Диссертация (1137309), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Vol. 20. PP. 339-350.21Шведов, А.С. Бета-распределение случайной матрицы и его применение в моделисостояние-наблюдение / Препринт WP2/2009/01. М.: Изд. дом НИУ ВШЭ, 2009.5распределениями. Были также поставлены цели построения асимметричноймодификации многомерного t-распределения с вектором степеней свободы ивывод копулы на его основе. К другим целям относились вывод теоретическихсвойств данного распределения и получение алгоритма его симулирования.Достижение данных целей потребовало решения следующих задач:1.
Эмпирическое сравнение свойств многомерного t-распределения с векторомстепенейсвободысдругимигибкимипараметризациямивзадачепрогнозирования условного распределения доходностей фондовых индексов.2. Сравнениеэмпирическихсвойствоптимальныхпортфелейакций,составленных с помощью модели на основе многомерного t-распределения свектором степеней свободы и моделей на основе других распределений.Кроме того, для данного распределения решены следующие задачи:3. Вывод общей формулы и условий существования смешанного момента.4. Разработка методики построения многомерных GARCH моделей.5.
Вывод маргинальных функций плотности и характеристических функций(для стандартизованного распределения).6. Построение копулы (для стандартизованного распределения).7. Построение асимметричной модификации.8. Получение алгоритма симулирования.Научная новизна исследования состоит в первом опыте эмпирическогоприменения многомерного t-распределения с вектором степеней свободы примоделировании финансовых доходностей и составлении портфелей, а также ввыводе теоретических свойств данного распределения.Использование классического многомерного t-распределения достаточнопопулярно в финансовой эконометрике,22 поскольку оно дает хорошиерезультаты при моделировании условного распределения доходностей иСм.
Fiorentini, G., Sentana, E., Calzolari, G. Maximum likelihood estimation and inference inmultivariate conditionally heteroscedastic dynamic regression models with Student t innovations //Journal of Business and Economic Statistics. 2003. Vol. 21. PP. 532-546.226составлении финансовых портфелей.23 С точки зрения моделированияфинансовых доходностей рассматриваемое в диссертации t-распределение свектором степеней свободы является более продвинутым по сравнению склассическимпозволяетt-распределением.моделироватьдляВо-первых,каждоговекторстепенеймаргинальногосвободыраспределениядоходностей свой индивидуальный эксцесс, что дает возможность учестьбольше информации о каждом активе.
Во-вторых, наличие дополнительныхпараметров степеней свободы делает более гибким моделирование различий вхвостовых зависимостях между разными парами доходностей. В настоящейдиссертации многомерное t-распределение с вектором степеней свободывпервые применено для моделирования динамики финансовых доходностей исоставления портфелей.Теоретические свойства классического многомерного t-распределенияхорошо изучены.24 В то же время многомерное t-распределение с векторомстепеней свободы предложено недавно, и его теория еще недостаточно развита.Диссертация содержит развитие теории многомерного t-распределения свектором степеней свободы.
Выведены формула смешанного момента общеговида с условиями существования, формулы одномерных маргинальныхфункций плотности и характеристических функций, получена методикапостроения произвольной многомерной GARCH модели, предложен алгоритмсимулирования, асимметричная модификация25 и построена копула.Все результаты работы получены автором лично и являются новыми сучетом одного замечания. Лемма 10 главы 3 могла быть доказана ранее, однакоСм. Ku, Y-H.H.
Student-t distribution based VAR-MGARCH: an application of the DCC modelon international portfolio risk management // Applied Economics. 2008. Vol. 40 (13). PP. 16851697.24См., например, Kotz, S., Nadarajah, S. Multivariate t Distributions and Their Applications.Cambridge University Press, 2004; Kotz, S., Nadarajah, S. Estimation Methods for the Multivariatet Distribution // Acta Applicandae Mathematicae. 2008. Vol.
102 (1). PP. 99-118.25Для случая скаляра степеней свободы подобная модификация предложена в [Bauwens,Laurent, 2005].237обнаружить опубликованное ее доказательство автору не удалось, и поэтому вдиссертации приведен авторский вариант ее доказательства.Методы исследования. В работе использовались методы эконометрики,анализа временных рядов, портфельной теории, теории специальных функций,а также теории вероятностей и математической статистики.Теоретическая и практическая значимость результатов исследования.Теоретическая значимость результатов работы состоит в том, что с помощьювыведенных свойств многомерного t-распределения с вектором степенейсвободыиобъектовнаегоосноверазвиваютсясуществующиеэконометрические модели и строятся новые.Формуласмешанногомоментасусловиямисуществованиядлястандартизованного многомерного t-распределения с вектором степенейсвободы имеет достаточно простую аналитическую запись, а соответствующаяформуладлянестандартизованногораспределенияможетлегкобытьреализована на компьютере.
Формула смешанного момента для многомерногоt-распределения с вектором степеней свободы содержит важную информацию оструктуре зависимости между компонентами случайного вектора с этимраспределением. Данная формула дает возможность построения многомерныхGARCH моделей на основе t-распределения с вектором степеней свободы.Маргинальные функции плотности и характеристические функции длястандартизованного многомерного t-распределения с вектором степенейсвободы представляют интерес, поскольку описывают класс распределений стяжелыми хвостами, форма которых зависит от произвольного числапараметров (обычное t-распределение является простейшим представителемэтого класса). По-видимому, полученный класс распределений является новым(автору не удалось найти его в литературе), однако из осторожности в числоновых результатов диссертации это не включается.
Теоретическая значимостьданного класса распределений заключается в том, что одномерные GARCHмодели на его основе не могут давать более слабые результаты при8моделировании волатильности, чем популярная GARCH модель на основеобычного t-распределения. Выведенные маргинальные функции плотностиважны также, поскольку позволяют построить копулу на основе многомерногоt-распределениясвекторомстепенейсвободы.Даннаякопуладаетвозможность более гибко моделировать различия хвостовых зависимостеймежду компонентами случайного вектора, чем классическая t-копула, за счетналичия отдельного параметра степеней свободы у каждого компонента.Предложенный алгоритм симулирования многомерного t-распределения свектором степеней свободы основан на выражении данного распределениячерез матрицу и вектор с известными распределениями, симулированиекоторых не представляет проблемы. Таким образом, данный алгоритм является«прямым» и не связан с применением методов Монте-Карло с цепями Маркова,в чем заключается его теоретическая ценность.Наконец,теоретическаязначимостьпостроеннойасимметричноймодификации многомерного t-распределения с вектором степеней свободызаключается в том, что в данной модификации параметры, контролирующиемерыасимметриииэксцессамаргинальныхраспределений,являютсявекторными.
Соответственно, предложенное модифицированное распределениеявляется более гибким, чем варианты классического многомерного скошенногоt-распределения.Теоретические факты о многомерном t-распределении с вектором степенейсвободы, полученные в работе, позволяют использовать данное распределениево многих приложениях, в первую очередь для моделирования финансовыхдоходностей, и в этом заключается практическая значимость данной работы.Формула ковариационной матрицы многомерного t-распределения свектором степеней свободы позволяет строить многомерные GARCH модели наего основе. В работе это продемонстрировано для моделей BEKK на данных одоходностях фондовых индексов и моделей DCC-GARCH на данных одоходностях акций российских компаний.9На основе выведенных одномерных маргинальных функций плотностиможно построить GARCH модели для доходностей с качеством соответствияданным не меньшим, чем в популярной GARCH модели с t-распределением.Стандартизованная t-копула и стандартизованное асимметричное tраспределение с вектором степеней свободы могут применяться длямоделированияцентрированныхинормированныхшоковфинансовыхдоходностей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
