все функции корреляции распределения, кроме первой д~(1~), обращаются в нуль а;(И„Са)=О; да(~„~,,~а)=О; ... (6.30) Согласно (9) производящий функционал в данном случае имеет вид (т с,~.(а]=.*р~)а,(а.иа~.
(аза а Используя формулы (15), (16), (32), получаем т т т а.= —,', ~(а,~аш~ -р( — (т,а) а~ ~аза~ 1а (а=О, 1, 2, ...). Последнее выражение представляет собой распределение Пуассона и им часто пользуются для определения пуассоновской системы точек. В стационарном случае средняя плотность точек есть постоянная и формулы (ЗЗ) принимают вид (к тУ вЂ” жт (6.34) Если имеется большое число взаимно независимых событий, происходящих во времени с конечной средней плотностью, то моменты наступления этих событий распределены по закону Пуассона. Рассмотрим для примера электрический ток, протекающий через диод в статиче.
ском режиме. Единичный электрон, вылетевший с катода 143 Разлагая экспоненту в ряд и сравнивая с выражением (4), нетрудно убедиться, что функции распределения распадаются на произведение одномерных функций ~,(1„..., а,)=д,(1,)...д,(1,). (6.32) н достигший анода, создает импульс анодного тока стан- дартной формы, причем ) )(1 — 1~)И=а (6.35) ( а) е (6.36) Тем самым рассматриваемая система точек является полностью определенной.
Анодный ток образуется нз единичных импульсов (6.37) и, следовательно, представляет собой случайную функцию типа (20), построенную на основе системы точек. Для определения его статистических характеристик можно использовать формулы предыдущего раздела. Предположим сначала, что конечностью времени пролата от катода до анода можно пренебречь, считая его бесконечно малым. При этом каждый единичный импульс тека можно полагать дельтаобразным ((( — (7) ч аб(~ — 1~), в ток (37) будет иметь вид 1, (г) = е ~, й (1 — 17) = е( (г). ! (6.38) (е — заряд электрона).
Положение этого импульса на оси времени определяется моментом 1, вылета электрона. Этот момент случаен. Переходя к рассмотрению других электронов, мы будем иметь совокупность случайных моментов вылета ..„1д ~~+ы..., которым на оси времени соответствует система случайных точек. Будем предполагать, что различные электроны вылетают с катода независимо один от другого и, следовательно, моменты вылета распределены по закону Пуассона, Зависимость могла бы иметь место лишь для электронов, вылетающих почти в одно и то же время из близких мест катода.
Этим, однако, можно пренебрегать, полагая, что размеры катода значительно превосходят возможное расстояние корреляции. Зная средний анодный ток (I,), находим среднее число электронов д„вылетающих в единицу времени: Согласно этой формуле, которая носит название формулы Шоттки, интенсивность флюктуаций пропорциональна заряду электрона. Это естественно, поскольку рассмотренные флюктуации, которые наглядно называют дробовыми, обусловлены дискретностью электрического заряда. Принимая во внимание (27), нетрудно видеть, что другие корреляционные функции вследствие условия отсутствия корреляций (30), также имеют дельтаобразный вид К [7а(е,),, 7а(!,)]=е'й.,й(!, — ! ) А(т, — !,) = = е' '(!,)ч(1, — Цз)...6(е, — 1,). (642) При высоких частотах, которым соответствует период колебаний, сравнимый с временем пролета, следует принимать во внимание длительность и форму каждого единичного импульса, заменяя дельта-функцию на некоторую другую функцию 6(! — !!), определяемую условиями движения электрона.
Суммируя отдельные импульсы ! (! — !!) = — е6 (! — !!), будем иметь 7,(!)=е) 6(! — !')6(!')Ы. (6А4) Если принять во внимание формулу (39) для корреляционной функции, то К(7а 7а~] е,~ 6(! ' 'з)6(!+" з)й~ = е(7а)~ 6(т + о) 6~з) гй. (6.46) 14О Чтобы найти корреляционную функцию тока, воспользуемся формулой (26), полагая в ней Из=0.
Получим 71„(з)=А,(!, С+т)=д,й(;) (6.39) или, если учесть (38) и (36), К (7„7„] = е (7,) Ь (т). (6.40) Преобразование Фурье этого выражения дает спектральную интенсивность флюктуационной составляюгцей 7, — (7,) аиодного тока 8]7, — (7,), в] =е'Я ]% — (Ц, м] = — 2е(7,). (6.41) Вследствие (44) легко найти связь между спектральной интенсивностью флзоктуаций тока и спектральной интенсивностью случайной функции плотности. Формула связи имеет вид 6 [), (1,), ю] т аз[а(ьи)[з8 [Ь вЂ” (1), оз], (6А6) где гт ()ю) = ~ е "'"0 (т) сК (6.47) В то же время в силу (39) Я [1 — (Ц, ю] =2а,, Поэтому 8 [~а — (1а), ю] = 2Е(1а) [Р()ю) [в.
(6.48) (6.49) Эта формула отличается от (41) тем, что в ней имеется дополнительный множитель [Р((от)[з, который носит наввание коэффициента частотной депрессии. Принимая во внимание (35), (43), легко видеть, что )Г0(т)с(т=1, т. е. Р(0)=1. (6.50) Следовательно, при нулевой частоте обе формулы совпадают. При других частотах [Г((от) [ < 1, и формула (49) дает уменьшенное значение интенсивности дробовых флюктуаций, Если движение электрона в пространстве катод †ан считать равноускоренным с нулевой начальной скоростью, что возможно при плоских электродах и малых плотностях пространственного заряда, то, как показывает несложный расчет, будем иметь Р ()ю) = —,, [1 — (1+ )юТ) е '"г[, До сик пор мы предполагали, что все электроны дают импульсы одинаковой формы. Производя учет влияния продольной компоненты о =от начальной скорости электрона, следует принимать во внимание зависимость единичного импульса 1 (Г Гу) ео 0 — (ч о1) (6.621 1еб [Р(ио) [' = —, 1(1 + — (юТ) — соз мТ вЂ” аТз(пюТ[ (6.51) 8 Г 1 (Т вЂ” время пролета).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
