Диссертация (1137313), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Для избирателей 1 и2 эта альтернатива находится на первом месте, следовательно, они не имеютстимула манипулировать. Для избирателя 3 альтернатива находится на последнем месте, и он имеет стимул манипулировать, заявляя неискренние предпочтения 3′ = (, , , ), так как в этом случае победителем голосования станет. Искренние предпочтения избирателей представлены в профиле ⃗ . В профи⃗−3 , 3′ ) избиратели 1 и 2 имеют искренние предпочтения, а избиратель 3 –ле (искаженные.Определение 1.4.
Если существует профиль предпочтений ⃗ , в котором хотябы один избиратель имеет стимул манипулировать при правиле , то правило называется манипулируемым. В противном случае правило защищено отманипулирования.В данной модели предполагается, что каждый избиратель знает предочтениявсех остальных и имеет возможность принимать решение о выборе стратегии,зная точно будущий результат своих действий, так как предпочтения остальныхизбирателей предполагаются неизменными.1.2.2Теоремы типа Гиббарда-СаттертуэйтаМанипулируемость правил естественно является нежелательным свойствомпроцедур выбора, так как при искажении избирателями своих предпочтений20результат выбора «смещается» в сторону предпочтений манипулирующего избирателя и может отдаляться от предпочтений остальных.
Возможна и такаяситуация: при одновременном независимом манипулировании несколькими избирателями коллективный выбор становится хуже для всех участников. Такимобразом, возникают потери в смысле оптимальности коллективного выбора.
Поэтой причине представляло большой интерес нахождение таких правил, которые исключают возможность для избирателей манипулировать.Первый теоретический результат, с которого началось изучение манипулируемости правил голосования с помощью математического моделирования, был получен независимо в [1] и [2] и носит название теоремы Гиббарда–Саттертуэйта.В ней речь идет о частном случае правил коллективного выбора – однозначныхправилах, результат которых всегда единственная альтернатива.Теорема 1.2.1.
[1, 2] Любое однозначное правило коллективного выбора, еслиимеется хотя бы три возможных исхода, является либо манипулируемым, либодиктаторским.Наличие трех возможных исходов является одной из необходимых предпосылок данной теоремы, так как выбор из двух альтернатив по правилу большинства очевидно является неманипулируемым. Другое необходимое условие– неограниченность области определения правила коллективного выбора, т.е.избиратели могут иметь любые предпочтения на множестве . Большое количество исследований посвящено изучению того, как следует ограничить множество допустимых предпочтений избирателей, чтобы правило было защищено отманипулирования (см., например, [18,19]).
В настоящей работе такие модели нерассматриваются.Однако результат теоремы Гиббарда-Саттертуэйта не означает, что все разумные процедуры при выполнении названных условий подвержены манипули21рованию со стороны избирателей. Область применения этой теоремы – множество однозначных правил коллективного выбора, в то время как в большинствепроцедур результатом могут быть несколько альтернатив.Так как условие однозначности правила коллективного выбора сильно сужает область применения результата теоремы Гиббарда-Саттертуэйта, попыткиотбросить его продолжились в других исследованиях. Однако, в [20] было замечено, что без условия однозначности, недиктаторские и неманипулируемые правила существуют.
Следовательно, для получения невозможности совмещенияотсутствия диктатора и отсутствия манипулирования нужны другие нормативные свойства. Следующим важным шагом в данном направлении стала теорема,доказанная в [21]. Она расширяет результат теоремы Гиббарда-Саттертуэйтана область правил, удовлетворяющих свойствам анонимности, нейтральности икритерию Кондорсе. Дадим определения упомянутых свойств.Определение 1.5. Пусть профили ⃗ и ⃗ ′ таковы, что ∀ ∈ ∀, ∈ если , то ()′ (), где – перестановка на множестве . Функция (правило ) удовлетворяет свойству нейтральности, если ( (⃗ )) = (⃗ ′ ).Нейтральность означает, что процедура обрабатывает все альтернативы одинаково и исключает дискриминацию каких-либо альтернатив.Пример 1.3.
Пример правила, не удовлетворяющего свойству нейтральности: применить правило относительного большинства, а в случае равного количества очков выбирать альтернативу, недоминируемую по отношению :1 2 ... . Действительно, пусть⎛⎞⎜1 2 3 ⎟⎜⎟⎟⃗ = ⎜⎜2 3 2 ⎟ .⎝⎠3 1 122и (1 ) = 2 , (2 ) = 3 , (3 ) = 1 . Тогда⎛⎞⎜ 2 3 1 ⎟⎜⎟⎟⃗ ′ = ⎜⎜ 3 1 3 ⎟ .⎝⎠1 2 2⃗ ) = 1 , (⃗ ′ ) = 1 , а ( (⃗ )) = 2 .По правилу (Определение 1.6.
Функция (правило ) удовлетворяет свойству анонимности, если ∀⃗ ∈ () ∀ ∈ (⃗ ) = (⃗ ′ ), где ⃗ ′ = ((1) , ..., () ) и –перестановка на множестве избирателей, элемент симметрической группы .Анонимность означает, что предпочтения всех избирателей учитываются одинаково процедурой принятия решений. Очевидно, что диктаторское правило неудовлетворяет свойству анонимности.
Другой пример нарушения этого свойства – учитывать предпочтения какого-то избирателя с отличным от другихизбирателей весом.Определение 1.7. Правило удовлетворяет критерию Кондорсе, если оновсегда выбирает победителя Кондорсе в тех случаях, когда он существует.Победителем Кондорсе называется альтернатива, которая побеждает всеостальные альтернативы в попарных сравнениях. К примеру, критерий Кондорсе не выполняется для правил подсчета очков (правило относительного большинства, правило одобряющего голосования, правило Борда), и выполняетсядля правила Коупленда.Так как результат правила теперь не обязательно является единственной альтернативой, в модели необходимо предусмотреть возможность для избирателейсравнивать различные исходы голосования.23Определение 1.8. Расширенными предпочтениями избирателя называетсябинарное отношение на множестве непустых подмножеств альтернатив,2 ∖ {∅}, такое, что {} {} ⇐⇒ .Предпочтения могут быть расширены множеством различных способов.
Так,в [21] предлагается следующий принцип расширения предпочтений:Принцип Гарденфорса. Пусть – предпочтения избирателя на множестве ,а и – непустые подмножества . Говорим, что , если и только есливыполнено одно из условий: 1) ⊂ и ∀ ∈ , ∀ ∈ ∖ ;2) ⊂ и ∀ ∈ ∖ , ∀ ∈ ;3) Ни ⊆ , ни ⊆ , и ∀ ∈ ∖ , ∀ ∈ ∖ .Пример 1.4. Пусть = {, , } и , . Тогда:{} {, },{} {},{} {, },{} {, , },{} {, },{} {},{, } {}, {, } {, }, {, } {, , }, {, } {, }, {, } {},{} {, }, {} {},{, } {, }, {, } {},{, , } {, }, {, , } {},{, } {}.Теперь, когда учитываются не просто предпочтения избирателя, а расширенные предпочтения, необходимо изменить определение 1.3: заменить на .С учетом принятой модели расширенных предпочтений, теорема, доказаннаяв [21], звучит следующим образом:Теорема 1.2.2.
[21] Если правило коллективного выбора удовлетворяет свойствам анонимности, нейтральности и критерию Кондорсе, то оно манипулируемо.24Один из способов избежать множественности выбора – выбрать окончательного победителя путем жеребьевки, т.е. случайным образом.Однако если рассматривать правила коллективного выбора, которые длякаждого профиля определяют некоторое подмножество альтернатив, а затемслучайным образом выбирают из него победителя, то уже нельзя утверждать,что все такие правила манипулируемы. Пример такого правила [22]: пусть длялюбого профиля предпочтений множество выбора включает в себя все альтернативы, одна из которых выбирается случайным образом.
Очевидно, это правило защищено от манипулирования, ведь выбор никак не зависит от мненияизбирателей. Но по этой же причине оно не подходит для практичекого использования. Пример несколько более привлекательного правила – случайный диктатор [1,23,24]: случайным образом выбирается один избиратель, самая предпочтительная альтернатива которого и становится результатом выбора. Эта процедура также не подвержена манипулированию: избирателю невыгодно сообщать свои неискренние предпочтения. Но эта процедура также сильно зависитот воли случая, за исключением ситуации, когда все избиратели имеют одну иту же альтернативу на первом месте.В общем случае, если результат правила состоит из нескольких альтернатив,выбор из которых осуществляется случайным образом, то сравнение подмножеств избирателем определяется его отношением к риску.
Тогда один из возможных подходов к определению манипулирования [23, 24] – сказать, что, если⃗ , избиратель и некоторое отношесуществует такой профиль предпочтений ние к риску для этого избирателя, при котором он имеет стимул манипулировать, то правило называется манипулируемым.В работе Гиббарда [23] рассмотрено еще одно вероятностное правило: случайным образом выбираются две альтернативы, а затем проводится голосование25по принципу большинства между этими двумя альтернативами. Теорема, доказанная в [23], утверждает, что при случайном устранении множественностивыбора и таком определении манипулирования, если правило коллективноговыбора неманипулируемо, то оно является комбинацией описанного правила ипроцедуры «случайный диктатор».Целью работы [22] – было рассмотреть правила, результат которых не зависит от случайности в такой степени, как в приведенных выше правилах.
Дляэтого вводится свойство позитивного отклика для правил. Оно означает, что,если по правилу было выбрано несколько альтернатив, то улучшение позициикакой-либо из этих альтернатив (при неизменном положении других1 ) приведет к выбору только этой альтернативы. Кроме того, используется свойствоединогласия для процедур и принцип расширения предпочтений.Определение 1.9. Правило удовлетворяет свойству единогласия (по Бар⃗ ∈ () ∀, ∈ если ∀ ∈ , то ∈бера), если ∀/ (⃗ ).Принцип Барбера [22]. Если , то {} {, } {} и {} {}.Теорема 1.2.3. [22] Если правило коллективного выбора со случайным устранением множественности выбора удовлетворяет свойствам позитивного откликаи единогласия и || ≥ 4, то оно либо является диктаторским, либо манипулируемо.Заметим, что теорема рассматривает случай с числом альтернатив четыре иболее. Для случая трех альтернатив в [22] приводится пример недиктаторскогои неманипулируемого правила, которое удовлетворяет указанным свойствам.Еще один пример обобщения теоремы Гиббарда-Саттертуэйта на случай множественного выбора – исследование Чинга и Чжоу [25].
Однако метод работыс подмножествами альтернатив и определение манипулирования, предлагаемое1 В [22] предпочтения избирателей предполагаются слабыми порядками26ими, весьма специфично. Так, предполагается, что у каждого избирателя естьнекоторая субъективная вероятностная мера на множестве и оценка каждой альтернативы , интерпретируемая как полезность. Тогда сравнение подмножеств альтернатив по предпочтительности производится по принципу максимизации ожидаемой полезности. Но так как указанные функции могут бытьне даны в задаче, предлагается рассмотреть все такие пары и , согласующиеся с предпочтениями на множестве альтернатив, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
