Диссертация (1137309), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Преимущество t-копулы с вектором степеней свободы посравнению с классической t-копулой заключается в большей гибкости приучете различий хвостовых зависимостей. Преимуществом многомерногоасимметричного t-распределения с вектором степеней свободы по сравнению склассическим многомерным асиммметричным t-распределением является егоспособность учитывать различия эксцессов маргинальных распределений.В главах 1 и 2 проведено сравнение модели для финансовых доходностейна основе многомерного t-распределения с вектором степеней свободы смоделями на основе других известных многомерных распределений. Полученыследующие результаты, полезные в финансовых приложениях.Во-первых, при моделировании финансовых доходностей многомерное tраспределение может давать более высокие результаты, чем обобщенноераспределение ошибки и распределение Грама – Шарлье, причем векторныйпараметр степеней свободы может быть предпочтительнее скалярного.Во-вторых, при составлении портфелей многомерное t-распределениеможет не давать дополнительной выгоды по сравнению с многомернымнормальнымраспределениемприминимизациидисперсиидоходностипортфеля без ограничений.

Многомерное нормальное распределение можетобеспечиватьнизкуюфактическуюволатильность,амногомерноеt-распределение с вектором степеней свободы – высокую фактическую среднююдоходность при минимизации дисперсии портфеля с заданной ожидаемойдоходностью. Многомерное нормальное распределение может обеспечиватьвысокую фактическую среднюю доходность, а многомерное t-распределение с10вектором степеней свободы – низкую фактическую волатильность примаксимизации ожидаемой доходности портфеля с заданной дисперсией.Апробация результатов исследования. Результаты диссертации былиапробированы на следующих конференциях и научных семинарах:1.

Совместный научный семинар кафедры математической экономики иэконометрики и лаборатории макроструктурного моделирования экономикиРоссии. НИУ ВШЭ, Москва, 10 июля 2012 г.2. IVМеждународнаянаучно-практическаяконференциястудентовиаспирантов «Статистические методы анализа экономики и общества». НИУВШЭ, Москва, 16 мая 2013 г.3. Семинар«Многомерныйстатистическийанализивероятностноемоделирование реальных процессов».

ЦЭМИ РАН, Москва, 22 мая 2013 г.4. Научно-практическаяконференция«Эконометрическиеметодыв исследовании глобальных экономических процессов», совместный доклад сШведовым А.С. МГИМО, Москва, 29 октября 2013 г.5. Семинар исследовательского проекта Российской Экономической Школы«Econometrics of many financial assets», РЭШ, 7 февраля 2014 г.Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах общимобъемом 8,7 п.л. Три из них опубликованы в российских рецензируемыхжурналах, рекомендованных ВАК Министерства образования науки РФ.Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пятиглав, заключения, списка литературы и приложений к главам 1 и 2. Общийобъем работы – 307 страниц, из них 160 страниц текста, включая 25 таблиц и12 рисунков, и приложения на 135 страницах. Список использованнойлитературы содержит 115 наименований на 12 страницах.II.

Основные положения диссертацииВо введении обосновываются актуальность, цели и структура диссертацииповыборуэконометрическихмоделей11длямногомерныхфинансовыхвременных рядов, составлению портфелей с помощью таких моделей иразвитию теории многомерного t-распределения с вектором степеней свободы.В первой главе проведено сравнение новой вероятностной модели длядоходностей мировых фондовых индексов на основе многомерного tраспределения с вектором степеней свободы с моделями на основеклассического многомерного t-распределения, обобщенного распределенияошибки и распределения Грама – Шарлье.Использованы дневные логарифмические доходности фондовых индексовS&P 500, FTSE 100, CAC 40, DAX, Hang Seng и Nikkei 225 с ноября 1990 г. пооктябрь 2012 г.

Первые 3261 наблюдение задействованы при оцениваниимоделей, а последние 1630 – при проверке их предсказательной способности.Для вектора доходностей построены четыре модели: модели с tраспределениями с вектором и скаляром степеней свободы, с обобщеннымраспределением ошибки26 и распределением Грама – Шарлье27.Вектор условных ожиданий задан как t  c  Q rt 1 , где rt – d -мерныйвектор доходностей, а c и Q – d -мерный вектор и d  dматрицасоответственно.

Динамика H t  Vt 1 rt  описывается моделью BEKK(1,1)28:H t    A t 1 t1 A  BH t 1 B ,где  – d  d нижняя треугольная матрица с положительными диагональнымиэлементами, A и B – d  d матрицы и  t  rt   t – вектор шоков.Функция плотности распределения вектора доходностей имеет вид ( d  2 ):1  1     2 2ft 1 (rt )  (2 ) 1 A1 t  1    2  212 111  ( rt  t ) At ( rt  t )  2261 121  2 1 (rt1  t1 ) 2 1 At11  2.Giller, G.A generalized error distribution / Giller Investments Research Note 20031222/1, 2005.Del Brio, E., Niguez, T., Perote, J.

Multivariate Gram-Charlier densities / Working paper, 2008.28Engle, R., Kroner, K. Multivariate simultaneous generalized ARCH // Econometric Theory. 1995.Vol. 11. PP. 122-150.2712Она соответствует двумерному t-распределению с параметрамиt 2,положительно определенной 2  2 матрицей At и вектором степеней свободы 1 ,  2  с 1  0,  2  1 2 (скаляр степеней свободы соответствует  1   2   ).j 1, j  1,..., d имеем At  PPt t с2 2ad  j 1  d  j  1 j 1 2ad i  d  i  1Pt  U t diag ,j1,...,d,(1)22adii0diгде U t – нижняя треугольная матрица с положительной диагональю, такая чтоВ работе показано, что при  j H t  U tU t (разложение Холецкого).

Формула (1) позволяет перейти от H t к At .Из 6 временных рядов доходностей фондовых индексов составлены 15 пар,и для каждой пары с помощью теста на основе информационного критерияКульбака – Лейблера29 проведено сравнение четырех упомянутых моделей.В результате сравнения в 8 из 15 случаев многомерное t-распределение свектором степеней свободы дает более высокое качество подгонки к данным ипредсказательную способность вне выборки по сравнению с классическим tраспределением.

Обобщенное распределение ошибки и распределение Грама –Шарлье на рассмотренных рядах показывают более слабые результаты.Вовторойглавепостроены10-мерныеVAR-MGRACHмоделидоходностей акций российских компаний на основе t-распределений с вектороми скаляром степеней свободы, а также нормального распределения. С помощьюмоделей составлены портфели различных типов и проведено их сравнение.Использованы дневные логарифмические доходности по 14 наиболееликвидным акциям, котировавшимся на Московской Бирже с июля 2008 г. пофевраль 2013 г. Сформированы 16 наборов акций, упорядоченных по убываниюликвидности.Тест рассмотрен в Vuong, Q.

Likelihood ratio tests for model selection and non-nestedhypotheses // Econometrica. 1989. Vol. 57. PP. 307-333.2913Как и в главе 1, вектор условных ожиданий задан как t  с  Q rt 1 (ноd  10 ). Для матрицы Ht  Vt 1 (rt ) используется DCC-GARCH(1,1) модель30:H t  Dt Rt Dt ,Qt  (1  a  b)S  a t 1 t1  bQt 1 ,где Dt – диагональная матрица условных стандартных отклонений видаGARCH(1,1), Rt – уловная корреляционная матрица (нормированная Qt ), S –матрица безусловных корреляций  t и a  0 , b  0 , a  b  1 .Модельвекторадоходностейакцийнаосновемногомерногоt-распределения с вектором степеней свободы имеет видft 1 (rt )  (2 )d2d ( )Atd ( ) j  j 11 d 12 1[d  j ][ d  j ] 1(rt  t )[ d  j ] 1  (rt  t )   At2j 0 ,где для вектора степеней свободы   (1,..., d ) и вектора   (1,..., d ) имеемj j 11d 1,,  j   j  , j  1,..., d ,  0   0  0,  d 1   d 1 222At – положительно определенная d  d матрица,  ( )  dd ( d 1)4d  j 1jj 1,2 (rt  t )[ d  j ] – вектор из первых [d  j ] компонент rt  t , а At[ d  j ] – матрица изпервых [d  j ] строк и столбцов At .

Переход от H t к At дает формула (1).Для каждого из 16 наборов акций на первых 760 наблюдениях былиоценены 10-мерные модели VAR(1)-DCC-GARCH(1,1) с t-распределениями свектором и скаляром степеней свободы, а также с нормальным распределением.С помощью моделей составлены классические портфели.31 По полученным48 моделям построены прогнозы  t и H t на последние 379 наблюдений иопределены доли акций в портфелях трех типов: безусловный минимумдисперсии (AMV), минимум дисперсии при ожидании не ниже r (CMV),максимум ожидания при дисперсии не выше v (CME).30Engle, R.F.

Dynamic conditional correlation: A simple class of multivariate generalizedautoregressive conditional heteroskedasticity models // Journal of Business and EconomicStatistics. 2002. Vol. 20. PP. 339-350.31Основы подхода заложены в книгах Markowitz, H.M. Portfolio Selection: EfficientDiversification of Investments. N.Y.: Wiley, 1959; Sharpe, W.F. Portfolio theory and capitalmarkets. N.Y.: McGraw-Hill, 1970.14Для r  0,5 и v  50 получены следующие результаты.

Для AMVпортфелей ни одно из рассмотренных распределений не может считатьсяпредпочтительным, поскольку динамика стоимости этих портфелей дляпостроенных моделей оказалось достаточно близкой. Для CMV портфелейнаилучшие результаты дают нормальное распределение и t-распределение свекторомстепенейсвободы.Нормальноераспределениеобеспечиваетминимальную фактическую волатильность, а t-распределение с векторомстепеней свободы – максимальную фактическую среднюю доходность длянаиболее ликвидных CMV портфелей. Для CME портфелей лидируют такженормальное распределение и t-распределение с вектором степеней свободы.Максимум фактической средней доходности для CME портфелей обеспечиваетнормальное распределение, а минимум фактической волатильности длябольшинства таких портфелей – t-распределение с вектором степеней свободы.В третьей главе выведены общая формула и условия существованиямоментов многомерного t-распределения с вектором степеней свободы, егоодномерные маргинальные функции плотности и характеристические функций,а также предложен алгоритм симулирования данного распределения.Для матрицы M  {mij }, 1  i, j  d и k  1,..., d обозначим подматрицыM [ k ]  {mij }, 1  i, j  k и M [ k ]  {mij }, d  k  1  i, j  d .

Пусть   d и A –положительно определенная d  d матрица. Для a  (a1 ,..., ad ) и b  (b1 ,..., bd )j 11d 1, j  1,..., d , a0  0 , ad 1 предполагаем a j , b j  a j  , j  1,..., d ,222d ( d 1) dd 1j 1b0  0 , bd 1 . Пусть также d (a)   4    a j .22 j 1Определение 1.

Случайный вектор X  d имеет многомерное t-распределение с вектором степеней свободы с параметрами  , a , A , если егофункция плотности имеет видf X ( x)  (2 )d21d (b)  12 d 1  1A  1  ( x   )[ d  j ]  A[ d  j ]  ( x   )[ d  j ]  d (a)2j 0 15b j b j 1.(2)Положим Z  P 1 ( X   ) , где P – нижняя треугольная d  d матрица,такая что A  PP .

Характеристики

Список файлов диссертации