Шебшаевич В.С., Дмитриев П.П., Иванцевич Н.В. Сетевые спутниковые радионавигационные системы (2-е издание, 1993) (1141982), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Здесь й; — введенные ранее формально обобщенные градиенты, определиемые тенер~ так; — 1, з П;=12о) 3 '(Е, +Ез+Ез), й,=о '2 '(Е,— Е), (Е~ + Ез 2кз). (253 1) Разностно-дальномерные градиенты с)г даются выражениями (25.!О). На рис. 25.1 показаны два НИСЗ и два дальномерных градиента по и и, соответствующие производимым по ним измерениям.
Модуль градиента разностно-дальномерного измерения )п,' — по! =25)п Х Х(Огг2). Угол О между дальномерными градиентами определяется в зависимости от геоцентрического угла )с разнесения Рис. 25.1. Разностный градиент дальномерных изме- рений йп=п,— пм, пм пг — градиенты дальномер- ных измерений 12* НИСЗ и высоты Н потребителя (П) над земной поверхностью из следуюгцего уравнения: 1пО = з|п)ь/(1+ й — созЛ), й = И/ггз.
Выбор оптимального созвездия НИСЗ для П, находящегося на высоте Н, эквивалентен такому выбору обобщенных градиентов, при котором корень из следа корреляционной матрицы погрешностей засечки (БрК,) Ы' достигает своего минимально возможного значения. Было показано, что 5рКе=аэ/аа При этом значения коэффициентов определяются через обобщенные градиенты С, так: , =(С, Х Се)э+(С, Х С) +(С Х Сз)э; (25.12) аа =[ Сз(Сэ Х Сз)1 Итак, след корреляционной матрицы вектора погрешностей определяется выражением (259) через коэффициенты характеристического уравнения, определяемые зависимостями (25.!2) При использовании квазидальномерных измерений обобщенные градиенты С, суть линейные комбинации (25.11) разностно-дальномерных градиентов д,=п,' — по с коэффициентами, являющимися компонентами собственных векторов корреляционной матрицы К= погрешностей разностно-дальномерных измерений.
Данное утверждение раскрывает общую структуру оценки точности навигационного определения, произведенного квазиметодом, При этом результат оказывается выраженным в простой и наглядной форме через обобщенные градиенты. В практических случаях более удобно использовать разностные градиенты вместо обобщенных. Можно показать, что при определенных условиях при выборе оптимального созвездия критерий минимума следа можно. заменить эквивалентом наиболее простого критерия. В частности, можно считать, что оптимизация выбора созвездия по минимуму БрКч эквивалентна условию максимизации объема )у= |Сз(СэХ Х Сз) | призмы, построенной на обобщенных градиентах, или, что то же, объема и= |дз(деХпз) | призмы, построенной на разносгных градиентах дь Чтобы сделать результат очевидным, заметим, что для потенциально оптимального созвездия эллипсоид рассеивания должен быть осесимметричным (пз=пзм,„).
Обозначив через пь пэ, пз его полуоси, запишем критерии следа 5 и объема )г так: 5 упз+пэ+пэ', ) = 1/о|пэпа. г э Отсюда при и, =па=о и следует справедливость приведенного утверждения: згэ 5 = и ~ 2+(пз /и) ); )г ' = и (пз/и). з56 Полученные результаты позволяют 'сделать важное заключение. Если единственным ограничением расположения НИСЗ является условие наблюдения, т. е. НИСЗ должны находиться в пределах области радионаблюдения с объекта (й)й „), то потенциально оптимальное созвездие будет выглядеть следующим образом: один НИСЗ вЂ” в зените П, а три других равномерно распределены по границе конуса радиовидимости. Справедливость сказанного вытекает из того очевидного факта, что максимальный объем пирамиды, построенной на разностных градиентах, будет у правильной пирамиды, вписанной в сферический сегмент сферы радиовидимости П.
Потенциальная точность созвездия определится следующим образом. Обобщенные градиенты С, оказываются в этом случае взаимно ортогональными, их модули соответственно: 6~ = лгЗ (1 — созО)/2п„бэ = 6з — — угЗ/2 и, з)пО, причем С~ направлен по местной вертикали, а Сэ и Сз лежат в плоскости горизонта. В этом случае полуоси корреляционного эллипсоида определяются особенно просто — они обратны 6,: й | г 1 пп = — и, з/З ' | — сова ' ~ ' Мпв' пм = од = у2/Зп,—. где Π— зенитный угол периферического НИСЗ, выражаемый через аналогичный геоцентрический угол ц, радиус орбиты р, и рая диус Земли ггэ.' 1К О = з)пЛ/(сов Л вЂ” )сэ /рс) . Полученный результат характеризует, очевидно, потенциальную точность навигационного определения. Сравнение критериев выбора рабочего созвездия по минимуму следа корреляционной матрицы и максимуму оп редел и т ел я.
Полной гочностной характеристикой выбранного созвездии служит корреляционный эллипсоид. Поэтому естественно рассмотреть трехмерное пространство, координаты которого будут соответствовать полуосям эллипсоида рассеяния. Постоянное значение кригернальиой функции задает в этом пространстве поверхность, на которой будут эквивалентными различные созвездия, определяемые однозначно раэмерамн полуосей соответствующих нм эллипсоидов.
Пусть Ло Лз, Лз — нормированные значения полуосей корреляционного эллипсаида, тогда критерий следа корреляционной матрицы о чзриал = =Л|+ Л|+ Лз э= 5з будет изображаться в этом пространстве в виде сферы радиусом 5. С другой стороны, критерий определителя матрицы системы нормальных уравнений или эквивалентный ему критерий модуля определителя системы условных уравнений можно представить в виде зг '=Л~Лзхз Для сопоставления этих критериев необходимо установить связь значений отвечающих им кригериальных функций иэ соображения, что оба критерия точно эквивалентны на биссектрисах координатных октантов. Рис. 25.2.
Сравнение результатов применения критериев следа корреляцноннон матрицы и определителя цля выбора рабочего созвездия Рнс 25.3. Отображение геоцеитрической картинной 2 плоскости на топоцеитрическую картинную плоскость: Ог 02 — местная вертикаль; АВС вЂ” геоцентрическая конфигурация, А'В'С' — топацеитрическая конфигурация Расхождение их в других точках пространства эллипсоидов (Хь Хт, Хз) иллюстрируется рис. 25.2, где показаны сечения первых критериальных поверхностей, отвечающих различным значениям В„и сечения отвечающих этим же значениям вторых критериальных поверхностей )', плоскостью Хз= =сопМ.
Рассмотрение этих зависимостей говорит о том, что для сильно вытянутых корреляционных эллнпсоидов (М »Хз, хз)М) кри. терий определителя может давать результаты, заметно отличающиеся от результатов по критерию 5. Следовательно, такой выбор приведет к заметному проигрышу в точности. Поэтому приближенная эквивалентность рассмотренных критериев имеет место при условии исключения сильно вытянутых корреляционных эллипсоидов, т. е. при выборе только хороших созвездий, что обычно и имеет место на практике. 2$.3. ПРИЕЛЗПКЕННЫЙ УЧЕТ ПАРАЛЛАКСА МИНИМАЛЬНОГО СОЗВЕЗДИЯ В общем случае выражения для градиентов результатов навигационных измерений сложно зависят от параметров, определяющих взаимное положение наблюдателя и НИСЗ.
Поэтому строгий и исчерпывающий анализ точностных характеристик обсервации доступен лишь при использовании численных методов. Однако можно получить простые приближенные зависимости, позволяющие качественно оценить точности обсервации в зависимости от наиболее существенных параметров.
Рассмотрим такую возможность, обратившись к простейшему способу аппроксимации градиентов результатов дальномерных измерений. Этот способ обладает тем удобным свойством, что наиболее точен тогда, когда наблюдаются наибольшие погрешности обсервации.
Подобное асимптотическое свойство предлагаемой аппроксимации позволяет использовать ее для оценки наиболее неблагоприятных случаев реализации точностных характеристик. Упрощение же, о котором говорится, касается приближенного учета влияния параллакса, обусловленного нецентральным положением наблюдателя, в результате чего конфигурация навигационного созвездия для П и из центра Земли будет выглядеть по-разному.
Введем понятие картинной плоскости, понимая под ней касательную плоскость к единичной сфере в точке, отвечающей местной вертикали объекта (полюс проекции). Очевидно, что при таком определении будет две картинные плоскости — геоцентрическая и топоцентрическая. Точная связь геоцентрического н топоцентрического зенитных углов, показанных на рис. 25.1, дается зависимостью !Ее=а!пх/(созд — Вз /р,).
358 Отображение навигационной обстановки в стереографической проекции на обе эти полосы дает подобные картинки в достаточно малой окрестности полюса проекции, Соблюдение условия подобия этих картинок особенно важно для упрощенного описания навигационной обстановки, так как позволяет свести по крайней мере качественно анализ точности в некоторой окрестности рабочей области, использующей одну н ту же конфигурацию, к анализу одной конфигурации в геоцеитрической картинной плоскости. Упомянутое условие подобия имеет, очевидно, вид О йп (25.13) Выясним более подробно, чему эквивалентно преобразование навигационной обстановки при переходе от геоцентрической точки зрения к топоцентрической при соблюдении условия (25.!3).
Пусть на единичной геоцентрической сфере фиксироваНа точка, определяющая местную вертикаль, и некоторые три точки, достаточно к ней близкие. Строго говоря, речь идет об отображении некоторой окрестности полюса преобразования единичной геоцентрической сферы в единичную топоцентрическую сферу, Местная вертикаль играет роль полюса этого отображения. Заменим малые окрестности отображенных сфер соответствующими картинными плоскостями.
Далее для удобства сравнения изображения совместим обе картинные плоскости. Тогда нетрудно видеть, что аАВС и АА'В'С' (рис. 253) подобны. Коэффициент подобия й не зависит от положения и ориентации аАВС относительно полюса преобразования. Поэтому (ВАС= (В'А'С', т. е, отображение конформиое. Изменение положения полюса Сч относительно ААВС приводит к тому, что преобразованный аА'В'С' перемещается — транслируется, сохраняясь равным самому себе. Последнее, очевидно, означает неизменность точностных оценок, полученных по результатам измерений, выполняемых в соответствующих вершинах этого треугольника.
Границы справедливости изложенных соображений обусловлены пределами допустимости упрощенной аппроксимации преобразования. Допустимость аппроксимации Мпд= Х и созпх ! очевидна для достаточно малых значений Х. Основное ограничение обусловлено пределом допустимости линеаризации 1ЕО. Пусть О.„ — предельное значение. Тогда максимально допустимое смещение опорной точки от полюса будет ! а, й 'Тмг Отображение конфигурации НИСЗ на единичную сферу наблюдателя имеет смысл созвездия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
