Диссертация (1138585), страница 5
Текст из файла (страница 5)
первый множитель в правой части выражения (1.12) положителен,то неравенство (1.11) выполняется, когда > 0: = Φ( − )Φ() + Φ( − )() − ( − )Φ() > 0.30(1.13)Рассчитаем далее производную от выраженияиз (1.13):= ( − )Φ() + Φ( − )() + ()( − )++′ ()Φ( − ) − ′ ( − )Φ() − ( − )() == Φ( − )( () − ()) + Φ()( ( − ) + ( − )( − )) == Φ( − )()( − ) + Φ()( − ).(1.14)Доказательство построим следующим образом.
Покажем, чтотонно возрастает от0при → −∞допри→∞моно-и, таким образом, вы-полняется неравенство (1.13) и, следовательно, искомое неравенство (1.11).Выражениеведет себя по-разному в зависимости отсмотрены несколько интервалов:При некотором>0∫︁∞.Поэтому будут рас- ≪ 0; ∼ 0; ∈ (0, ); ∼ ; ≫ .справедливо следующее разложение:∫︁∞∫︁∞1 −2 /211 (︁ −2 /2 )︁√ () = = − √ =22⎞⎞⎛⎛⃒∞∞∞∫︁∫︁222⃒)︁(︁− /2 ⎠ − /2 ⎝ 1111− /2 ⃒−2 ⎠√=+== √ ⎝−−⃒2 ⃒2 − /2322(︂)︂(︂(︂ )︂)︂− 2 /211111√− 3 + ...
= ()− 3 +.(1.15) 52 Таким образом, при < 0,∫︁∞∫︁ Φ() =() =−∞из (1.15) получаем:∫︁∞() =−(︂11− 3 +() = ()|| ||(︂1||5)︂)︂.||(1.16)31Если же > 0,то из (1.15):∫︁∞∫︁ () = 1 −Φ() =−∞(︂11− 3 +() = 1 − ()|| ||(︂1||5)︂)︂.(1.17)Для доказательства неравенства (1.13), рассмотрим следующие случаи: ≪ 0; ∼ 0; ∈ (0, ); ∼ ; ≫ .Похожие рассуждения для доказательства подобных неравенств использованы, например, в работе (Zaitsev et al., 2013).1. Пусть ≪ 0.Докажем, что> 0. Тогда, если → −∞, и → 0, то график функциинаходится выше нуля приство (1.11):При <0 < 0,и, следовательно, выполняется неравен-6 0.для (1.14) достаточно:Φ( − )()( − ) + Φ()( − ) > 0,Φ()( − ) > Φ( − )()( − ),( − )Φ( − )|| <| − |.()Φ()(1.18)С учетом (1.16), неравенство (1.18) преобразовывается следующим образом:(︁1|− |(︁1|− |31|− |5( − )−+( − )(︁(︁ )︁)︁|| <11()() || − ||3 + ||15(︁)︁111|− | − |− |3 + |− |5||(︁ )︁<,111| − |− 3 +5||||32||)︁)︁| − |,1−1<1|− |21−Т.к.
> 0, < 0,получаем1−1|− |то>1−Теперь покажем, что1||2+(︁1|− |4+(︁1||4| − | > ||)︁)︁.и, следовательно,(1.19)1|− |<1|| . Далее,1|| и, в итоге, получаем неравенство (1.19).→0при → −∞.Из (1.13) получаем: Φ( − )Φ() + Φ( − )() − ( − )Φ() =(︂)︂)︂ (︂(︂11111−+− 3+= ()( − )35| − | | − || − ||| ||(︂ )︂(︂(︂)︂)︂1111++ ()( − )−+−||5| − | | − |3| − |5(︂(︂ )︂)︂111−()( − )=− 3 +|| ||||5(︂(︂(︂ )︂)︂)︂)︂ (︂ ()( − )1111=1−++1−+||| − || − |2| − |4||2||4(︂(︂)︂)︂11()( − )||1−++−||| − || − |2| − |4(︂(︂ )︂)︂11()( − )| − |1− 2 += ()( − ),(1.20)−||| − |||||4где(︂(︂)︂)︂ (︂(︂ )︂)︂1111−− = +| − || − |3||||3(︂(︂)︂)︂(︂(︂ )︂)︂1111+||−−|−|−=| − || − |3||||3(︂ )︂111=+−+=| − ||| | − | ||||3(︂ )︂ + || − | − |1=+.| − |||||3Т.к. − < 0, > 0,то| − | = || + .33(1.21)Поэтому выражение (1.21)переписывается следующим образом: + || − | − |+| − |||(︂1||3)︂ + || − − ||=+| − |||(︂1||3)︂(︂=1||3)︂.(1.22)Из (1.20)–(1.22) следует, что2.→0при → −∞.
∈ (0, ).При>0и − < 0из (1.14) получаем:Φ( − )()( − ) + Φ()( − ) > 0,Φ()( − ) < Φ( − )()( − ).Т.к. > 0и − < 0,(1.23)то левая часть неравенства положительная,правая — отрицательная, поэтому неравенство (1.23) выполняется.3. ≫ .При > 0, − > 0из (1.14) получаем:( − )Φ( − )|| >| − |,()Φ()(︁(︁)︁)︁|− |11(− ) − 1 − |− |2 + |− |4(︁(︁ )︁)︁1>||11() − 1 − ||2 + ||4При ≫ ,(1.24)очевидно, справедливо следующее преобразование:−(︁ )︁2exp − (−2 )(︁1|− |2(︁1|− |4)︁)︁− 1−+(︁(︁ )︁)︁1>,11− 1 − ||2 + ||42√1 exp(− )22(︂(︂)︂)︂(︁ )︁( − )2 21> 1−exp−+ (1),22√12Обамножителяменьшеединицы,34т.к.>0, − (1.25)>0,следовательно,(︁(− )22−22)︁<0иexp(︁(− )22−22)︁< 1.Таким образом, неравенство (1.25) выполняется.Теперь покажем, что выражение из (1.13) стремится к нулю при → ∞.Из (1.13) получаем: Φ( − )Φ() + Φ( − )() − ( − )Φ() =(︂(︂(︂)︂)︂)︂11= 1 − ( − )+×| − || − |3(︂ )︂)︂)︂(︂(︂11++× 1 − ()||||3(︂)︂)︂)︂(︂(︂11+−+() 1 − ( − )| − || − |3(︂(︂(︂ )︂)︂)︂11→∞−( − ) 1 − ()−−−→ > 0,+3||||т.к.
при(1.26) → ∞, () → 0.4. Пусть ∼ 0 − (1).Как известно, функция распределения стандартного нормального распределения выражается через функцию ошибок.Функция ошибок для любого вещественного представима в виде беско-нечного ряда:2 () = √(︂)︂35−++ ... ,32! · 5(1.27)тогда(︂(︂ )︂)︂(︂)︂11135Φ() =1 + √= +√−++ ... .222 · 3 16 · 2! · 522(1.28)В этом случае, члены ряда (1.28) будут убывать. Из (1.14), воспользовав-35шись разложением по Тейлору для экспоненты в(·),получаем:Φ( − )()( − ) + Φ()( − ) =(︂)︂(︂(︂)︂)︂31211= √ Φ( − ) 1 − + (4 ) ( − ) ++√ − + (5 )×2262211×( − ) = √ Φ( − )( − ) + ( − ) + (2 ) > 0.(1.29)22Если > 0,неравенство (1.29) выполняется. Если же, > 0,из (1.29)получаем:1( − )| + | > ||( − ),2(1.30)Таким образом, неравенство (1.13), и, следовательно, неравенство (1.11)доказано.
Раскладывая в ряд по Тейлору до более высокого порядка, получаем искомое утверждение для всехубывает ∈ (−∞, +∞).Поэтому, при росте , .С учетом (1.8) и теоремы 1 очевидно, что sign(︁ )︁= −sign( ).Далее рассмотрим модель эффективности по издержкам в транслогарифмической спецификации:∑︁1 ∑︁ ∑︁ln = 0 + ln + ln ln +′ + + ,2 =1 =1=1гдеiidiid()22 ∼ (0, ,), ∼ + (0, 2 ), ln ,= ′ факторы гетероскедастичности ошибокТакжеln 2 = ′ =∑︀ , ,()2ln ,= ′ ,(),(1.31)()—соответственно.22′ . = () = exp( ) = exp (∑︀ ).Техническая эффективность может быть определена по формуле (см.,36например Kumbhakar, Lovell, 2000). = (exp(−)|).(1.32)Теорема 2.
Если ∼ + (0, 2 ), то с ростом техническая эффективность (1.32) снижается: 6 0.Доказательство. Дисперсия 2 () = ( ′ ) = exp(1.33)′2 (︀ 1)︀; 2 ()= 2 ();= 21 2 ().Выражение для технической эффективности (1.32) переписывается следующим образом: = (exp(−)|) = 2 exp(︀ 1)︀2()(1 − Φ(())),2гдеΦ()— функ-ция распределения стандартного нормального распределения. ТогдаΦ′ ()() =— плотность стандартного нормального распределения. Предельныйэффект технической эффективности поравен:(︂(︂)︂)︂ 1 2=(exp(−)|) = 2exp () (1 − Φ(())) =2(︂(︂)︂)︂)︂ (︂1 2 1 21 2= 2 exp (1 − Φ()) + 2 exp−() =22 2(︂)︂(︂)︂ (︂)︂1 2 1 21 21= 2 exp (1 − Φ()) + 2 exp−() =2222(︂)︂(︂)︂(︁)︁(︀)︀(︀)︀1 2= exp () () () 1 − Φ () − () .(1.34)2Предельный эффект технической эффективности повычисляется ана-логично и равен:(︂)︂(︂)︂(︁(︀)︀)︁ (︀)︀ 1 2= 2 exp () () 1 − Φ () − () .237(1.35)Далее покажем, что(1 − Φ()) < 0при ((1 > 0:− Φ()) − ()) =1 − Φ() − () − ′ () = 1 − Φ() > 0.Т.к.() + ′ () = 0,11 − Φ() = √2∫︁∞и−2/2∫︁∞ <−2−/2 =⃒∞ )︃⃒2 2−/2 ⃒= − /2 ,⃒⃒(︃то, очевидно,(︂)︂2 −/2− () = 0.lim ((1 − Φ()) − ()) = lim · →∞→∞Следовательно,(1 − Φ()) < 0и 6 0.Что и требовалось доказать.Из теоремы 2 также очевидно (см.
1.34), что знак предельного эффекта совпадает со знаком :sign(︁ )︁= −sign( ).Теорема 2, очевидно, может быть обобщена для моделей с производственной функцией, а теорема 1 для моделей с функцией затрат. Формула (1.34),очевидно, справедлива для моделей с производственной функцией.1.3Метод мэтчингаОднимизспособовоценкиэффектавоздействия(treatment)напеременную-результат (outcome) является метод мэтчинга (англ. matching).В этом методе оценивается эффект воздействия (бинарной) переменной ( = 1, ..., ,где— размер выборки) на переменную-результат ,прификсированных значениях других наблюдаемых переменных. Для примера,далее предполагается несколько периодов наблюденияполагается, что = 1, ..., ,а такжене зависит от времени.В одну группу включаются все наблюдения с = 1(treatment group —экспериментальная группа), в другую — все наблюдения с = 0(controlgroup — контрольная группа).
Следуя (Imbens, 2015), можно представить38интересующую нас переменную-результат -го наблюдения, , следующимобразом:= ( ) =⎧⎪⎨ (0),если⎪⎩ (1),если = 0,(1.36) = 1.При сравнении значений переменной-результата для наблюдений с похожими значениями контрольных переменныхв этих двух группах, можнооценить средний эффект воздействия (англ.
average treatment effect, ATE)переменнойна переменнуюкак разницу между средними значениямипо двум подгруппам: в первой группе = 0и во второй группе = 1.по формуле (1.37). = [ (1)| , = 1] −−[ (0)| , = 0].(1.37)Аналогичный подход расчета среднего эффекта, в частности, используется в работе (Yang et al., 2013) для сравнения технической эффективностипредприятий-инвесторов с не инвестирующими предприятиями.1.3.1Мэтчинг с использованием меры склонностиИзвестно (Abadie, Imbens, 2006; Imbens, 2015), что при использованиипростойсоседей»мэтчинг-оценки(nearestконтрольныхneighborsпеременныхсостоятельной.Чемвоздействияmatching)болеебольшедвух,числопометодупри«ближайшихколичествеоценкавлиянияпараметров,понепрерывныхперестаеткоторымбытьнеобходимоподобрать два похожих друг на друга предприятия из группы 0 и группы 1,темменеепохожикак«проклятиеонибудут.размерности»Данныйнедостаток(dimensionality39curse).мэтчингаизвестенОдинметодов,изпозволяющих преодолеть эту проблему основан на получении оценок сиспользованиеммерысклонности(propensityscorematching).Данныйметод оценивает функцию меры склонности для бинарного индикаторавоздействияисравниваетнаблюдениянаблюдениями из второй группы (из= 1)первойгруппы(= 0)спо прогнозным значениям даннойфункции, в которой уже учтены все возможные контрольные переменные.Мэтчинг по мере склонности состоит в следующем: на первом этапе рассчитываются веса(inverse probability weights), обратно пропорциональ-ные оценкам меры склонности^(Hirano et al., 2003; Lunceford, Davidian,2004; Austin, 2011): =⎧⎪⎨1/^ ,если⎪⎩1/(1 − ^ ),если = 1,(1.38) = 0.Оценки меры склонности могут быть получены как прогнозные значениявероятности из модели бинарного выбора:^^ = ( = 1| ) = Λ(′ ),где— вектор контрольных переменных,Λ(·)(1.39)— логистическая функцияраспределения.Взвешивание с весами (1.38) проводит к «выравниванию» двух групп наблюдений по распределению меры склонности.Далее производится оценка эффекта воздействия (ATE) с использованием меры склонности по следующему алгоритму (см., например, Ениколопов, 2009):1.Оценивается регрессиявыборке = 1, = 0 + ′ + с весами (1.38) по под-и по всем наблюдениям рассчитывается прогноз40(1)̂︀ =(1)^0 + ′ ^(1) .2.Оценивается регрессиявыборке = 0, = 0 + ′ + с весами (1.38) по под-и по всем наблюдениям рассчитывается прогноз(0)̂︀ =(0)^0 + ′ ^(0) .(1)(0)Δ = − 3.Вычисляется разность4.Оценка среднего эффекта воздействия (ATE) рассчитывается каксреднее значение от1.3.2Δ(индивидуальный эффект).по всем наблюдениям.Мэтчинг и блокирование по мере склонностиПомимо стандартного мэтчинга по мере склонности, в данной работе также используется метод оценки эффекта воздействия (ATE) с учетом блокирования по мере склонности (Ениколопов, 2009; Imbens, 2015; Imbens, Rubin,2015).
Согласно (Imbens, 2015; Imbens, Rubin, 2015), данный метод являетсяболее гибким по сравнению с методом мэтчинга по мере склонности, с егопомощью можно учесть неоднородность эффектов воздействия, в отличие отстандартного подхода, в котором оценивается единая регрессионная модельдля наблюдений с = 1и c = 0 .Согласно (King, Nielsen, 2016) методмэтчинга по мере склонности может быть чувствителен к выбору спецификации уравнения меры склонности, в то время как метод блокирования помере склонности менее чувствителен к выбору этой спецификации.Интервал (0,1) возможных значений меры склонностиинтервалов (блоков). Внутри каждого блокаэффект воздействия^разбивается на ( = 1, ..., ) оценивается^ . Затем вычисляется средний эффект воздействия поформуле:^ =∑︁^=1гдеке— общее количество наблюдений,.41,(1.40)— количество наблюдений в бло-Стандартное отклонение оценки^рассчитывается по формуле:⎯⎸⎸∑︁ (︂ )︂2..(^ ) = ⎷2,=1где— оценка стандартного отклонения оценки коэффициента в регрессиипо блоку1.4(1.41).Отрасли обрабатывающей промышленностиВ работе оценка моделей производится на данных обрабатывающейпромышленности и, в частности, пищевой промышленности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
