Диссертация (1138585), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Случайные величинынезависимы.ВподходеSFAобычнопредполагается,1exp − отклонениеошибкиэкспоненциальное (плотность распределенияматематическоепараметруожиданиеи = exp(′ Θ) > 0)распределение, гденеэффективностистандартное ( ) =или полунормальное (что(︁)︁,иимеет > 0,равны∼ + (0, exp(′ Θ)))— детерминанты дисперсионной функции для ошибкив предположении наличия гетероскедастичности,Θ—параметры.Модель SFA для панельных данных была предложена в работах (Aigneret al., 1977; Cornwell et al., 1990; Kumbhakar, 1990), и имеет схожий вид:ln = 0 + (ln 1, , ..., ln , ; ) + − ,где— выпуск,,— факторы производства,предприятий в выборке, = 1, ..., , (1.2) = 1, ..., , = 1, ..., , — число периодов времени.
В пред-ставленной спецификации модель (1.2) носит название time-variant (TVD).В предположении постоянства во времени технической эффективности (приэтом параметр0и ошибка неэффективности не зависят от ), модель (1.2)называется time-invariant (TI).Для случая меняющейся во времени технической эффективности (TVD)предполагается, чтоиiidiid = exp(−( − )) , ∼ + (, 2 ), ∼ (0, 2 ),распределены независимо друг от друга и от регрессоров модели.В работе (Heshmati et al., 1995) были впервые предложены модифицированные модели со случайными и фиксированными индивидуальными эффектами (true random effects и true fixed effects соответственно), позволяющие разделить неоднородность и неэффективность на основе использования21двухшаговой процедуры оценивания.
Оригинальные названия моделей truerandom effects и true fixed effects были предложены в работе (Greene, 2005), вней модели оценивались методом максимального правдоподобия в один шаг.Модель true fixed effects имеет вид:ln = + ln + − ,где ошибкиираспределены как и ранее: случайная ошибкает нормальное распределение, араспределение,ятия(1.3)име-— полунормальное или экспоненциальное— индивидуальный фиксированный эффект для предпри-.Модель true random effects имеет вид:ln = 0 + ln + + − ,(1.4)в ней добавлен случайный индивидуальный эффект предприятия (0, 2 ),распределенный независимо отиiid, ∼ .На первом шаге в исходной работе (Heshmati et al., 1995) оцениваетсямодель со случайным или фиксированным индивидуальным эффектом (1.2).На втором шаге для остатков модели оценивается модель стохастическойпроизводственнойкросс-секционныхграницыданныхс(1.1).использованиемПозднеевработеинструментария(Greene,2005)длябылопредложено оценивать модели true random/fixed effects с помощью методамаксимального правдоподобия за один шаг.Позднее в работе (Kumbhakar et al., 2014) была приведена модель, учитывающая не только неоднородность предприятий (разделение индивидуального эффекта и неэффективности), но и наличие разных типов неэффектив-22ности (постоянной и меняющейся во времени):ln = 0 + (ln 1, , ..., ln , ; ) + ( − ) + ( − ),(1.5) — случайный эффект предприятия, включающий ненаблюдаемые неза-гдевисимые от времени факторы производства;— случайная ошибка (стоха-стическая составляющая модели); случайная величина > 0отвечает запостоянную во времени техническую неэффективность; случайная величина > 0является неэффективностью, зависящей от времени; исуммарная техническая неэффективностьдения-го + —предприятия в период наблю-.Модель (1.5) оценивается в три шага.
На первом шаге, как и для моделей true fixed/random effects, используется стандартная модель со случайным эффектом (1.2) для получения оценок параметров и остатков модели. Навтором шаге оценивается ошибка неэффективности ,при известной оцен-ке которой остаточная техническая эффективность может быть записана как = exp(−^ ). На последнем, третьем шаге оценивается ^ , и по ее оценкевводится постоянная техническая эффективность = exp(−^ ).Общаятехническая эффективность получается как произведение постоянной и остаточной технической эффективности:1.2 = · = exp(−^ − ^ ).Техническая эффективность и ее зависимость от дисперсииошибки неэффективностиВ данном разделе демонстрируется понятиетехнической эффективно-сти на примере спецификации (1.1):ln = 0 + (ln 1 , ..., ln ; ) + − = 0 +∑︁23 ln + − ,когдаiidiid ∼ (0, 2 ), ∼ , = − (случай, когдаимеетполунормальное распределение, будет рассмотрен ниже).Ниже, в теоремах 1, 2 будет получено выражение для предельного эффекта технической эффективности по дисперсии ошибки неэффективности приразных предположениях о распределении ошибки неэффективности.
Такжебудет доказано, что техническая эффективность убывает при возрастаниидисперсии ошибки неэффективности.При наличии гетероскедастичности ошибки неэффективности, важно понимать, какой предельный эффект на техническую эффективность обеспечивают факторы гетероскедастичности. В работе (Ray et al., 2015) рассчитано значение предельного эффекта ошибки неэффективности по факторамгетероскедастичности и показано, что знак коэффициента при факторе гетероскедастичности совпадает со знаком предельного эффекта ошибки неэффективности. В то же время, формула предельного эффекта именно технической эффективности по дисперсии ошибки неэффективности и факторам гетероскедастичности, насколько известно, в литературе ранее не выводились.Отрицательное значение для предельного эффекта технической эффективности по дисперсии ошибки неэффективности кажется вполне естественным.Полученный результат позволяет определить знак зависимости техническойэффективности от дисперсии ошибки неэффективности и, следовательно, отфакторов гетероскедастичности, оказывающих влияние на ошибку неэффективности.
Однако, в литературе не было доказательства данного утверждения.В данном разделе восполнен пробел в литературе и приведено доказательство теорем об убывании технической эффективности при возрастаниидисперсии ошибки неэффективности.Выражение для технической эффективности может быть получено сле-24дующим образом (см., например, Kumbhakar, Lovell, 2000). Вначале, рассматривается плотность совместного распределения ошибки неэффективностиобщей ошибки: (, ) = u ()v ( + ) =1√12 (︁exp − −определяется плотность распределения общей ошибки∫︁∞(+)22и)︁2, далее:∫︁∞)︂(︂( + )211 () = (, ) = √ =exp − −222 00(︃)︃2∞∫︁2 + 2 + 2 + 211=√exp − =222 0⎛)︁)︁2)︁ ⎞(︁(︁(︁22 2∞∫︁+ 2 − + ⎟11⎜ + + =√exp ⎝−⎠ =222 0⎛22 +11exp ⎝ 2=√22 42121exp+=√ 222 (︂⎞∫︁∞⎠0(︁⎜ + +exp ⎝−22∞)︂ ∫︁⎛ (︁0⎛ (︁⎜ + +exp ⎝−22⎛ (︁)︂ ∫︁∞(︁(︁2)︁)︁2 ⎞⎟⎠ =22)︁)︁2 ⎞⎟⎠ =)︁)︁2 ⎞1 1⎜ + +⎟√exp ⎝−⎠ =222 0⃒⃒⃒⃒(︂)︂22⃒ ∼ (, ) ⃒1⃒ ===exp+ 2 ( > 0) == ⃒⃒2⃒ 2⃒ = − − , = ⃒(︂)︂(︂)︂2121exp+(1 − ( < 0)) =exp+×== 22 22)︂)︂(︂)︂ (︂(︂)︂)︂(︂(︂12 − 0−× 1−<=exp+1−Φ+= 22 (︂)︂ (︂)︂12=exp+Φ − −, 22 21=exp+ 22(︂гдеΦ(·)— функция распределения стандартного нормального распределе-25ния.Далее, получаем для > 0:(︁1√12 − (+)222)︁exp− (, ))︁ (︁(︁)︁ =u| (, ) ==21 () exp + 22 Φ − − (︁)︁2(︂)︂exp − − 221 1( + )2(︁)︁ √=exp − −.222Φ − −Значение технической эффективности определяется из формулы: () = (− |) =∫︁∞− u| (, ) =0(︁222)︁∫︁∞(︂)︂exp − −( + )21 1−(︁)︁ √ exp − − ==222 Φ − − 0(︁)︁2(︂)︂∫︁∞exp − − 2211( + )2(︁)︁ √=exp − −− =222 Φ − − 0)︁(︁2)︃(︃∫︁∞22222exp − − 22 + 2 + + + 2 1 1(︁)︁ √exp − ==222 Φ − − 0(︁)︁2(︃ (︃(︂(︂)︂)︂2∫︁∞exp − − 22211(︁)︁ √=exp − + + 2 + + 2 −2 Φ − − 0)︃(︂)︂ )︃2 2 ⧸︁22 =− + 2 + (︃)︃224(︁)︁22 4 2 +2 +2 + + 22exp − − 2exp22 2=Φ(︁− 26−)︁×⎛ (︁∫︁∞(︁2)︁)︁2 ⎞21 1⎜ + + +⎟exp ⎝−×√⎠ =222 0(︁)︁2222exp − − 22 + + + + 2 + 22)︁(︁=×Φ − − ⎛ (︁(︁)︁)︁2 ⎞2∞2∫︁1 1⎜ + + + ⎟× √exp ⎝−⎠ =222 0(︁)︁⃒⃒22⃒⃒2exp + + 2⃒⃒ ∼ (, )⃒ ==(︁)︁(︁)︁ ( > 0) == ⃒⃒=2⃒2⃒ = − + + , = ⃒Φ − − 22(︂(︂)︂)︂ + + 2−)︁ 1 − Φ=== (︁Φ − − (︃(︃22 )︃)︃2 + + 2 + 2 + )︁ 1 − Φ== (︁Φ − − (︁)︁⃒22 (︂⃒)︂)︂(︂exp + + 2⃒* = − −(︁)︁+ +== ⃒⃒=1−Φ⃒ * = Φ − − )︁(︁)︂ 1 − Φ − *(︂**1(︁)︁ .== exp −* + *2*21−Φ −⃒2 ⃒⃒ ⃒⃒ ==⃒*Итого, техническая эффективность равняется:(︁exp + =222)︁(︁+Φ(︁Φ − −27− )︁−− )︁.(1.6)1.2.1Предельный эффект технической эффективности по дисперсии ошибки неэффективностиРассчитаемпредельныйэффектдисперсии ошибки неэффективноститехнической ,эффективностипо .равный первой производнойИз (1.6) получаем:(︁222)︁(︁)︁− Φ− − 2 exp + + )︁(︁=− 2·+Φ − − (︁)︁ (︁)︁22 exp + + 2 − − − (︁)︁+ 2·+Φ − − )︁(︁)︁ (︁22)︂(︂ exp + + 2 Φ − − − (︁)︁=· − −− 2·2Φ − − (︁)︁ (︃22)︂ (︂)︂(︂ exp + + 2)︁ · − Φ − −(︁= 2·− Φ − −+2Φ − − (︂)︂ (︂)︂+ − −− Φ − −− (︂)︂ (︂)︂)︃−Φ − −− − −.(1.7) Впредположениигетероскедастичности2 = 2 () = exp(′ ) = exp (∑︀ ), = expошибки(︀ 1 ∑︀2)︀, , гдедисперсия— факторыгетероскедастичности.Расчет предельного эффекта технической эффективности по фактору гетероскедастичностис учетом (1.7) производится следующим образом: 1= =· · .
228(1.8)Для упрощения выражения (1.7) произведем замену = − − , фор-мула (1.6) преобразовывается следующим образом:(︁exp − + =22)︁Φ( − ).Φ()(1.9)На рисунке 1, в качестве примера, представлена зависимость техническойэффективностиных значенияхот ошибки ,рассчитанная по формуле (1.6) при раз-и фиксированном значении = 0.1.Из графика видно,что техническая эффективность монотонно убывает при возрастании ошибки неэффективностизначенийи .Докажем это утверждение в теоремах 1-2 для всех.TE(σu , σv , ε = 0. 1)1.00.90.80.70.60.50.40.301σv = 0.
252σu3σv = 0. 5Ðèñ. 1. Зависимость294σv = 1от5σv = 21.2.2Теоремы о знаке предельного эффекта технической эффективности по дисперсии ошибки неэффективностиiidТеорема 1. Если ∼ , то с ростом техническая эффективность снижается: 60(1.10)Доказательство. При возрастании возрастает и . Таким образом, необходимо показать, что выполняется следующее неравенство: 6 0.(1.11)Вначале по аналогии с (1.7) рассчитаем первую производную от технической эффективности по.Из (1.9) получаем:(︂)︂(︂)︂ 2 Φ( − )2 ( − )= − exp − ++ exp − +−2Φ()2Φ()(︁)︁2)︂(︂exp − + 22 Φ( − )() =(− Φ( − )Φ()+− exp − +2Φ2 ()Φ2 ()(︁)︁2exp − + 2+( − )Φ() − Φ( − )()) =· (−),(1.12)Φ2 ()здесьΦ(·), как уже упоминалось ранее, — функция распределения стандарт-ного нормального распределения, а(·)— плотность стандартного нормаль-ного распределения.Т.к.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
