Диссертация (1137313), страница 6
Текст из файла (страница 6)
От того, каким образом33задано множество элементарных исходов, или какая используется вероятностная модель в исследовании, зависит значение степени манипулируемости, а иногда и соотношение этих показателей для различных правил. В рамках данногораздела сначала будут рассмотрены основные вероятностные модели, используемые в исследованиях по оценке степени манипулируемости правил, а затемобзор результатов.1.3.1Вероятностные моделиВ данном разделе рассмотрена литература, посвященная вероятностным моделям генерации предпочтений, которые будут иметь большое значение длянашего исследования. В теории коллективного выбора существует несколькомоделей построения предпочтений, в рамках которых различные правила голосования исследуются на «устойчивость» и «надежность», вероятность возникновения различных парадоксов, непротиворечивость, манипулируемость и т.д.Модели показывают, какие коллективные предпочтения можно считать отличными друг от друга, а какие – эквивалентными с точки зрения принятых вмодели аксиом.В литературе подробно описаны две основные модели – модель независимых предпочтений (Impartial Culture Model – модель IC) и модель независимыханонимных предпочтений (Impartial Anonymous Culture Model – модель IAC).Первая из них использует само множество профилей предпочтений, () , дляопределения предпочтений участников голосования, при этом все профили считаются равновероятными.
Модель IAC основана на предположении безразличияпо именам избирателей, и все анонимные профили считаются равновероятными.34Модель независимых предпочтений (IC) была представлена в [7]. В ней предполагается, что каждый из участников голосования независимо выбирает своипредпочтения. Вероятность выбора каждого из видов предпочтений избирателем 1/!. Множество всех возможных типов предпочтений – это множествовсех профилей, равное числу размещений с повторениями элементов из !,т.е. (!) .
Вероятность появления каждого из (!) профилей предпочтенийодинаковая.На предпосылках этой модели было сделано множество исследований, например, [31], [32] и др.Следующая модель предпочтений, занимающая важное место в литературе,– это модель IAC. Эта модель впервые была представлена в работе [8], и расширена и дополнена в [32]. Модель IAC основана на предположении об анонимности избирателей, т.е. не существует различия между их именами. С этой предпосылкой профили предпочтения становятся эквивалентными с точки зренияперестановки предпочтений избирателей местами, и множество профилей предпочтений разбивается на классы эквивалентности по анонимности (AnonymousEquivalence Class – AEC).
Любой профиль из класса может быть выбран в качестве его представителя, множества профилей предпочтения, которые могутбыть получены один из другого путем перестановки имен избирателей.В [32, 33] исследуется вероятность существования победителя Кондорсе длятрех и четырех альтернатив и различного числа избирателей в модели IAC. Дляэтого выводится формула вычисления количества различных с точки зренияанонимности профилей для трех альтернатив:(3, ) =∑︁6 =0(︃− (︃− − (︃− − − (︃− − − − )︃)︃)︃)︃656∑︁546 ∑︁543∑︁6∑︁1,5 =04 =03 =0352 =0где – количество избирателей, имеющих -ый вид предпочтений из !, сумма по всем предпочтениям равна общему числу избирателей, 1 +2 +...+! =.Из [34] следует, что формула для (3, ) может быть преобразована следующим образом∏︀5=1 ((3, ) =+ )120.В общем случае, количество классов эквивалентности по анонимности с избирателями и альтернативами может быть вычислено по формуле, представляющей собой биномиальный коэффициент⎛⎞⎜ + ! − 1 ⎟(, ) = ⎝⎠,! − 1– число сочетаний с повторениями из ! по .В [33] было проведено сравнение вероятности выбора каждого из типов предпочтений в модели IC и IAC.
Если каждому из типов ранжирований присвоитьномера от 1 до !, число альтернатив = 3, вектор, -ый элемент которого равен , обозначить за ⃗, то вероятность при случайном выборе получитьпрофиль с заданным ⃗ для описанных выше вероятностных моделей будет вычисляться какгде A =∑︀6=1 ,6[ ,]! ∏︁ (⃗, ) = [,],!A=1причем для моделей IC и IAC ∀ ∈ {1, ..., 6}, и A[,] – обоб-щенный символ Похгаммера, т.е.A[,] = A(A + )(A + 2)...(A + ( − 1)).36Тогда при значении параметра = 0, (⃗, ) будет равна вероятности получить профиль с заданным ⃗ в модели IC, т.е. (⃗, 0) =!.1 !2 !3 !4 !5 !6 !6А при параметре = 1 получим (⃗, 1) =120.( + 1)( + 2)( + 3)( + 4)( + 5)т.е.
1/(3, ).Таким образом, модели IC и IAC являются частными случаями более широкого класса моделей, называемых моделями Пойа-Еггенбергера [35,36]. Параметр задает степень взаимозависимости предпочтений избирателей. Физичиескаяинтерпретация модели – урновая схема: в урне лежит ! различных шаров,затем наугад выбирается один шар, его тип запоминается.
После чего шар возвращается в урну и туда же добавляется шаров такого же типа. Таким образом, при = 1, чем больше шаров одного типа было уже выбрано из урны, тембольше вероятность снова достать шар того же типа.Третья модель, сравнительно недавно появившаяся в литературе – модельнезависимых анонимных и нейтральных предпочтений (Impartial Anonymousand Neutral Culture Model – модель IANC) – была описана впервые в [9].
В этойстатье проведен анализ вероятности совпадения победителя Кондорсе и победителя по правилу простого большинства, а также вероятности возникновенияпарадокса Кондорсе.В этой модели отражены две основные аксиомы в теории коллективного выбора: анонимность и нейтральность. Аксиома анонимности требует одинаковогоподхода к рассмотрению голосов для всех избирателей, а аксиома нейтральности предполагает отсутствие встроенных в правило выбора предубеждений37относительно какой-либо из альтернатив. Так, для определенного числа избирателей и альтернатив, некоторые профили предпочтений эквивалентны другдругу с учетом анонимности и нейтральности, так как они могут быть получены друг из друга путем простого переименования избирателей и альтернатив.Аналогично предыдущей модели, все множество профилей предпочтений делится на классы эквивалентности по анонимности и нейтральности (Anonymousand Neutral Equivalence Classes - ANECs).
Любой из профилей предпочтений вданном классе может быть выбран в качестве представителя класса, или егогенератора.Модель IANC имеет важное теоретическое значение: аксиомы анонимностии нейтральности являются необходимыми свойствами любой «честной» процедуры коллективного принятия решений. Множество классов эквивалентностиможно рассматривать как множество типов групповых предпочтений, для любых двух представителей одного и того же класса эквивалентности любая анонимная и нейтральная функция от профиля будет принимать одни и те жезначения. Это свойство было использовано в [37], где исследовались различныемеры сходства предпочтений в коллективе.В [38] а также в [9] была получена формула для вычисления классов эквивалентности по анонимности и нейтральности, выведенная из леммы Бернсайдао количестве орбит и свойств групп перестановок.
В последней работе был построен алгоритм случайной генерации представителей классов эквивалентностис одинаковой вероятностью для всех классов, который позволяет проводить вычислительные экперименты в этой модели. В [9] этот алгоритм использовалсядля получения вероятности существования победителя Кондорсе, а в [39] исследовалась вероятность выбора победителей по правилу Борда для ситуаций,в которых избиратели сообщают неполное упорядочение альтернатив.38В Главе 3 данной диссертации проведен дальнейший анализ модели IANC исравнение этой модели с уже известными IC и IAC, показывающий, насколькомогут быть отличны друг от друга индексы, вычисленные в разных вероятностных моделях.1.3.2Вероятность манипулирования в различных моделяхДля того, чтобы выяснить, насколько одно правило больше чем другое, подвержено манипулированию со стороны избирателей, нужно выделить хотя быдве степени манипулируемости.
В [40] было предложен метод вычисления количества профилей предпочтений, в которых манипулирование возможно. Соответственно, наименее манипулируемым в этом случае будет правило, котороеминимизирует количество таких профилей. Отношение числа профилей, в которых хотя бы один избиратель имеет возможность манипулировать к общемучислу профилей предпочтений, получило название индекса Келли. Следующийшаг, предложенный, в [40], заключается в выявлении маловероятных случаевманипулирования. Если избиратель заявляет предпочтения, которые находятсяслишком «далеко» от его истинных предпочтений, то такое манипулированиеможет быть легко замечено и наказано, и психологические издержки, которыеможет понести избиратель, будут для него высоки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
