Добрица Б.Т., Пелевина А.Ф., Янов И.О. Элементы теории устойчивости (2001) (1135783)
Текст из файла
Московский государственный технический университет имени Н.З. Баумана Б ОСБОВБЫЕ ПОБЯТБЯ (БВ)ч) 5-тоЗЗ-)УЗ2-Х с начальными х г'„'(г, х„х, ... х„) хз (го) х с т е ~' (звм з-таза-паз-х чр ЫГГУ им. Н.Э. Баумана, 2001 Д55 Добрипа Б,Т., Белавина А,Ф., Янов И.О. Элементы теории устойчивости: Методические указания к практическим занятиям. — М.: Бзд-во МГТУ им. Б.З.Баумана, 200 К вЂ” 47 с.„ил, . Представлены необаодимые теоретические сведения и методические уаавнзш к решению задач исследования на устойчнвскть решений систем днфференииавьньа уравнений.
Приведены ссответствуюшне типовые примеры и завачн аая самостоятельного решения. дяя студентов 1-то курса, а такие ввя преподавателей, вевушик семинарские занят ня. ия. рь При проектирования технической системы невозможно учесть все факторы, влияющие на ее функционирование. Кроме того, нельзя избежать погрешностей при изготовлении системы. .ПоэтОму приходится решать ВОпрос ее функциони)зОВания при ' . 'небольшом изменении конструктивных параметров, что приводят к ладачам устойчивости.
Пусть некоторый реальный процесс описывается системой дифференциальных уравнений Здесы — независимая переменная (часто время); хт т)х~ йг' хг(г'), (е à — искомая система функций или вектор-функция, описывающая реальный процесс; з = ((, 2, ... И); х,о ((е Г) — заданные постоянные, так называемые начальные значения. Начальные условия являются результатами измерений; т.е, получены с некоторой погрешностью, поэтому возникает вопрос о'влиянии малого изменения начальных условий на искомое решение. Если малые изменения иачальньзх условий сильно изменяют решение, то такое решение даже приблизительно не может описывать изучаемый процесс. Поэтому возникает важныи гяз- Это приращение не превосходит по модулю приращения начальных значений, т.
е. решение устойчиво. Решение не является асимптотически устойчивым„так как лля любых»2 х ~ 0 )пп !д х (О! !»З хю( ~ О Исследование на устойчивость некоторого решения системы (1,!) х, = ч»,(О» е Х, можно снести к исследованию на устойчивость тривиального решения некоторой системы, если в системе (!. !) сделать замену переменной на новую у~ по формулам . х»'ю у + ч»„»6 Х. Тогда система (1.1) примет вид: у,=Х»(»,у, +12И ...,у„+»р) — фл»я Х, (1.7) с начальнымн условиями у (»о) = О, » я Х. Система (!.7) имеет тривиальное решение у;м О, »я Х. Так как в фазовом пространстве ун у2, ..., у„тривиальное решение представляет 'собой неподвижную точку (О, О, ..., 0), то это решение называют точкой покоя.
В силу зависимости (1.6) исследование на устойчивость решения системы (1.!) Может быть заменено исследованием на устойчивость точки покоя системы (1.7). Так как система (1.7) путем изменения функций может быть записана в вице (1.1), то без ограничения общности в дальнейшем можно считать, что на устойчивость исследуется точка покоя системы (1.1). Пример 1.4. Записать систему дифференциальных уравнений, исследование на устойчивость точки покоя которой равносильно исследованию на устойчивость решения х! - -1, хз = » системы: х, =хз-1+х — '», Х2 Х' Решение; Произволим замену переменной х! = у, + 1, хз — уз+», 'згла у, = (у, + ! ) — 1 + (у + Π— », '(у +.1 = у + 1.
2 ! Получаем искомую систему: 2 у =у + 2 у ! У2 =Уг Сформулируем определения устойчивости, неустойчивости и асимптотической устойчивости лля точки покоя системы (1. !). Определение 4. Точка покоя называется устойчивой по Ляпунову, если для любого е > 0 существует такое Ь > 0 н Т, что для любых начальных значений, удовлетворяющих неравенствам (х, (» )! с Ь, »' а Х ' для всех» с Т решение удовлетворяет неравенствам: )х»' (0~ с е, » я Х, (1.8) ! Следовательно, траектория, начальная точка которой находится в Ь-окрестности начала координат, прн » ~ Т не выходит нз а-окрестности начала координат.
Определение 5. Если существует такое е > 0„ что хотя бы одно из неравенств (1.3) не выполняется, то точка покоя называется неустойчивой. Определение б. Если точка покоя устойчива и удовлетворяет условиям 1нп х (О = О» я Х, при !Х,(»а)! с Ь, (Ь, > О) то она называется аснмптотнчески устойчивой. Пример 1.5. Исследовать на устойчивость точку покоя уравнениях -аш х.
дх Решение. Разделяем переменные — — = й. Интегрируем гйп х ! с)йх= »+-, откуда х = агсгй —. При начальном условии 1 с' 1+ с»' ,х (О = ха получаем решение: 7 ~а х, х (г) = агсщ 1 + г . (а хс' х Х(гс) с+ х,(гс) х (у) - Х(() Х ' (гс) (х, — х (гс)) + х (б . х,= К а„ха+у,'(б,! вЕ, ,~ ! (2.1) х (б =' Х (б с+ х (б, Лля любых х0 это решение по модулю не превосходит начального значения, поэтому точка покоя устойчива по Ляпунову. Так как решение стремится к нулю прн г-+ -, то точка покоя асимптотическн устойчива. Примеры для самостоятельного решения Исследовать на устойчивость точку покоя следующих уравнений: 1. х= з(п х.
2.х=(сов г- бх. 3. х=х а(п а Система (1.1) будет линейной, если функции, стоящие в правой части, линейно зависят от неизвестных хь т. е. где козффициенты а — ' функция от а Предположим, по аа непрерывны на (гс, + ), тогда решение задачи Коши для любых начальных условий х~ (ге) = хв, ! е У, существует' и оно единственно. Исследуем его 'на устойчивость. Запишем общее Решение системы (2Л): гле х (б — матрица-столбец решения, состоящая из х, (б; Х(г)— матрица, столбцами которой являются независимые решения соответствующей однородной системы дифференциальных уравнений; с — матрица-столбец из произвольных постоянных; х.(б — матрица-столбец какого-либо частного решения неоднородной системы (2.1). Подставим начальные условия х,. (г)-- х, ) а Х в общее реше:~11е (2.2): и найдем отсюда вектор 1 1 с Х ' (г) (х — х,(гс)).
Обратная матрица существует, так как Х(г) — невырожденная матрица в силу линейной независимости столбцов. Подставим найденный вектор с в общее решение (2.2). Зададим приращения начальным значениям и запишем соответ):.:, -. ствующее решение: хд (бжХ(б Х (гс) (хс+Ьхс-х (га))+ х (б. Вычитая из последнего решения предыдущее, получим приращение решения .Оно не зависит ни от начальнык значений х, .ни от функций ) ': у,((), позтому совпадает с приращением решения для точки покоя соответствующей однородной системы: Ф Р Таким образом, верна следующая теорема: Теорема 2.1. Исследование на устойчивость любого решения ' линейной системы (2.1) (в том числе неоднородной) равносильно исследованию на устойчивость точки покоя соответствующей однородной линейной системы (2.3). Пример 2.1.
Исследовать на устойчивость решение уравнения 3 х — х+ (г + 1) агой б удовлетворяющее начальному условию х(0) 5. 9 зшг г х=.— х+е, г +1 ан ~ аы " ам ап аи " - ам а, Ф а ... а — 2 6 НИ Ок сходится абсолютно, так как ! зшг 1, — с— гз + 1 г~ + 1 3 — ""'бг с 31' Ч ММ.Ме". Решение: Находить решение задачи Коши не кужно. Составляем соответствующее однородное уравнение х = — х.
Точка покоя этого уравнения асимггготически устойчива (см. пример 1.1). Поэтому по теореме 1 будет аснмптотически устойчиво и решение данной задачи Коши. Пример 2,2. Исследовать на устойчивость решение уравнения Решение. Интегрируем соответствующее однородное уравнение при начальном условии х (О) = ха'. Интеграл неберущийся, поэтому исследуем на сходимость не- собственкый интеграл Из сходимости несобственного интеграла следует ограничен- ность определенного интеграла, т.е.
существует число М, такое„ что для любого г '-.~ го приводит к ограниченности решения: М Если выбрать Ь = е е, то при Ц с Ь из второго неравенства получим )х(О~ с е, что означает устойчивость по Ляпунову точки покоя однородного уравнения, т,е. любого решения исходного уравнения. Асимптотической устойчивости кет, что следует из первого неравенства: 1кп ~с(4а Це ки О, Исследование на устойчивость решений системы (2.3) с переменными коэффициентами а- является задачей весьма сложной, поэтому в дальнейшем ограничимся случаем постоянных коэффициентов. Тогда линейная однородная система (2.3) имеет решения, определяемые коркями характеристического уравнения: Теорема 2.2.
Для асимптотической устойчивости точки покоя однородной линейной системы (2.3) с постоянными коэффициентами необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения (2.4) этой системы имели отрицательную действительную часть. Теорема 2.3. Если хотя бы один из корней характеристического уравнения (2.4) имеет положительную действительную :часть, то точка покоя системы (2З) неустойчква. Эти теоремы не рассматривают случай, когда характеристическое уравнение имеет корни с нулевой действительной частью, при , этом остальные корни имеют отрицательную действительную часть.
Поэтому не может быть асимптотической устойчивости, но ,возможна как устойчивая точка покоя, так и неустойчивая. Пример 2.3. Исследовать на устойчивость точку покоя системы (1-~ Решение. Характеристическое уравнение заданной системы имеет два нулевых корня. Исключим из системы хь тогда х~ = О. Решаем зто уравнение и, дифференцируя, находим хь Получим общее решение заданной системы 1! с х -с г+сн ! сг При любом с, и О модуль решения Ц больше любого а при достаточно больших с Точка покоя неустойчива. Пример 2.4.
Исследовать на устойчивость точку покоя сис- Решение. Характеристическое уравнение заданной системы имеет два нулевых корня. Находим обшее решение заданной системы х, = сь хз = ст. Для любых начальных значений решение остается тождественно равным зтим начальным значениям, т.
е. устойчиво. Раскрыв определитель уравнения (2А), получим алгебраическое уравнение и-й степени а,10 ~с Ь~ ~[с~)>О,Ьз= ~ >О, аз~ азора~ ~аз лм с5 л4 сЗ а~100...0 йказ с~ 1 ... 0 а„д„~ > О ~ а„> О, аз ле аз а~ .- ОООО...а„ ,д. ~>О,ь.= Применим теорему Гурвица к алгебраическим уравнениям второй и третьей степеней. а) Характеристическое уравнение системы (2.3) при л 2 имеет вид По главной диагонали матрицы Гурвица стоят козффициенты уравнения от а, до а„. В строках стоят коэффициенты много- члена, включая коэффициент ао = 1. Все недостающие козффициенты, т. е.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
