Диссертация (1137372)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

На правах рукописиУДК 512.813.3, 512.722, 514.763.44Солдатенков Андрей ОлеговичГеометрия гиперкомплексных многообразийСпециальность:01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чиселАВТОРЕФЕРАТдиссертации на соискание ученой степеникандидата физико-математических наукМосква — 2014Работа выполнена в федеральном государственном автономномобразовательном учреждении высшего профессионального образованияНациональный исследовательский университет«Высшая школа экономики»Научный руководитель:профессор факультета математики НИУ ВШЭ,PhD (Harvard University, 1995),Вербицкий Михаил СергеевичОфициальные оппоненты: главный научный сотрудник отделакомплексного анализа МатематическогоИнститута им. В.А.Стеклова РАН,доктор физико-математических наук,член-корреспондент РАННемировский Стефан Юрьевич;профессор кафедры высшей геометриии топологии МГУ им.

М.В.Ломоносова,доктор физико-математических наук,доцент Панов Тарас ЕвгеньевичВедущая организация:федеральное государственное бюджетноеучреждение науки Санкт-Петербургскоеотделение Математического институтаимени В.А.Стеклова Российской академии наукЗащита диссертации состоится 3 июня 2014 г. в 16:00 на заседании дис­сертационного совета Д002.077.03 при федеральном государственном бюд­жетном учреждении науки Институте проблем передачи информации им.А.А.Харкевича РАН, расположенном по адресу: 127994, г.Москва, ГСП-4,Большой Каретный переулок, 19, стр.1.С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем пере­дачи информации им.

А.А.Харкевича РАН.Автореферат разослан «»2014 г.Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печа­тью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя учёного секретарядиссертационного совета.Учёный секретарьдиссертационного совета Д002.077.03,доктор физико-математических наукА.Н.СоболевскийОбщая характеристика работыАктуальность темы исследований.Работа посвящена изучению гиперкомплексных многообразий. Рассмот­рим компактное дифференцируемое многообразие класса ∞ .Определение 1.1. Гиперкомплексная структура на — это тройка ин­тегрируемых почти-комплексных структур , , , удовлетворяющих со­отношению = − = .При этом называется гиперкомплексным многообразием.Гиперкомплексные многообразия являются кватернионным аналогомкомплексных многообразий.

Термин “гиперкомплексное многообразие” при­надлежит Боеру, см. [4]. Сейчас известно довольно много примеров гипер­комплексных многообразий. Среди них гиперкэлеровы многообразия, много­образия Хопфа, левоинвариантные гиперкомплексные структуры на компакт­ных группах Ли, построенные Джойсом [5], гиперкомплексные структуры нанекоторых многообразиях Штифеля (см.

[6]), гиперкомплексные нильмного­образия (см. [7]).Одним из первых гиперкомплексные структуры рассматривал Обата,см. [8], [9], [10]. В работах Обаты эти структуры появились как результат изу­чения аффинных связностей на многообразиях с почти-комплексной струк­турой.Пусть (, , , ) – гиперкомплексное многообразие, ∇ — аффиннаясвязность на нем. Напомним, что кручение связности ∇ — это тензор ∈Λ2 ⊗ , определяемый формулой (, ) = ∇ − ∇ − [, ] длялюбых векторных полей , ∈ . Будем говорить, что связность ∇ со­храняет гиперкомплексную структуру, если ∇ = ∇ = ∇ = 0. Однимиз основных результатов, полученных в работе Обаты [8], было следующееутверждение.Теорема 1.2 (Обата). На гиперкомплексном многообразии (, , , ) суще­ствует единственная связность ∇, сохраняющая гиперкомплексную струк­туру и имеющая нулевое кручение.1Эта связность называется связностью Обаты.Напомним определение группы голономии аффинной связности ∇ намногообразии .

Зафиксируем точку ∈ и рассмотрим замкнутую петлю : [0, 1] → , (0) = (1) = . Параллельный перенос вдоль определяетлинейный оператор ∈ ( ). Группа, порожденная всеми такими опе­раторами называется группой голономии связности ∇, будем обозначать ееHol(∇). Эта группа определена однозначно с точностью до сопряжения какподгруппа в (, R), где — размерность многообразия.

Компонента связ­ности единицы, обозначаемая Hol0 (∇), является подгруппой Ли в (, R).Будем обозначать ее алгебру Ли через hol(∇). Будем говорить, что голономияявляется неприводимой, если ее тавтологическое представление, задаваемоевложением в (, R), неприводимо. Подробнее о свойствах групп голономиисм. [11], глава 10.Если ∇ — связность Обаты на гиперкомплексном многообразии, тоHol(∇) ⊂ (, H), так как ∇ сохраняет гиперкомплексную структуру. Связ­ность Обаты является незаменимым инструментом для исследования гипер­комплексных многообразий.

Однако, даже в простейших примерах инвари­анты связности Обаты, такие как ее группа голономии, до сих пор не вы­числены. Если (, , , ) допускает гиперкэлерову метрику, то связностьОбаты совпадает со связностью Леви-Чивита гиперкэлеровой метрики, и ееголономия является подгруппой в (). Верно и обратное: если на многооб­разии есть связность без кручения с голономией, содержащейся в (), тоэто связность Леви-Чивита для некоторой гиперкэлеровой метрики.Вопрос о том, какие группы могут встречаться в качестве групп голо­номии аффинных связностей без кручения является одним из важнейшихв дифференциальной геометрии.

При классификации групп голономии есте­ственно ограничиться случаем, когда представление голономии неприводи­мо. Для специального класса многообразий — симметрических пространств— ответ на этот вопрос был получен Эли Картаном, см. [11], раздел 10.G.Для многообразий, не являющихся симметрическими пространствами, суще­ственное продвижение в вопросе классификации было сделано Берже в [12].Работа Берже полностью завершила классификацию групп голономии метри­ческих связностей на римановых многообразиях.

Для случая неметрическихголономий многообразий, не являющихся симметрическими пространствами,2классификация была завершена в 1999-м году, в работах Меркулова и Шва­хофера [13], [14].Таким образом, сейчас известен полный список групп, которые могутбыть неприводимыми группами голономии связностей без кручения, не явля­ющихся симметрическими. Помимо самой группы (, H) в списке непри­водимых голономий встречаются некоторые ее подгруппы, а именно () и(, H). Для каждой из этих подгрупп известны примеры компактных мно­гообразий со связностями, голономии которых содержатся в этих подгруппах.Для () это гиперкэлеровы многообразия, а для (, H) это, например,нильмногообразия, см.

[7]. Одним из результатов, доказанных в данной рабо­те является теорема о том, что на группе (3) с гиперкомплексной струк­турой, построенной Джойсом в [5], голономия связности Обаты совпадает с(2, H).Рассмотрим более подробно многообразия с голономией, содержащейсяв (, H). Напомним определение этой группы. Пусть (, , , ) — ква­тернионное векторное пространство вещественной размерности 4. Группа(, H) состоит из линейных преобразований пространства , которые ком­мутируют с , и . Рассмотрим разложение Ходжа ⊗R C = 1,0 ⊕ 0,1 ,где 1,0 и 0,1 — собственные подпространства оператора , соответствую­√√1,02щие собственным значениям −1 и − −1.

Пусть Λ2,0 = Λ ( ). Тогда(, H) — это подгруппа, состоящая из тех элементов (, H), которыедействуют тождественно на Λ2,0 .Определение 1.3. Если группа голономии Hol(∇) связности Обаты на ги­перкомплексном многообразии содержится в (, H), то будем гово­рить, что является (, H)-многообразием.Для любого (, H)-многообразия связность Обаты, индуцированнаяна каноническом расслоении (, ) = Λ2,0 (, ), сохраняет ненулевое се­чение. Из этого следует, что (, ) является тривиальным как голоморфноерасслоение (см.

[15]). В присутствии HKT-метрики верно и обратное: любоекомпактное гиперкомплексное многообразие с тривиальным каноническимрасслоением (, ) и с HKT-метрикой удовлетворяет условию Hol(∇) ⊂(, H). Это утверждение доказано в [15] с использованием теории Ходжадля HKT-многообразий, построенной в [16].

В последней работе показано,3как для (, H)-многообразия с HKT-метрикой построить аналог ходжеваразложения для когомологий структурного пучка * ((,) ). Отметим, чтово всех известных на сегодняшний день примерах у (, H)-многообразийгруппа голономии является собственной подгруппой в (, H).Далее, мы напомним определение HKT-метрики. Пусть (, , , ) —гиперкомплексное многообразие и — кватернионно-эрмитова метрика нанем.

Рассмотрим эрмитовы формы: (, ) = (, ), (, ) = (, ), (, ) = (, ).Если любые две из этих форм замкнуты, то многообразие гиперкэлерово.√Обозначим Ω = + −1 . Легко проверить, что Ω ∈ Λ2,0 .Определение 1.4. Метрика называется HKT-метрикой (hyperkähler withtorsion, гиперкэлерова с кручением), если Ω = 0. В этом случае форма Ωназывается HKT-формой, а (, , , , ) — HKT-многообразием.HKT-метрики были введены Хове и Пападопулосом в [17] (см.

также[18]) и активно изучались после этого. Существование HKT-метрики накла­дывает существенные ограничения на глобальную геометрию гиперкомплекс­ного многообразия ([19], [7]).После работы [18] стало ясно, как важны HKT-метрики при изучениигиперкомплексных многообразий. В этой работе была показана связь междуHKT-метриками и связностями с кососимметрическим кручением.HKT-метрики имеют много общего с кэлеровыми метриками — они ло­кально задаются потенциалом (см. [20]) и могут быть использованы для по­лучения некоторых ограничений на когомологии многообразия.В работе [16] Вербицкий развил теорию Ходжа для многообразий с HKT­метрикой, которая оказалась весьма полезной для исследования гиперком­плексных многообразий.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов диссертации