Диссертация (1137309), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

Вектор Z  ( Z1 ,..., Z d ) имеет t-распределение с векторомстепеней свободы с   0 и A  I d , то есть функцию плотности32:f Z ( z )  (2 )d2d (b) d 1  1 21 2 1  z1  ...  zd  j  d (a) j 0  22b j b j 1.(3)Теорема 1. Пусть Z имеет функцию плотности распределения (3),j 1 jrj {0,1,2...} и b j    rd i  j для j  1,..., d . Тогда смешанный момент2 2 i 1E ( Z1r1 ...Z drd ) существует.

При этом если rj нечетно для некоторого j , тоE ( Z1r1 ...Z drd )  0 . Если rj четно для всех j  1,..., d ., тоE ( Z ...Z )  2 r11rddsdd2rd  j 1  1 d (b) d jbs,.jjd (a) j 1 22j s j для некоторого j , то E ( Z1r1 ...Z drd ) не существует.2jСогласно Теореме 1, E ( Z ) существует только при a j  , j  1,..., d и2j 1, j  1,..., d иE (Z )  0 , а V ( Z ) существует только при a j 2Если же rj  1 или b j j 12ad i  d  i2V ( Z )  diag , j  1,..., d  . 2ad  j 1  d  j  1 i 0 2ad i  d  i  1Центральный смешанный момент вектора X выражается через моментывектора Z из Теоремы 1 с использованием X    PZ .В доказательствах Теорем 2 и 3 использованы свойства обобщенныхгипергеометрических функций и G-функции Мейера.33Теорема 2.

Пусть Z имеет функцию плотности распределения (3). Тогдафункция плотности распределения компоненты Z j имеет видПоказано в Шведов, А.С. t-распределение случайной матрицы и его применение врегрессионной модели / Препринт WP2/2010/01. М.: Изд. дом НИУ ВШЭ, 2010.33См. Градштейн, И.С., Рыжик, И.М. Таблицы интегралов, рядов и произведений. 7-е изд.СПб.: БХВ-Петербург, 2011; Прудников, А.П., Брычков, Ю.А., Маричев, О.И. Интегралы иряды.

Т. 3. Специальные функции. Дополнительные главы. 2-е изд. М.: Физматлит, 2003.3216d  j 1 k 2  ak 1   ad  j 1  d22 f Z j ( z j )  (2 ) 2 d  j  k k 3 k 1 d  j2  ad  j 1   ak    ak 2 2  2 2d  j 1d 2d  j 1d 3 zj  j Fj 1  ad  j 1 ,..., ad ; ad  j  2 ,..., ad ; ,22222 2гдеpFq (m1 ,..., m p ; n1 ,..., nq ; x)(4)– обобщенная гипергеометрическая функцияпорядка ( p, q) .Теорема 3. Пусть Z имеет функцию плотности распределения (3). Тогдахарактеристическая функция распределения компоненты Z j имеет видk 2 1 d  j 1d  ak , ad  j 1 ,...,  ad 2  1 0, j 1 2 222,Z j (t )  2G j 1, j 1  2k 1  | t |d 1t d  j 1  ak  ad  j  2 ,..., ad 2 22k  d  j 1 d12 k d  j  2d s1 ,..., sn ; sn1 ,..., s p где G pm,,qn  x – G-функция Мейера порядка (m, n, p, q) . t1 ,..., tm ; tm1 ,..., tq В главе 3 также предложен алгоритм симулирования случайных векторов сплотностью (2).

Для k  1,..., N независимо осуществляется процедура:1. Производитсянезависимоепоэлементноесимулированиенижнейтреугольной d  d матрицы L . Диагональные элементы имеют плотностьfl jj (l jj )  2  (2ad  j 1  d  j ) / 2  l jj1 (2 ad  j 1  d  j ) 1соответствующуюобобщенномуexp  l 2jj  ,гамма-распределениюспараметрамиa  1, p  2, d  2ad  j 1  d  j , а для i  j имеем lij ~ N  0,1 2  .2. Независимо от шага 1 симулируется d -мерный вектор V ~ Nd (0, I d ) .3. Вектор X ( k ) с распределением (2) вычисляется как X ( k )  PL1V   , где P –нижняя треугольная d  d матрица, такая что A  PP .В четвертой главе в многомерное t-распределение с вектором степенейсвободы вводится вектор параметров асимметрии, что позволяет учитыватьиндивидуальную скошенность маргинальных распределений доходностей.Использованапроцедура,основанная17наразличноммасштабированииположительных и отрицательных значений.34 Для ее применения требуется,чтобы у исходного распределения вероятностная масса каждого из ортантовбыла одинакова.

Для плотности (2) в общем виде это условие может бытьнарушено, поэтому предполагается A  diag( A1 ,..., Ad ) , где Ai  0, i  1,..., d . Приэтом предположении применение упомянутой процедуры к (2) приводит кdгдеb b*i 1i 2  2  (b)  12 d i  1 *[ d i 1] [ d i 1] 1 *[ d i 1] ,f Xs ( x)    *dA 1xAx2 2    d (a)i 1 1  i 1, если xi  iIi  , i  1,..., d .xi*  ( xi  i )iIi ,x*  ( x1* ,..., xd* ) , 1, если xi  iПараметрами здесь являются  d(5), A  diag( A1 ,..., Ad ) с Ai  0 для i  1,..., d ,  (1 ,...,  d )' с i  0 для i  1,..., d и a  (a1 ,..., ad ) с ограничениями из главы 3.Распределение (5) назовем многомерным t-распределением с векторомпараметров асимметрии и вектором степеней свободы.

Случайi  1соответствует положительной, а  i  1 – отрицательной скошенности по X i .Распределение (5) может применяться в VAR-MGARCH моделях видаrt  Et 1rt   t  c  Qrt 1   t  c  Qrt 1  H t1/2 X ,где rt – d -мерный вектор доходностей, c и Q – d -мерный вектор и d  dматрица соответственно, H t – условная ковариационная матрица векторашоков  t с точностью до умножения на положительно определенную матрицу,а ковариационная матрица вектора X постоянна.

Для H t может использоватьсялюбая MGARCH модель. Пусть X имеет плотность (5) с   0 и A  I d – этопозволяет учитывать различия асимметрии и эксцессов для разных активов.В пятой главе с помощью теоремы Скляра35 построена стандартизованнаяt-копула с вектором степеней свободы. Копула на основе (3) имеет вид:C (u1 ,..., ud )  CtaFX11 ( u1 )FXd1 ( ud )...d 11 2  1 21  x1  ...  xd  j 22j 0 b j b j 1dx1...dxd,(6)Предложена в [Bauwens, Laurent, 2005].См., например, Благовещенский, Ю.Н. Основные элементы теории копул // Прикладнаяэконометрика.

2012. T. 26 (2). С. 113-130.343518где маргинальные функции распределения – уже однократные интегралы видаxjd  j 1d 2d  j 1d  3 t2 Fa,...,a;a,...,a;   dt , (7)dd  j2d j j 1  d  j 1 222222d  j 1 k 2aa1 d  j 1 k2  d2 .C j  (2 ) 2 d  j  k k 3 k 1 d  j 2  ad  j 1   ak    ak 2 2  2 FX j ( x j )  C jДля вектора центрированных и нормированных шоков X в моделях VARMGARCH можно использовать копулу (6), то есть функцию плотности221 1 1 11F(F(x))...F(F(x))XX1XXdj1d11d  j 1d  j 122f X ( x1 ,..., xd )  C 1f X j ( FX j ( FX j ( x j )))j 1b j 1 b jf X j (x j ),где f X ( x j ) и FX ( x j ) для j  1,..., d определяются из (4) и (7) соответственно, аjjf X j ( x j ) и FX j ( x j ) для j  1,..., d задаются отдельно.В заключении суммируются результаты диссертации и приводятсявозможные направления дальнейшей работы.III.

Основные выводы по результатам исследования1. Проведено эмпирическое сравнение некоторых известных вероятностныхмоделейдлядоходностеймировыхфондовыхиндексовинедавнопредложенной вероятностной модели на основе многомерного t-распределенияс вектором степеней свободы. С помощью теста на основе информационногокритерия Кульбака – Лейблера получен следующий рейтинг распределений: 1 –многомерные t-распределения со скаляром и вектором степеней свободы, 2 –многомерноеобобщенноераспределениеошибки,3–многомерноераспределение Грама – Шарлье.

Показано, что многомерное t-распределение свектором степеней свободы в некоторых случаях более предпочтительно, чемклассическое многомерное t-распределение.2. Построены модели для доходностей акций российских компаний на основемногомерного t-распределения с вектором степеней свободы, а такжеклассического многомерного t-распределения и многомерного нормального19распределения. С их помощью составлены различные финансовые портфели.Показано, что для портфелей с минимальной дисперсией доходностипостроенные модели в целом эквивалентны, то есть дают близкие фактическиезначения средней доходности и волатильности. Для портфелей с минимальнойдисперсией при заданной ожидаемой доходности многомерное нормальноераспределение обеспечивает минимальную фактическую волатильность, амногомерное t-распределение с вектором степеней свободы – максимальнуюфактическую среднюю доходность при использовании наиболее ликвидныхакций.

Наконец, для портфелей с максимальной ожидаемой доходностью призаданной дисперсии многомерное нормальное распределение обеспечиваетмаксимум фактической средней доходности, а многомерное t-распределение свектором степеней свободы – минимум фактической волатильности вбольшинстве случаев.3.

Для многомерного t-распределения с вектором степеней свободы выведенаобщая формула моментов с условиями существования, формулы одномерныхмаргинальных функций плотности и характеристических функций, а такжепредложен алгоритм симулирования.4. Предложена модификация стандартизованной версии многомерного tраспределения с вектором степеней свободы, которая предусматриваетвведение вектора параметров асимметрии в данное распределение. Показаныпреимущества применения данной модификации в финансовых приложениях.5. Построенакопуланаосновестандартизованногомногомерногоt-распределения с вектором степеней свободы, которая позволяет более гибкомоделироватьразличияхвостовыхзависимостеймеждукомпонентамислучайного вектора, чем классическая t-копула. Приведена возможная схемаприменения построенной копулы.20IV.

Характеристики

Список файлов диссертации