Автореферат (1138267), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Риск портфелей,(())12построенных на основе прогнозов доходностей активов, связан сматрицей ковариаций ошибок прогнозной модели.Доходность портфеля в момент времени T+1 можно представитьследующим образом:P=(ωT ) Pˆ (ωT ) + ∆Pˆ (ωT ) .Так как ряды доходностей стационарны, E ( rˆT (1) ) = µ , томатематическое ожидание фактической доходности портфеля равносоответственно:E ( P (ωT =) ) E (ωT′ rT +1=) ωT′ E ( rˆT (1) + eT (1=) ) ωT′ µ.Структура дисперсии портфеля имеет следующий вид:D ( P (ωT ) ) = D (ωT′ rT +1 ) = ωT′ V ωT = ωT′ Var ( rT +1 − µ ) ωT == ωT′  Var ( rT +1 − rˆT (1) ) + Var ( rˆT (1) − µ ) +2Cov ( rT +1 − rˆT (1) , rˆT (1) − µ )  ωT= ωT′  Var ( eT (1) ) + Var ( rˆT (1) − µ ) + 2Cov ( eT (1) , rˆT (1) − µ )  ωT .()Так как Var ( eT (1) ) = ∑ , а Ε eT (1)′ ( rˆT (1) − µ ) =0 , тоD ( P (ωT ) ) = ωT′ ∑ ωT + ωT′ E  ( rˆT (1) − µ )′ ( rˆT (1) − µ )  ωT .Обозначим Var ( rˆT (1) − µ ) = V − ∑ = Ψ , тогда структуру дисперсиипортфеля можно представить как:ωT′ V ωT = ωT′ ∑ ωT + ωT′ ΨωT .TPVEPVFPVТаким образом, дисперсия доходности портфеля (total portfoliovariance, TPV) состоит из дисперсий двух портфелей, а именно издисперсии ошибки прогноза доходности портфеля (error portfoliovariance, EPV), которая образовалась вследствие наличия ошибокпрогнозов модели, и дисперсии портфеля, предсказанной модельюценообразования доходностей (forecast portfolio variance, FPV).Классическая портфельная теория Марковица вместо прогнозовдоходностиактивовиспользуетматематическиеожиданиядоходностей µ, вследствие чего дисперсия портфеля состоитполностью из дисперсии ошибки прогноза доходности, т.е.

TPV=EPV.В случае, когда при построении портфеля используются прогнозныезначения доходностей активов, т.е. информация IT, доступная намомент времени T, часть дисперсии портфеля будет описана самим13прогнозом (FPV), а оставшаяся часть дисперсии портфеля (EPV) будетобусловлена ошибкой модели.В связи с тем, что риск для инвестора заключается в отклонениипрогнозного значения доходности портфеля от его истинногозначения, то целесообразно оптимизировать портфель путемминимизации дисперсии ошибки прогноза его доходности прификсированном значении целевой прогнозной доходности портфеля,либо путем максимизации прогнозной доходности портфеля прификсированной дисперсии ошибки указанного прогноза.В дальнейшем оптимальный портфель, формирование которогоосуществляется с учетом прогнозных значений доходностей активов ииспользующих матрицу ковариации случайных составляющих воптимизационномфункционале,будемназывать«квазиоптимальным» портфелем.

Предположим, что инвестор находится вмомент времени T и обладает информацией IT. Входные данныезадачи: M – ожидаемая целевая доходность портфеля, rˆT (1) = ET ( rT +1 )- вектор прогнозов доходностей активов портфеля,ЕT ( ε T +1ε T′ +1 ) = ∑ - матрица ковариации случайных составляющих.Квази-оптимальный портфель будем искать путем решенияследующей оптимизационной задачи:целевая функция, подлежащая минимизацииEPV = D ∆Pˆ (ωT ) | IT = ωT′ ∑ ωT → min,()ωTзначение функции от фазовых координат на терминальном шаге′ˆ=Pˆ (ωT ) E ( P (ω=ω=M,T ) | IT )T rT (1)ограничение вида равенства на управляющие переменныеωT′ e − 1 =0,уравнение динамикиP (ωТ ) = ωТ′ rТ +1где=e (1,...,1) ∈ [ N ,1] - единичный вектор.

В данной постановкезадачи возможны отрицательные веса активов портфеля, т.е. инвесторможет осуществлять беспроцентные займы с целью покупки активов,а также инвестор может брать активы взаймы у брокеров.В целях нахождения паретто-оптимального решения (управления),оптимизационная задача ставится с нежестким ограничением нафункцию от фазовых координат на терминальном шаге вида «≥». В14таком случае оптимальное управление определяется путем решениядвух следующих задач: 1) определяется оптимальное управление врамках приведенной задачи и находится значение условной дисперсиидоходности портфеля на терминальном шаге при найденномуправлении – значение целевой функции при оптимальномуправлении; 2) ищется решение задачи без ограничения на целевуюдоходность портфеля, определяется значение целевой функции изначение функции от фазовых координат при найденном управлении.В дальнейшем сравниваются значения достигнутых доходностей иусловных дисперсий портфелей и если второй портфель обладаетменьшей дисперсией при большей доходности по сравнению спервым, то в качестве решения задачи выбирается оптимальноеуправление, найденное для второго портфеля, в противном случае –первым.Поскольку ковариационная матрица доходностей V и матрицаковариаций случайных составляющих Σ являются невырожденными иположительно определенными, то и их обратные матрицы V-1 иΣ-1 также будут невырожденными и положительно определенными,что позволяет задать в RN скалярные произведения ( a, b )V −1 = a 'V −1b и( a, b ) ∑ =−1( a, a )Va ' ∑ −1 b , а также нормы a V −1 =a−1∑ −1=( a, a ) ∑−1.Приведенная задача относится к классу задач квадратичногопрограммирования при случайных линейных ограничениях.

Решениезадачи ищется методом множителей Лагранжа. При обозначенииоптимальной структуры портфеля будем использовать верхнийиндекс «quasi» с целью указания на то, что портфель является квазиоптимальным, то есть условно оптимальным относительноимеющейся информации:ω= M∑quasiT−1( rˆ (1) , e )( rˆ (1) , e )T∑ −12T∑−1e− erˆ (1)2∑ −1 T2− rˆT (1)∑−1e2∑−1+∑−1( rˆ (1) , e )( rˆ (1) , e )TTrˆ (1) − rˆT (1)∑ −1 T2∑−1− rˆT (1)2∑−12∑ −1ee2∑.−1Структура (веса) квази-оптимального портфеля является условнойвеличиной, так как зависит от прогноза доходности активов rˆT (1) .Прогноз доходности для квази-оптимального портфеля равенˆ′quasi rˆT (1) M так как это было заложено в условиеP (ωTquasi ) ω==Tоптимизационной задачи.

Значение оптимизационной функциисоответствует условной дисперсии ошибки прогноза доходностиквази-оптимального портфеля и равно соответственно:15(Me − rˆT (1))D ∆Pˆ (ωT ) | IT =2EPVquasi =rˆT (1) ∑−1 e∑ −1− ( rˆT (1) , e )∑−122∑2−1.Фактическая доходность квази-оптимального портфеля в моментвремени T+1 равна:P (ωTquasi ) =ωT′quasi rT +1 =ωT′quasi ( rˆT (1) + eT (1) ) =+M ωT′quasi eT (1) .Так как ошибка прогноза eT (1) = ε T +1 не зависит от структурыи E ( ε T +1 ) = 0 , то математическое ожиданиеквази-оптимальногопортфеляравноquasi, а дисперсия доходности квазиE ( M ωT′ eT (1) ) ==+портфеля ωTquasiдоходности(М )E P (ωTquasi)оптимального портфеля будет равна:()()quasiD P (ω=(1) ) E ωT′quasi eT (1) eT ′ (1) ωTquasi ) D ωT′quasi ( rˆT (1) + eT=TилиN∑ Ωгде Ωij =cov (ωi , j =1quasii ,Tijquasi+ E ( ωiquasi,T ) ∗ E ( ω j ,T )  ∗ Σ ij, ω quasij ,T ) .

В матричном виде дисперсия выглядитследующим образом:′quasiquasi ′  D P (ωTquasivecEωEω=Ω+)  ( T ) ( T )   vec(Σ) ,где Ω — матрица ковариаций весов квази-оптимального портфеля,vec(⋅) - обозначает операцию векторизации.Дисперсияквази-оптимальногопортфелязависитотматематического ожидания вектора весов активов портфеля, матрицыковариации ошибок прогнозов доходностей активов и матрицыковариации весов актива портфеля. Использование прогнозныхзначений доходности активов вместо их математических ожиданийприводит к снижению условной дисперсии ошибки прогнозадоходности портфеля вследствие того, что ω ′ ∑ ω ≤ ω ′V ω , однаковедет к появлению математического ожидания и матрицы ковариациивектора весов активов в структуре дисперсии квази-оптимальногопортфеля.Ошибка прогноза доходности квази-оптимального портфеля равна()()16ωT′quasi eT (1) .

Поскольку∆Pˆ (ωTquasi ) =структураквази-оптимальногопортфеля и ошибка прогноза доходности активов являютсянезависимыми случайными величинами, то математическое ожиданиеошибки прогноза доходности оптимального портфеля равноωTquasi ) ) E (ωT′quasi ) E=E ( ∆Pˆ (=( eT (1) ) 0 , а дисперсия ошибки оптимального()()портфеля равна D ∆Pˆ (ωTquasi ) | IT =D P (ωTquasi ) | IT . Таким образом,дисперсия ошибки прогноза доходности квази-оптимальногопортфеля равна дисперсии доходности портфеля.В работе было доказано, что математическое ожидание отусловной дисперсии ошибки прогноза доходности квазиоптимального портфеля не превосходят дисперсию доходностипортфеля Марковица при любых значениях целевой доходностипортфеля M.В третьей главе рассматривается управление многошаговымиинвестиционными портфелями на основе прогнозов доходностейактивов, реализованных на основе модели векторной авторегрессии, ипрогнозов матриц ковариаций случайных составляющих, построенныхна основе многомерных моделей волатильности.Необходимостьиспользованиямногомерныхмоделейволатильности для описания поведения матриц ковариаций случайныхсоставляющих обусловлена тем, что многим финансовым временнымрядам свойственно наличие гетероскедастичности в случайныхсоставляющих.

В эмпирическом исследовании для этих целейиспользовалисьтакиемногомерныхмоделиусловнойгетероскедастичности, как BEKK, CCC и DCC модели.В зависимости от того, известна ли инвестору информация,поступающая в течение инвестиционного горизонта, или нет, втретьей главе будет рассмотрено построение программногоуправления и управления с обратной связью многошаговымиинвестиционными портфелями.Независимо от типа управления задача заключается в достижениичерез заданное количество шагов целевой доходности портфеля приминимальном риске достижения указанной цели.

Характеристики

Список файлов диссертации