Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики Т.2 (2001) (1135800), страница 13
Текст из файла (страница 13)
¦¨áã. ®á¯à®¨§¢¥¤¥¬¨å à£ã¬¥âë. ãáâì ¯®«®áâì ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᮡ®© ¯àאַ㣮«ìë© ïé¨ªá «¨¥©ë¬¨ à §¬¥à ¬¨ Lx; Ly ; Lz ¢¤®«ì ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ª®®à¤¨ ⮩®á¨. áᬮâਬ áâ®ï稥 í«¥ªâ஬ £¨âë¥ ¢®«ë ¢¤®«ì ®á¨ x. ⨠ª®«¥¡ ¨ï íª¢¨¢ «¥âë ª®«¥¡ ¨ï¬ áâàã¥. å ¤«¨ë ¢®« (ç áâ®âë)¤®«¦ë 㤮¢«¥â¢®àïâì á®®â®è¥¨î: Lx = n=2 , ®âªã¤ ¤«ï ¯à®¥ªæ¨¨¢®«®¢®£® ¢¥ªâ®à 室¨¬ kx = n=Lx. ¨á«® n 㬥àã¥â à §ë¥ â¨¯ë¢®«, áãé¥áâ¢ãî騥 áâà㥠¤«¨ë Lx. ®í⮬ã ç¨á«® ⨯®¢ áâ®ïç¨å¢®« á ¯à®¥ªæ¨ï¬¨ ¢®«®¢®£® ¢¥ªâ®à ¢ ¨â¥à¢ «¥ ®â kx ¤® kx + dkx à ¢®:(27.12)dnx = dkx L2x :ë 㬥ì訫¨ १ã«ìâ â ¢ ¤¢ à § , ¯®â®¬ã çâ® áâ®ï稥 ¢®«ë á ¢®«®¢ë¬¨ ç¨á« ¬¨ kx ¨ kx | íâ® ®¤® ¨ â® ¦¥ ª®«¥¡ ¨¥ ( ¯à ¢«¥¨ïà á¯à®áâà ¥¨ï ¤«ï áâ®ïç¨å ¢®« ¥ áãé¥áâ¢ã¥â). «®£¨çë¥ ä®à¬ã«ë ¬®¦® § ¯¨á âì ¤«ï áâ®ïç¨å í«¥ªâ஬ £¨âëå ¢®« ¢¤®«ì ®á¥© y ¨ z :(27.13)dny = dky L2y ; dnz = dkz 2Lz ;¥à¥¬®¦ ï í⨠ãà ¢¥¨ï, 室¨¬ ¯®«®¥ ç¨á«® ⨯®¢ ª®«¥¡ ¨© ¢¯àאַ㣮«ì®© ¯®«®áâ¨, ¢®«®¢ë¥ ¢¥ªâ®àë ª®â®àëå «¥¦ â ¢ ¨â¥à¢ «¥84®â ~k ¤® ~k + d~k :« ¢ 27.
¢ ⮢ ï ¯à¨à®¤ ¨§«ã票ïdN = 2 dnx dny dnz = 2 dkx dky dkz L(2xLy)L3 z :(27.14)¤¥áì ¬ë 㢥«¨ç¨«¨ १ã«ìâ â ¢ ¤¢ à § , ç⮡ë ãç¥áâì ¯®¯¥à¥ç®áâìí«¥ªâ஬ £¨âëå ¢®«: ¯à¨ ¤ ®© ¤«¨¥ ¢®«ë ª®«¥¡ ¨ï ¬®£ãâ ®áãé¥á⢫ïâìáï ¢ ¤¢ãå ¢§ ¨¬® ®à⮣® «ìëå ¯à ¢«¥¨ïå.ᯮ«ì§ãï áä¥à¨ç¥áª¨¥ ª®®à¤¨ âë, ¬®¦¥¬ § ¯¨á âì:dkxdky dkz = 4k2 dk:(27.15)ç¨âë¢ ï k = 2= = !=c, ¯®«ãç ¥¬ ®âáî¤ :44322dkxdky dkz = c3 ! d! = 4 d:(27.16)ந§¢¥¤¥¨¥ V = LxLy Lz ¥áâì ®¡ê¥¬ ¯®«®áâ¨.
室¨¬ ⮣¤ ¤«ï ç¨á« ⨯®¢ ª®«¥¡ ¨©, ¯à¨å®¤ïé¨åáï ¥¤¨¨çë© ®¡ê¥¬:dN = !2 d! = 8 d:(27.17)V 2c34 «¥¥ í«¥© ¨ ¦¨á ¯à¨¬¥¨«¨ ª« áá¨ç¥áªãî ⥮६㠮 à ¢®à á¯à¥¤¥«¥¨¨ í¥à£¨¨ ¯® á⥯¥ï¬ ᢮¡®¤ë: ª ¦¤ãî á⥯¥ì ᢮¡®¤ë ¢ª« áá¨ç¥áª®© áâ â¨áâ¨ç¥áª®© á¨á⥬¥ ¯à¨å®¤¨âáï í¥à£¨ï kB T=2 (§¤¥áìkB | ¯®áâ®ï ï ®«ìæ¬ ). £ ମ¨ç¥áª®£® ®á樫«ïâ®à á।ï直¥â¨ç¥áª ï í¥à£¨ï à ¢ á।¥© ¯®â¥æ¨ «ì®©, ¨ ¯®í⮬㠥£® á।ïï í¥à£¨ï à ¢ kB T . í«¥ªâ஬ £¨â®© ¢®«¥ ª®«¥¡«îâáï ¢¥ªâ®àë ¯à殮®á⥩ í«¥ªâà¨ç¥áª®£® ¨ ¬ £¨â®£® ¯®«ï, ª®â®àë¥ ¤ îâ ®¤¨ ª®¢ë© ¢ª« ¤ ¢ á।¨© ¯®â®ª í¥à£¨¨. ®í⮬㠤«ï ᯥªâà «ì®© ¯«®â®á⨠í¥à£¨¨ ¨§«ã票ï í«¥© ¨ ¦¨á 諨 ¢ëà ¦¥¨¥:2dN!u(!; T ) = kB T V d! = kB T 2c3 ;u(; T ) = kB T VdNd = kB T 84 :(27.18)®®â¢¥âá⢥®, ¤«ï ¨á¯ã᪠⥫쮩 ᯮᮡ®á⨠ç¥à®£® ⥫ ¯®«ãç îâáï ¢ëà ¦¥¨ï:2!cr! = 4 u(!; T ) = kB T 42 c2 ;r = 4c u(; T ) = kB T 2c4 :(27.19)27.4. ª® ¨§«ãç¥¨ï « ª 85«ï ¤«¨ëå ¢®« ä®à¬ã« í«¥ï-¦¨á ¤ ¥â å®à®è¥¥ ᮢ¯ ¤¥¨¥á íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨, ® ¯à¨ ª®à®âª¨å ¤«¨ å ¢®«, â.¥.
¢®¡« á⨠¡®«ìè¨å ç áâ®â, à áç¥âë¥ § 票ï ᯥªâà «ì®© ¯«®â®á⨠r!¯¥à¥áâ îâ ᮢ¯ ¤ âì á íªá¯¥à¨¬¥â®¬ (ªà¨¢ ï ã室¨â ¡¥áª®¥ç®áâì).஬¥ ⮣®, í¥à£¥â¨ç¥áª ï ᢥ⨬®áâì ç¥à®£® ⥫ â ª¦¥ ¯®«ãç ¥âá᪮¥ç®©:11ZZR =? r! d! = 4kT2c2 !2d! ! 1:(27.20)00®§¤ ¢è¥¥áï ¯®«®¦¥¨¥ ¡ë«® §¢ ® \ã«ìâà 䨮«¥â®¢®© ª â áâà®ä®©". ª¨¬ ®¡à §®¬, ª« áá¨ç¥áª ï 䨧¨ª ®ª § « áì ¥ ¢ á®áâ®ï¨¨ ®¡êïá¨âì¢ ¦ë¥ íªá¯¥à¨¬¥â «ìë¥ ¤ ë¥.27.4 ª® ¨§«ãç¥¨ï « ª .
« ª 㪠§ « ¢ë室 ¨§ á®§¤ ¢è¥£®áï ¯®«®¦¥¨ï, ¢ë¤¢¨ã¢ £¨¯®â¥§ã,çâ® í«¥ªâ஬ £¨â ï í¥à£¨ï ¨á¯ã᪠¥âáï ¨ ¯®£«®é ¥âáï ¥ ¥¯à¥à뢮, ®â¤¥«ì묨 ¯®àæ¨ï¬¨ (ª¢ â ¬¨) " = ~!. ®íä䍿¨¥â ¯à®¯®à樮 «ì®á⨠¢ á®®â®è¥¨¨ ¬¥¦¤ã í¥à£¨¥© " ¨ ç áâ®â®© ᢥâ ! ¨¬¥¥â ¢ à §¬¥à®áâì ¦ á ¨ §ë¢ ¥âáï ⥯¥àì ¯®áâ®ï®© « ª ~ (¢¯®á«¥¤á⢨¨ ãáâ ®¢¨«¨ ¥¥ ç¨á«¥®¥ § 票¥: ~ 1:055 10 34 ¦ á). ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ ¯à¨å®¤¨âáï ¯à¨ïâì, çâ® í¥à£¨ï «î¡®© ª®«¥¡ ⥫쮩 á¨á⥬ë, ¨§«ãç î饩 í«¥ªâ஬ £¨âë¥ ¢®«ë, ¬®¦¥â ¯à¨¨¬ âì «¨èì ¤¨áªà¥âë© ¡®à § 票© "n = n~!, ªà âëå ᮡá⢥®©ç áâ®â¥ ª®«¥¡ ¨©.áå®¤ï ¨§ £¨¯®â¥§ë ® ª¢ ⮢ ¨¨ í¥à£¨¨ ª®«¥¡ ¨©, « ª ¯®«ã稫 «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¨á¯ã᪠⥫쮩 ᯮᮡ®á⨠ç¥à®£®â¥« . «ï ¨§«ãç¥¨ï ¢ á®áâ®ï¨¨ à ¢®¢¥á¨ï ¯®-¯à¥¦¥¬ã ¯à¨¬¥ï¥âáïà á¯à¥¤¥«¥¨¥ ®«ìæ¬ .
¥à®ïâ®áâì Pn ⮣®, çâ® í¥à£¨ï ª®«¥¡ ¨ïá ç áâ®â®© ! à ¢ "n = n~!, ®¯à¥¤¥«ï¥âáï ä®à¬ã«®©:Pn = Ce n~!=kB T :(27.21)㬬 ¢á¥å ¢¥à®ïâ®á⥩ à ¢ ¥¤¨¨æ¥, ®âªã¤ ¬ë 室¨¬ ®à¬¨à®¢®çë© ª®íä䍿¨¥â C :C=1P exp( n~!=k T ) :B1n=0(27.22)86« ¢ 27. ¢ ⮢ ï ¯à¨à®¤ ¨§«ã票ï।ïï í¥à£¨ï ª®«¥¡ ¨ï á ç áâ®â®© ! à ¢ :1Pn~! exp( n~!=kB T )1Xn=0h"i = "n Pn = P:1n=0exp( n~!=k T )n=0B(27.23)¥â®¤ à áç¥â â ª¨å á㬬 ®á®¢ ¢ëà ¦¥¨¨ ¤«ï £¥®¬¥âà¨ç¥áª®©¯à®£à¥áᨨ ¨ ä®à¬ã«ë, ¯®«ãç ¥¬®© ¨§ ¥¥ ¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ ¨¥¬:1Xqn = 1 1 q ;n=01X nnq = (1 q q)2 ;n=01Pnqnn=0P1 qnn=0=q = 1 :1 q 1=q 1(27.24)®¤áâ ¢«ïï áî¤ q = exp( ~!=kB T ), 室¨¬ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï á।¥©í¥à£¨¨ ª®«¥¡ ¨ï:~!:(27.25)h"i = exp(~!=kBT ) 1ਠ¢ë᮪¨å ⥬¯¥à âãà å (¬ «ëå ç áâ®â å ~! kB T ), íªá¯®¥âã ¢§ ¬¥ ⥫¥ ¬®¦® à §«®¦¨âì:e~!=kB T 1 + k~!T ;B®âªã¤ ¯®«ãç ¥¬ ª« áá¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥¨¥:h"i kB T:¬®¦ ï ⥯¥àì ç¨á«® ª®«¥¡ ¨© ¢ ¥¤¨¨æ¥ ®¡ê¥¬ á।îî í¥à£¨î ª®«¥¡ ¨ï, ¯®«ãç ¥¬ ä®à¬ã«ã « ª ¤«ï ᯥªâà «ì®© ¯«®â®áâ¨í¥à£¨¨ ⥯«®¢®£® ¨§«ã票ï:~! 3dN(27.26)u(!; T ) = h"i V d! = 2c3 exp(~!=k1 T ) 1 :B27.4. ª® ¨§«ãç¥¨ï « ª 87ਠ¬ «ëå ç áâ®â å (¡®«ìè¨å ¤«¨ å ¢®«) ®âáî¤ á«¥¤ã¥â ä®à¬ã« í«¥ï-¦¨á .
«ï ¨á¯ã᪠⥫쮩 ᯮᮡ®á⨠室¨¬ ⥯¥àì ¢ëà ¦¥¨¥:c~! 3r! = 4 u(!; T ) = 42 c2 exp(~!=k1 T ) 1 :(27.27)B«ï ᯥªâà «ì®© ¯«®â®á⨠¨ ¨á¯ã᪠⥫쮩 ᯮᮡ®á⨠¢ ¥¤¨¨ç®¬¨â¥à¢ «¥ ¤«¨ ¢®« ¨¬¥¥¬:162 ~c1dN;u(; T ) = h"i V d = 5 exp(2~c=kBT) 12 21r = 4c u(; T ) = 4~5 c exp(2~c=k: (27.28)BT) 1 ¯®¬¨¬: §¤¥áì c | ᪮à®áâì ᢥ⠢ ¢ ªã㬥, ~ | ¯®áâ®ï ï « ª , | ¤«¨ ¢®«ë, ! | ªà㣮¢ ï ç áâ®â , kB | ¯®áâ®ï ï ®«ìæ¬ .¨á. 27.4: à ¢¥¨¥ ¨á¯ã᪠⥫쮩 ᯮᮡ®á⨠r ç¥à®£® ⥫ ¯à¨ T = 2500 ᮣ« á® § ª®ã « ª ¨ íªá¯¥à¨¬¥âã (ᯫ®è ï «¨¨ï) ¨ § ª®ã í«¥ï-¦¨á (¯ãªâ¨à ï «¨¨ï).ª § «®áì, çâ® ä®à¬ã« « ª â®ç® ᮣ« áã¥âáï á íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨 ¢® ¢á¥¬ ¨â¥à¢ «¥ ¤«¨ ¢®«, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª § ª® í«¥ï¦¨á , ª ª 㦥 £®¢®à¨«®áì, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤ ë¬ ®¯ëâ ⮫쪮 ¯à¨¡®«ìè¨å ¤«¨ å ¢®« (à¨á. 27.4).
®«¥¥ ⮣®, ¨§ § ª® « ª ¥¯®á।á⢥® ¯®«ãç ¥âáï § ª® â¥ä -®«ìæ¬ :Z1Z13 d!!~(27.29)R = r! d! = 42c2 exp(~!=k T ) 1 :B0088« ¢ 27. ¢ ⮢ ï ¯à¨à®¤ ¨§«ã票¤¥¬ ¡¥§à §¬¥àãî ¯¥à¥¬¥ãî ¨â¥£à¨à®¢ ¨ï x = ~!=kB T : d! =dx kB T=~. १ã«ìâ ⥠í⮣® ¯®«ãç ¥¬:Z x3dx4k4BR = T 42c2~3 ex 1 = T 4:1(27.30)0ᯮ«ì§ãï ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¨â¥£à « Z1 x3dx0ex4= ;1 15 室¨¬ «¨â¨ç¥áª®¥ ¢ëà ¦¥¨¥ ¤«ï ¯®áâ®ï®© â¥ä -®«ìæ¬ :2k4(27.31) = 60c2 ~B3 = 5:67 10 8 ¬2â 4 :¨á«¥®¥ ¥¥ § 票¥ ᮣ« áã¥âáï á ¯à¨¢¥¤¥ë¬¨ íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨¤ 묨.§ ä®à¬ã«ë « ª á«¥¤ã¥â â ª¦¥ § ª® á¬¥é¥¨ï ¨ . ᫨ ¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ âì ä®à¬ã«ã « ª (27.28) ¤«ï r ¯® ¨ ¯à¨à ¢ïâìª ã«î ¯à®¨§¢®¤ãî, â® ¬®¦® ©â¨ ¯®«®¦¥¨¥ ¬ ªá¨¬ã¬ .
¥©á⢨⥫ì®,dr = d 6 e k2B~Tc 142c2~0 2~c 2 ce kB TkTB@ 2 c~e~kB T115A :(27.32)¢¥¤ï ¡¥§à §¬¥àãî ¯¥à¥¬¥ãî y = 2~c=kB T ¨ ¯à¨à ¢¨¢ ï ã«î¯à®¨§¢®¤ãî dr=d , ¯®«ã稬 ãà ¢¥¨¥:5 y = 5e y :(27.33)®à¥ì í⮣® ãà ¢¥¨ï ymax = 4:965 ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì § ª® á¬¥é¥¨ï¨ :~c = 2:898 10 3 ¬ :(27.34)b = Tmax = 4:2965kB ª¨¬ ®¡à §®¬, ä®à¬ã« « ª ¥ ⮫쪮 å®à®è® ᮣ« áã¥âáï á íªá¯¥à¨¬¥â «ì묨 ¤ 묨, ® ¨ ᮤ¥à¦¨â ¢ ᥡ¥ ¢á¥ ç áâë¥ § ª®ë⥯«®¢®£® ¨§«ã票ï, â ª¦¥ ¯®§¢®«ï¥â ¢ëç¨á«¨âì ¯®áâ®ïë¥ ¢ íªá¯¥à¨¬¥â «ìëå § ª® å ⥯«®¢®£® ¨§«ã票ï.27.4. ª® ¨§«ãç¥¨ï « ª 89ë ¨áª «¨ ¬ ªá¨¬ã¬ à á¯à¥¤¥«¥¨ï r ¯® ¤«¨ ¬ ¢®«.
® ¨§«ã票¥ ç¥à®£® ⥫ ¬®¦® å à ªâ¥à¨§®¢ âì â ª¦¥ ¨ à á¯à¥¤¥«¥¨¥¬ r! ¯®ç áâ®â ¬. ©¤¥¬ ¤«ï áà ¢¥¨ï ¬ ªá¨¬ã¬ í⮣® à á¯à¥¤¥«¥¨ï. «ïí⮣® ¤® ¯à®¤¨ää¥à¥æ¨à®¢ âì (27.27):~!kB T~!kB Tdr! =~! e3~!d! 4c2 e kB T 1kB T e~! 2!1:(27.35)¢®¤ï ¡¥§à §¬¥àãî ¯¥à¥¬¥ãî z = ~!=kB T , ¯®«ãç ¥¬ ãà ¢¥¨¥ ¤«ïâ®çª¨ ¬ ªá¨¬ã¬ à á¯à¥¤¥«¥¨ï r! :3 z = 3e z ;(27.36)ª®â®à®¥ ¨¬¥¥â ª®à¥ì zmax = 2:821. âáî¤ á«¥¤ã¥â, çâ® ¬ ªá¨¬ã¬ ¨â¥á¨¢®á⨠r! ¯à¨å®¤¨âáï ç áâ®âã(27.37)! = 2:821 kB T :max~⮩ ç áâ®â¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¤«¨ ¢®«ë2 ~c ;(27.38)(!max) = !2c = 2:821kB Tmaxçâ® ¥ ᮢ¯ ¤ ¥â, ¥áâ¥á⢥®, á ¢ëà ¦¥¨¥¬ ¤«ï max.
§ (27.34) ¨(27.38) á«¥¤ã¥â:(!max) = 4:965 = 1:760:(27.39)max2:821 ¤ ç 27.10. ਨ¬ ï, çâ® ®«æ¥ ¨§«ãç ¥â ª ª ç¥à®¥ ⥫®, ¢ëç¨á«¨âì ¥£® í¥à£¥â¨ç¥áªãî ᢥ⨬®áâì ¨ ⥬¯¥à âãàã ¯®¢¥àå®áâ¨. ®«¥çë© ¤¨áª ¢¨¤¥ á ¥¬«¨ ¯®¤ 㣫®¬ = 320 = 9:3 10 3 à ¤.
®â®ªá®«¥ç®© í¥à£¨¨ §¥¬®© ®à¡¨â¥ (â.. ᮫¥ç ï ¯®áâ®ï ï) à ¢¥C = 1:4 ªâ=¬2.¥è¥¨¥. ãáâì à ¤¨ãá ®«æ à ¢¥ r, à ááâ®ï¨¥ ¤® ¥¬«¨ ¥áâìl& . å ®â®è¥¨¥ á¢ï§ ® á 㣫®¢ë¬ ¤¨ ¬¥â஬ ®«æ :r = sin :l&2 2(27.40)90« ¢ 27. ¢ ⮢ ï ¯à¨à®¤ ¨§«ã票ï ᫨ í¥à£¥â¨ç¥áª ï ᢥ⨬®áâì ®«æ ¥áâì R, â® ¯®« ï í¥à£¨ï, ¨§«ãç ¥¬ ï ®«æ¥¬ ¢ ¥¤¨¨æã ¢à¥¬¥¨, à ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥¨î R ¯«®é ¤ì ¯®¢¥àå®á⨠®«æ :2 :W = R 4r(27.41)â í¥à£¨ï ¤®á⨣ ¥â ®à¡¨âë ¥¬«¨, £¤¥ ® à á¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯® ¡®«ì襩¯«®é ¤¨ 4l&2 . âáî¤ å®¤¨¬ ᮫¥çãî ¯®áâ®ïãî: ¨â®£¥ ¯®«ãç ¥¬:22rWC = 4l2 = R l2 R 4 :&&(27.42)341:4104C(27.43)R = 2 = (9:3 10 3 )2 = 64:7 â=¬2:® ä®à¬ã«¥ â¥ä -®«ìæ¬ å®¤¨¬ ⥬¯¥à âãàã ¢¥àå¨å á«®¥¢®«æ : R 1=4 64:7 106 1=4T = = 5800 :5:67 10 8(27.44) ¤ ç 27.11.