Автореферат (1138267), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Предполагается, чтоинвестору известна информация о модели ценообразованиядоходностей финансовых активов – векторная авторегрессионнаямодель, и модель матриц ковариаций случайных составляющих –многомерная модель волатильности случайных составляющих.Программное управление инвестиционным портфелем –управление, при котором инвестор в течение инвестиционного17горизонта не получает новую информацию о доходностях активов итекущей доходности портфеля.

Программное управление будетзаключаться в определении в момент времени t0 стратегиираспределения средств портфеля по его активам на начало каждогомомента времени t∈{t0, t1,…, tT-1} в течение заданного количествашагов Т. В начале каждого из Т периодов инвестор будетперераспределять средства портфеля среди его активов в соответствиисо стратегией, выработанной в начальный момент времени t0.Для решения задачи необходимо задать: ожидаемую целевуюдоходность портфеля M, которую необходимо достичь натерминальном шаге; величину Т – количество шаго в за котороепортфель должен достичь целевую доходность - инвестиционныйгоризонт портфеля. Также необходимо задать или определить наборыпрогнозов векторов доходностей активов портфеля и прогнозовматриц ковариаций случайных составляющих доходностей длякаждого из шагов в течение инвестиционного горизонта.Постановка многошаговой задачи управления инвестиционнымипортфелями требует использования логарифмированных доходностейактивов, так как это позволит задать уравнение динамики доходностипортфеля в виде аддитивного функционала.

Пусть rt ∈ R N ×1 случайный вектор логарифмированных доходностей активов запериод времени ( t , t + 1] , динамика доходностей портфеля за n шаговможет быть описана следующим уравнением =Rn Rn −1 + ωn′ −1rn .Как и в предыдущей главе, ценообразование случайного векторадоходностей rt ∈ R N ×1 описывается VAR(k) моделью, при этом будемрассматривать случай при наличии одновременных корреляций игетероскедастичности в остатках, =∑t (σ ij ,t ) ∈ R N × N — матрицаодновременной ковариации случайных составляющих,должна быть положительно определенной, σ ij ,t = E ( ε i ,t ε j ,t ) .котораяДля построения портфелей понадобятся прогнозы для всегоинвестиционного горизонта портфеля. Условное математическоеожидание ошибки прогноза доходности на l шагов вперед и ееусловная матрица ковариации относительно информации I t0 равнысоответственно:()()()ˆE t0 et0 ( l ) = 0, Vart0 et0 ( l ) = Vart0 ε t0 + l = ∑t0 + l , t0 ,ˆгде ∑t0 + l , t0- прогноз матрицы ковариации18случайныхсоставляющих на l шагов вперед, условная матрица ковариаций.Предположим, что инвестор находится в момент времени t0 иобладает информацией I t0 .

Доходность портфеля за t шаговотносительноинформацииI t0 ,ожидание E t0 ( Rt ) = Rt ,t0 .естьусловноематематическоеОжидаемая целевая доходность портфеля на терминальном шаге Т:tt′E ( Rt | =EI t ) E t ( R=ωrRωt′rˆt=M.==∑+1,tt )t t t +1 T ,t∑=t tt t=Условная дисперсия доходности портфеля:T −1T00TT −1000()( )D RtT | I t0 =Dt0 RtT(00( ))=E t0  RtT − Et0 RtT2=E t0 tT −1 ∑ ωt′ rt +1 − rˆt +1,t0 t =t0()2.Так как et - вектор ошибок прогноза доходности активов, причем:ˆ ,ε t ,t0 0 , Vart0 ( ε t ) = E t0 ε t ε t′ = E ε t ,t0 ε t′,t0 = ∑E=E=t , t0t0 ( ε t )(( )то условная дисперсияпредставлена как:( )Dt0 RtT tT −1= E t0  ∑ ωt′ε t +1,t0=t t02доходности)()портфеляможетбытьtT −1 tT −1 tT −1 = ∑ ωt′ ∑t ,t0 ωt + ∑ ∑ cov ωi′ε i +1,t0 , ω ′j ε j +1,t0 . =t t0=i t0=j t0j ≠i()В случае наличия автокорреляции ошибок доходностейпортфеля, постановка задачи с ограничением на общую дисперсиюможет принести большую ожидаемую доходность при определенномуровне риска, однако представление дисперсии в данном виде небудет являться аддитивной функцией, а, следовательно, методыдинамического программирования не смогут быть примененынапрямую для определения оптимальной стратегии управленияпортфелем.В работе рассмотрена многошаговая задача управления портфелемпутем минимизации дисперсии его терминальной доходности Dt ( Rt )0( )при ограничении на ожидаемую доходность портфеля E t0 RtTTприусловии отсутствия автокорреляции ошибок доходностей портфеля,что позволит задать целевую функцию в виде аддитивногофункционала и в результате определить оптимальное управлениепортфелем в явном виде.Задача динамического программирования, в которой требуется19найти{последовательность}Ω* =ωt*0 , , ωt*T −1 ,былапоставленаследующим образом:целевая функция, подлежащая минимизации( ) ∑ (ω ′ ( εJ DЕ==t0 RtTtT −1t = t0tt0)ε ′ ) ωt →t +1 t +1min,(1){ωt0 ,,ωtT −1 }значение функции от фазовых координат на терминальном шагеE t ( Rt ) = M ,0Tограничение вида равенства на управляющие переменныеωt′e − 1= 0, ∀t ∈ t0 , tT −1 ,уравнение динамикиRt +=Rt + ωt′rt +1 ,1начальное состояниеRt0 = 0 .(2)(3)(4)(5)В связи с тем, что доходности и волатильности активовподчиняются определенным процессам ценообразования, то задача (1)– (5) относится к типу задач оптимизации дискретных многошаговыхсистем в условиях неопределенности при заданных значенияхфункций от фазовых координат на терминальном шаге и ограниченийв виде равенств на управляющие переменные.

В силу того, чтоˆусловные матрицы ковариаций ошибок E ( ε ε ′ ) = ∑являютсяt0t +1 t +1t , t0невырожденными и положительно определенными, целевая функция(1) является выпуклой. Решение задачи было найдено с помощьюпринципа максимума.Программное управление ωt* для каждого шага t, которое естьоптимальное распределение средств портфеля на каждом шаге втечение инвестиционного горизонта Т:гдеat = M − AtTωt* = BtT( rˆt +1,t0e,e)2ˆ −1∑ˆ −1∑t +1,t0, bt = −1M − AtT  ˆ −1ˆˆat  ∑t +1,t0 e ,∑t +1,t0 rt +1,t0 +  ct −BtTrˆt +1,t02ˆ −1∑t +1,t0e2ˆ −1∑t +1,t0et +1,t0202ˆ −1∑(− rˆt +1,t0 , et +1,t0)(6)2ˆ −1∑t +1,t0, ct =1e2ˆ −1∑t +1,t0,() rˆ , ej +1,t0ˆ −1∑j +1,t0==At +1 ∑( a j ) ∑ 2e ∑ˆ −1=j t0=j t0j +1,t0tt rˆj +1,t0==Bt +1 ∑( b j ) ∑ =j t0=j t0tttt =, Ct +1 ∑( c j ) ∑  21= =j t0=j t0  e ∑ˆ −j+11,t02eˆ −1∑j +1,t02ˆ −1∑j +1,t0e(− rˆj +1,t0 , e)2ˆ −1∑j +1,t02ˆ −1∑j +1,t0.Оптимальныепортфели(6)такжеявляются«квазиоптимальными», так как их структура зависит от информации I t0 .Ожидаемая доходность квази-оптимального портфеля на шаге t:222 rˆ rˆ , ee ∑ˆ− ( rˆt +1,t , e ) ˆ+tt1,ˆMA−∑ ( t +1,t )∑ˆ∑t*′=E t ωt rt +1 +22 Bte ∑ˆe ∑ˆ M − AtT =  bt + at . BtTРеальная динамика доходности квази-оптимального портфеля:0)(0T−1t +1,t0−1t +1,t00−1t +1,t0−1t +1,t0T=Rn*()−1t +1,t00−1t +1,t0n −1ω ′r∑=t = t0*t t +1()2 M − AtT  n −1  rˆt +1,t0 , rt +1 ∑ˆ t−+11,t0 e ∑ˆ t−+11,t0 − rˆt +1,t0 , e ∑ˆ t−+11,t0 ( rt +1 , e )∑ˆ t−+11,t0  n −1 ( rt +1 , e )∑ˆ t−+11,t0∑+∑22 Btt t=e ∑ˆ −1T 0 t t0 e ∑ˆ t−+11,t0t +1,t0.Ожидаемая доходность квази-оптимального портфеля за n шагов:*=EЕt0 ( Rn ) M − AtT BtT n −1 *′=t0  ∑ ωt rt +1  t = t0 Bn + An .Условная дисперсия доходности квази-оптимального портфеля нашаге t:*ˆω ′∑t +1,t0 ωt*t M − AtT BtT()2222   rˆt +1,t0 ∑ˆ t−+11,t0 e ∑ˆ t−+11,t0 − rˆt +1,t0 , e ∑ˆ t−+11,t0 1= +22ee1−ˆˆ −1 ∑t +1,t0∑t +1,t0 M − AtT=  BtT2 bt + ctтогда условная дисперсия доходности квази-оптимального портфеляза T шагов – оптимальное значение (1):21( R =) ∑ ( M − AtTω= ∑    BtT)tT −1tT −1***t0tTtt +1, t0t=t t0=t t0J= D*ω ′ ∑ˆ2 bt + ct=(M − A )tTBtT2+ CtT .Подход решения задачи (1) - (5) с ограничением вида неравенствана функцию от фазовых координат приведен во второй главе.В данном разделе управление многошаговым портфелем зависелотолько от информации, доступной в момент времени t0, а управлениеинвестиционным портфелем было программным.

В то же время,кажется целесообразным пересматривать стратегию распределениясредств портфеля по его активам в течение инвестиционногогоризонта T на каждом шаге после получении новой информации.Это, с одной стороны, позволит на каждом шаге с учетом фактическиполученной за предыдущие шаги доходности уточнять целевуюдоходность, которую необходимо будет получить за оставшиеся шаги,а, с другой стороны, позволит улучшить качество прогнозовдоходностей и прогнозов матриц ковариаций случайныхсоставляющих.

Такой подход потребует от управляющего на каждомшагевтечениеинвестиционногогоризонтапостроенияинвестиционной стратегии на оставшуюся часть инвестиционногогоризонта для чего дополнительно потребуется: построение наборовпрогнозов доходностей активов и прогнозов матриц ковариацийслучайных составляющих для оставшейся части инвестиционногогоризонта с учетом всей известной информации на моментформирования инвестиционного портфеля; корректировки целевойдоходности инвестирования, с учетом фактически полученнойдоходности в течение прошедшего инвестиционного горизонта.Таким образом, при указанном многошаговом подходе портфель иего характеристики рассчитываются не только на основе информациидоступной в начальный момент времени t0, но и на основеинформации получаемой в течение инвестиционного горизонта, ауправление, которое будет строится в соответствии с указаннойинформацией, будет называться управлением с обратной связьюинвестиционным портфелем.

С учетом этого задача (1) – (5) будетпоставлена в следующем виде:целевая функция, подлежащая минимизацииJ=∑ Е (ω ′ ( εtT −1)ε ′ ) ωt →min ,{ωt0 ,,ωtT −1 }значение функции от фазовых координат на терминальном шагеt = t0ttt +1 t +122(7)( )Е tT −1 RtT = M ,(8)ограничение вида равенства на управляющие переменныеωt′,τ e = 1, τ = t 0 , tT −1 , t = τ , tT −1 ,уравнение динамики(9)Rt +=Rt + ωt′,τ rt +1 ,1начальное состояние(10)Rt0 = 0 .(11)Управление с обратной связью инвестиционным портфелем длязадачи (7) – (1) на шаге t при наличии информации на момент времениτ будет иметь следующий вид: M − Rτ − AtT ,τωt*,τ =BtT ,τгдеat ,τ = −1 −1M − Rτ − AtT ,τˆˆˆrca+−∑t ,τ  ∑ t +1,τ e, t +1,τ t +1,τ  t ,τBtT ,τ(12)( rˆt +1,τe, e )∑ˆ −1t +1,τ2ˆ −1∑rˆt +1,τ, bt ,τ =2ˆ −1∑t +1,τe2ˆ −1∑t +1,τet +1,τ− ( rˆt +1,τ , e )∑ˆ −12t +1,τ2ˆ −1∑t +1,τ, ct ,τ =1e2ˆ −1∑t +1,τ,At +1,τ = ∑ ( a j ,τ ) , Bt +1,τ = ∑ ( b j ,τ ) , Ct +1,τ = ∑ ( c =, tT −1 , t τ , tT −1 .t0=j ,τ ) τtttj =τj =τj =τПри условии того, что поток информации непрерывен, тоуправление ωt,τ будет строиться при τ=t.В четвертой главе приводятся результаты численногомоделирования на основе реальных данных фондовых индексов ииндексов полной доходности облигаций.

Характеристики

Список файлов диссертации