Диссертация (1137372), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В данной работе мы используем теорию Ходжа дляHKT-многообразий при исследовании подмногообразий в гиперкомплексных(, H)-многообразиях, а также для изучения голоморфных лагранжевыхрасслоений на гиперкомплексных многообразиях.4Цели диссертационной работы:∙ Изучить связность Обаты для левоинвариантной гиперкомплекснойструктуры на группе Ли (3).
Найти группу голономии этой связности.∙ Исследовать подмногообразия гиперкомплексного (, H)-многообразия. Доказать, что общее многообразие в твисторном семействе не является алгебраическим.∙ Построить примеры многообразий, не допускающих HKT-метрики.Изучить голоморфные лагранжевы расслоения на гиперкомплексных(, H)-многообразиях.Результаты:∙ Получено явное выражение для связности Обаты на гиперкомплексноммногообразии. Доказано, что голономия связности Обаты на группе (3) c левоинвариантной гиперкомплексной структурой неприводима.Учитывая это, доказано, что группа голономии на этом многообразииравна (2, H).∙ Рассмотрены гиперкомплексные (, H)-многообразия с HKT-метрикой.
Доказано, что для общей комплексной структуры в твисторномсемействе соответствующее комплексное многообразие не имеет дивизоров, а все подмногообразия коразмерности два являются трианалитическими. Из этого, в частности следует, что общее многообразие втвисторном семействе не является алгебраическим, а пространство твисторов не допускает кэлеровой метрики. Кроме того, без предположенияо существовании HKT-метрики, доказано, что для общей комплекснойструктуры в твисторном семействе соответствующее комплексное многообразие не имеет голоморфных лагранжевых подмногообразий.∙ Рассмотрены голоморфные лагранжевы расслоения на гиперкомплексных многообразиях. Доказано, что если тотальное пространство такогорасслоения допускает HKT-метрику, то база расслоения является кэлеровым многообразием. С использованием этого результата построены5примеры гиперкомплексных многообразий, не допускающих HKT-метрик.Теоретическая и практическая значимость.
Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они могут найти применение в теории групп Ли, комплексной алгебраической геометрии и дифференциальной геометрии.Апробация работы.Работа была поддержана грантом ag.11.G34.31.0023 лаборатории алгебраической геометрии и ее приложений(НИУ-ВШЭ) и фондом Д. Зимина “Династия”. Результаты диссертации докладывались:∙ На летней школе по алгебраической геометрии и комплексному анализу,Ярославль, май 2011 г.∙ На семинаре отдела алгебры МИАН им.
В.А.Стеклова РАН, Москва, 6марта 2012 г.∙ На международной конференции “Hyperkähler manifolds”, Banach CenterIMPAN, Варшава, апрель 2012 г.∙ На семинаре по многомерному комплексному анализу (семинаре Витушкина), МИАН им. В.А.Стеклова РАН, Москва, 26 сентября 2012 г.∙ На семинаре кафедры высшей геометрии и топологии (семинаре Постникова), мех-мат МГУ им.
М.В.Ломоносова, Москва, 11 марта 2014 г.Публикации. Материалы диссертации опубликованы в двух печатныхработах [1, 2] в рецензируемых журналах, работа [3] принята к печати в рецензируемом журнале и опубликована в электронном виде.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и библиографии. Общий объем диссертации 74 страницы.Библиография включает 66 наименований на 7 страницах.6Содержание работыПервая глава носит подготовительный характер.
В ней приведенынеобходимые для дальнейшего сведения о гиперкомплексных структурах,связности Обаты, группах голономии и теории калибраций.Во второй главе мы изучаем левоинвариантную гиперкомплекснуюструктуру на группе Ли (3), построенную Джойсом в работе [5]. В частности, мы изучаем голономию связности Обаты на этом многообразии. Гиперкомплексные структуры, построенные Джойсом дают пример гиперкомплексных многообразий с нетривиальным каноническим расслоением. Следовательно, голономия связности Обаты на таких многообразиях не является подгруппой в (, H).
Мы покажем, что голономия связности Обатына (3) является неприводимой. Используя классификацию неприводимыхгрупп голономии, полученную Меркуловым и Швахофером в [13] и [14], мыдокажем следующую теорему:Теорема 1.5. Группа голономии связности Обаты на (3) с левоинвариантной гиперкомплексной структурой совпадает с (2, H).Это дает первый известный пример компактного гиперкомплексногомногообразия с такой группой голономии. Результаты, представленные в этойглаве, опубликованы в работе [1].В третьей главе мы изучаем некоторые свойства твисторных семействдля гиперкомплексных (, H)-многообразий с HKT-метрикой.
Базой такого семейства является комплексная прямая C 1 . Мы доказываем, что существуют ограничения на возможные комплексные подмногообразия в многообразии, являющимся общим элементом этого семейства. Под общим элементомсемейства мы будем понимать элемент, лежащий в дополнении к некоторомусчетному множеству. Основная теорема этой главы состоит в следующем:Теорема 1.6. Пусть (, , , ) является (, H)-многообразием, допускающим HKT-метрику. Тогда существует такое счетное подмножество ⊂ C 1 , что для любой индуцированной комплексной структуры ∈C 1 ∖ в комплексном многообразии (, ) нет компактных дивизоров, а7все компактные комплексные подмногообразия ⊂ (, ) коразмерностидва являются трианалитическими.В частности, в этой главе показано, что общее многообразие в твисторном семействе не содержит дивизоров, и следовательно не является алгебраическим. Это можно рассматривать как частичное обобщение аналогичныхрезультатов для гиперкэлеровых многообразий (см.
[21]) и для плоских гиперкомплексных многообразий (см. [22]). Кроме того, мы доказываем аналогичное утверждение для лагранжевых подмногообразий, без предположенияо существовании HKT-метрики:Теорема 1.7. Пусть (, , , ) является (, H)-многообразием. Тогдасуществует такое счетное подмножество ⊂ C 1 , что для любой индуцированной комплексной структуры ∈ C 1 ∖, многообразие (, ) несодержит компактных голоморфных лагранжевых подмногообразий.Результаты этой главы опубликованы в работе [2].В четвертой главе мы используем HKT-метрику для получения некоторой информации о гиперкомплексном многообразии. А именно, мы построим кэлерову метрику на базе голоморфного лагранжева расслоения, тотальное пространство которого является HKT-многообразием.
Отметим, что само понятие “голоморфное лагранжево расслоение” определяется не вполнеочевидным образом, так как HKT-многообразие не обязательно является голоморфно-симплектическим. Это понятие было определено в работе [23] сиспользованием теории калибраций и при выполнении некоторых ограничений на голономию связности Обаты. Такие расслоения часто встречаются впримерах (см. [23]). Основной результат этой главы состоит в следующем:Теорема1.8. Пусть — компактное (, H)-многообразие, и : (, ) → — гладкое голоморфное лагранжево расслоение.
Предположим, что на существует HKT-метрика. Тогда база кэлерова.Доказанное в этой главе свойство лагранжевых расслоений можно использовать для построения примеров многообразий, не допускающих HKTметрик. Такие примеры построены в конце этой главы. Результаты этой главы опубликованы в работе [3].8Список публикаций автора по теме диссертации1. Soldatenkov A. Holonomy of the Obata connection on (3) // Int. Math.Res.
Not. 2012. no. 15. P. 3483–3497.2. Soldatenkov A., Verbitsky M. Subvarieties of hypercomplex manifolds withholonomy in (, H) // J. Geom. Phys. 2012. Vol. 62, no. 11. P. 2234–2240.3. Soldatenkov A., Verbitsky M. Holomorphic Lagrangian fibrations on hypercomplex manifolds // Int. Math. Res.
Not. First published online: October 31,2013. doi:10.1093/imrn/rnt218.Цитированная литература4. Boyer C. P. A note on hyper-Hermitian four-manifolds // Proc. Amer. Math.Soc. 1988. Vol. 102, no. 1. P. 157–164.5. Joyce D. Compact hypercomplex and quaternionic manifolds // J. DifferentialGeom. 1992. Vol. 35, no.
3. P. 743–761.6. Boyer C. P., Galicki K., Mann B. M. Hypercomplex structures on Stiefelmanifolds // Ann. Global Anal. Geom. 1996. Vol. 14, no. 1. P. 81–105.7. Barberis M. L., Dotti I. G., Verbitsky M. Canonical bundles of complex nilmanifolds, with applications to hypercomplex geometry // Math. Res. Lett.2009.
Vol. 16, no. 2. P. 331–347.8. Obata M. Affine connections on manifolds with almost complex, quaternionor Hermitian structure // Jap. J. Math. 1956. Vol. 26. P. 43–77.9. Obata M. Affine connections in a quaternion manifold and transformationspreserving the structure // J. Math. Soc. Japan. 1957. Vol. 9. P. 406–416.10. Obata M. Hermitian manifolds with quaternion structure // Tôhoku Math.J. (2). 1958.
Vol. 10. P. 11–18.11. Besse A. L. Einstein manifolds. Berlin: Springer-Verlag, 1987. Vol. 10 ofErgebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. P. xii+510. ISBN: 3-540-15279-2.912. Berger M. Sur les groupes d’holonomie homogène des variétés à connexionaffine et des variétés riemanniennes // Bull. Soc. Math. France. 1955.
Vol. 83.P. 279–330.13. Merkulov S., Schwachhöfer L. Classification of irreducible holonomies of torsion-free affine connections // Ann. of Math. (2). 1999. Vol. 150, no. 1.P. 77–149.14. Merkulov S., Schwachhöfer L. Addendum to: “Classification of irreducibleholonomies of torsion-free affine connections” // Ann. of Math.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
