Добрица Б.Т., Пелевина А.Ф., Янов И.О. Элементы теории устойчивости (2001) (1135783), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Следовательно, 1) 1'(хн ..., х„) > О, причем 1'= 0 лишь при х~ = ... х„= О, и имеет строгий минимум в начале координат; 2) Р;5 и - -~~'„— «(О х„..., х„) с 0 имеет строгий максимум в 5= 1 начале координат, то точка покоя х;= О„)е Х, системы (5.!) асимптотически устойчива.
Теорема 5.3. (теорема Четаева о неустойчивости). Если существует дифференцируемая функция Р(хь ... „х„), удовлетворяюгцая в окрестности точки покоя условиям: 1) Р(0,, О) = О и в сколь угодно малой окрестности начала координат существуют точки, где 1'(х„..., х„) > О; 2) )~5.п = 2, — Х)(г хь "., х„) с0 и имеет строгий минимум Ф" ,,д.; в начале координат, то точка покоя х~ и О, )в Х, системы (5.1) неустойчива. Обшего метода построения функций Ляпунова не существует, поэтому построение функции Ляпунова осушествляется путем подбора.
Отметим, что в случае теорем 5.1 и 5.2 функция Ляпунова должна иметь в начале координат строгий нулевой минимум. Зтому условию удовлетворяют, например, знакоположительные квадратичные формьь В случае теоремы 5.3 этого условия нет и функцией Ляпунова может служить, например, знаконеопределенная квадратичная форма. Второй метод Ляпунова удобно применять в критическом случае, когда исследование устойчивости по первому приближению невозможно. Пример 5Л.
Исследовать на устойчивость точку покоя системы х= — х +ху„ 3 з у= — у -х. Решение. Выберем функцию . Ляпунова К=хз+уз,(л'(х, у) а О, Р'(0,0) = О). Тогда производная функции Ляпунова "г'= 2 х х + 2 у у и, подставив вместо х и у правые части уравнений заданной системы„получим 35 х=-2Х-4», 31. У= — У +Х. 27.
Х = — ХУ, у ю хз, (у = уз - х у. Х=-Х'-Х'У', (у = — у~ + х' уз. Х=Х'+ )~', 1»=-у'+З '. Х =Х'-У', у = 2 х' + у'. зз.<".=» . ' (у = — з!и х. <х = - зп у, ' (у = а(п х. б. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ МИХАЙЛОВА Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение л-го порядка с постоянными вещественными козффициентами: з ась +а,Х +...+а„=О Левая часть (6.2) представляет собой полипом Подставим в этот полипом чисто мнимое значение Х=1ек При атом получим характеристический комплекс Дга) = и(а)+)и(в) А(а) е ~ ~~, где вещественная часть будет содержать четные степени а а ув'+ а, у~ '+ ...
+ а„у = О, (б. Ц к Его характеристическое уравнение 3 4 и (в) = а — а а + а„ „ а— а мнимая — нечетные степени в и(в)=а„,а — а в +а а— з 5 (6.6) Функции А (а) и ф (в) представляют собой модуль и аргумент (фазу) характеристического комплекса. Если все козффициенты заданы и задано опрелеленное значение частоты а, то величина у'(1а) на комплексной плоскости и О о изображается в вила точки с коорлинатами и, и или в виде вектора, соединяющего зту точку с на- 9 чалом координат. Если же значение частоты а менять непрерывно в промежутке г (О;+ ), то вектор будет изменяться по величине и на- о правлению, описывая своим Ф оь д о„ концом некоторую кривую (годограф), которая называется кривой Михайлова (рис.
6.1), Практически кривую Михайлова строят по точкам, причем задают различные значения частоты а и Рос. 6.1 по формулам (6.5) и (6.6) вычисляют и(в) н»(а). Результаты расчетов сводят в таблицу, по которой и строят затем кривую. Если многочлен ДЦ,степени и 'имеет т корней с положи- тельной вещественной частью и л — т с отрицательной, то угол 1' ф поворота вектора У(га) при изменении в от О до + равен (л — 2 и) —. Отсюда ясно„что для устойчивости решения уравнения (6.1) необходимо и достаточно, чтобы т = О.
Критерий Михайлова. Для устойчивости нулевого у = О реше- ния уравнения (6;1) необходимо и достаточно, чтобьг 33 в ~(Х) Х + Х + 4 Х + Х + 1, + 1 — 1(а — а), 4 ' 3 3 Построим кривую (рис. 6.4) ' 1 и = и(а), У '. ' аа 10; ) йш — =О. 40 з 1. Вектор У((а) при изменении а от 0 до+ совершил пово- 4 х л рот на угол ~р я — т. е. сделал — оборотов против часовой 4 стрелки.
2, Голо (1а) при изменении а от 0 до + не проходил граф т" через начало координат. Отсюда следует, что для устойчивости решения уравнения (6.1) необходимо, чтобы все корни уравнения и(а)„т(а) О, были вещественными и перемежающимися (чередующимися) друг с другом, т, е. между любыми лвумя корнями одного уравнения должен находиться корень другого уравнения. Кривая Михайлова для устойчивых динамических систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в том квадранте комплексной плоскости, номер которого равен степени и характеристического уравнения (рис. 6.2): Число квадрантов, болыпее чем и, кривая Михайлова пройти не может.
Позтоьгу неустойчивость системы всегда связана с тем, что в кривой Михайлова. нарушается последовательность прохождения квалрантов, вследствие чего угол поворота вектора Г(1а) оказываез(ся меньшим чем л — (рис. 6.3). 2 Пример 6Д. Исследовать на устойчивость нулевое у О решение уравнения и(а) =а -4а +1; р'(а)' — + а а((+ а)(1 — а). 4 З, .
З 17 3~' = /" + у' + у = О, Построим кривую рис. (6.5) 42 я я Угол поворота ралиус-вектора р = 4 — = (и — 2 т) —. Отсюда 2 2' и — 2 тл = 4, 2 гп ~ О, т.е. все корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости. Тривиальное решение асимптотически устойчиво. Ответ: тривиальное решение у = О асимптотически устойчиво, Пример 6,2. Исследовать на устойчивость нулевое решение уравнения: ~(Х) = ) + Х + Х + 1, Д(! в) =((в) +((в) +)в+1=а +1-1(а-а), и (а) = а + 1; р(в) = — в+а =в(1 — в)(1+а).
3 ! и = и(в), т ' в я 10; ), 1пп — = О. к=т(а), ™ „, и Между корнями т О нет корней и=О, следовательно . корни не перемежаются и решение неустойчиво. Исследовать на устойчивость с помощью критерия Михайлова следующие уравнения: 35.у +2у +2у+у О; 36. 2у +13у +23уп+23у +6у=О; 37.у +13у +43у +51у +40у1+12у=О; ОГЛДВЛЕЯИЕ 1. Оснавиые поилтил .....„....,...,.„......,.........,....,.....,....,....,.....,....... 3 2.
Исслсдоваиис иа устойчивость лииейимх систем...,.„...,...,... 8 3. Классификация точек покоя ......,..................,.....,.................,...18 4. Исследование иа устойчивость по первому приБлиженияз....28 5. Второй метод Лвпуиона„....,....................................,.........,..... 33 6. Критерий устойчивости Михайлова.........,...,..................,......,.38 Борис Тимофеевич Добрлцв Алла Федоровпа ГГелевз1па Игорь Олегович Ялов ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ Иза, лип, Хз 020523 ст 25,04.97. Подзпиаио в печать 19.02.01. Формат бОяв4/1б.
Бумага офсет. Печ. л. 3,0. Усл. печ. ж 2,79. Уч,-изд. л, 2,4б: Тираж 400 зкз, 14зд. ге 50. Заказ ГБР Издтгаяьсзво МГТУ пм. Н,З. Бауман», 107005, Москва, 2-а Бауманская, 5, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
