Добрица Б.Т., Пелевина А.Ф., Янов И.О. Элементы теории устойчивости (2001) (1135783), страница 2
Текст из файла (страница 2)
коэффициенты с индексами, большими л или меньшими О, заменяются нулями. Запишем условия Гурвица лля матрицы (2.6): Решать зто уравнение для больших л затруднительно„позтому приведем еще одну теорему, позволяюшую, не решая уравнения (2,5), установить, будут ли все его корни иметь отрицательную действительную часть или нет.
Теорема 2.4. (Гурвицв), Необходимым и достаточным условием отрицательности действительных частей всех корней уравнения (2.5) . является положительность всех главных диагональных миноров матрицы Гурвица: а,100...0 а а а,1 ...О 5 Ф 3 2 ~а, «1 Составим матрицу Гурвица . ' Запишем условия (2.7) для л 2 ~а, 1 а,>0, >О. Оа Отсюда получаем а, > О, а > О. Таким образом, необходимым и достаточным условием асиыптотической устойчивости точки покоя системы (2.3) при л 2 является положительность козффициентов характеристического уравнения (2.8). 6) 'Характеристическое уравнение системы '(2,3) при л = 3 имеет вид 13 ).' + а, 7,'+ а Х+ а = О. Тогда условия Гурвица (2.7) для л =, 3 имеют вид Отсюда получаем необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости точки покоя системы (2.3) для л 3: а, > О, а, а — а > О, а > О.
Из условия (2.10) следует, что аз > О, т. е. положительность всех коэффициентов уравнения (2.5) является необходимым, но не достаточным условием устойчивости, причем это справедливо для всех л > 2. Пример 2.5. Исследовать на устойчивость решения системы: х=-х+ 4а+ 50 у=8х+у+ 7~, х = —, 3х — 2с.Ф-,ба Реп~ение. Составим характеристическое уравнение однородной системы: а,10 а) а а) О Оаз <а, 11 '<а а1 а,10 аз ат а, > О, О Оа Вычисляя определитель, получим: (1 — ))(Х + 3 ) + 14) = О.
2 Так как один из корней )ч = 1 > О, то по теореме 3 точка покоя однородной системы неустойчива, поэтому по теореме 1 все решения заданной системы неустойчивы. Пример 2.6. Исследовать на устойчивость решения системы Решение. Составим характеристическое уравнение; Вычисляя определитель, получим 7.
() + 3 7. + 17) = О, Характеристическое уравнение имеет один нулевой корень и два комплексных корня с отрицательной действительной частью. Учйтываем вклад'в решение только нулевого корня н нахо' дим соответствующий собственный вектор нз системы < г.=0, — 2х '- 2у+ 4г = О, — Зх — 3у-а= О. -), -1 О а -1-Х 3 0 а — 2 — ) 3 > О, 3 (2 — 2а) — 2а > О, 2а > О. †1 в 3 2 -1-Х 0 2 с хи — у у=ах-у+Зс, г=ау-2е. Решим систему (х, у, г) (- 1, 1„0) и пределим вклад в общее — 1 решение от нулевого корня х = с, 1, Для любых начальных О значений это решение по модулю не выходит за пределы этих значений, т.е. оно устойчиво.
Асимптотической устойчивости нет. Пример 2.7. Исследовать на устойчивость решения системы Решение. Составим характеристическое уравнение Вычисляя определитель, получим уравнение вида (2.9) Х +3). +71+1=0,гдеа,~З,а =7,а =1. Запишем условия асимптотической устойчивости (2.10) а! = 3 > О, а!аз аз = 3 ' 7 1 > О, аз 1 > О Условия выполняются, поэтому точка покоя заданной системы асимптотнчески устойчива. Пример 2.8. Найти область асимптотической устойчивости точки покоя системы Решение. Составим характеристическое уравнение Вычисляя определитель, получим уравнение вида (2.9): Х +ЗХ +(2-2а)Х=2а=О,гдеа,~З,а =2 — 2а,а,=2а.
3 3 Запишем условия устойчивости (2.10) 3 Тогда О < а < — и есть искомая область асимптотической ус- 4 тойчи ности. Пример 2.9. Найти обласп асимптотической устойчивости тривиального решения дифференциального уравнения /" + 3 а )г' + 2 а Зг + 12 а у = О. Решение. Запишем характеристическое уравнение ) ' 'Хз+ЗаХз 2'азх+12аз О, Составим условия (2.10): а,=За>О,а,а -а мЗа 2а -12аз>О,а =12а >О.
Отсюда а > 2 и есть искомая область асимптотической устойчивости. Примеры для самоспипелъиого решезшя Исследовать на устойчивость точки покоя систем х=2х+7г, х=-х+у+г, 4. у=2у+бг, 5. у=х-2у, ~=Зх+4у+5г, ' х=х-2х.. < у! =Хсу! уг = Хг уг х=х — 5г, у=-у+а с 2=х — 3В х=х+4г, У =)с+ 2, с„= х — В Решение этой системы таково: г с =с ! ! г с у = с е (3.2) Отсюда у = с (у21 с, т 10, х + (2 — а) х + (3 — а) х + 2 п х = О. с х! = ас! х! + а!2 х2 х =а„х,+а х,. (3.1) Найти область асимптотической, устойчивости х = — 2 х + о г, х '= сг у + 2 ~, В. у = 3 х — у+ 9 2, 9. у= п г, 2=Х+ В е=-х+иу-в 3. КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПОКОЯ На фазовой плоскости Ох! хг исследуем расположение фазовых траекторий в окрестности точки покоя системы двух линейных олнородных уравнений с постоянными коэффициентами: Характеристическое уравнение 1 Х - -0 имеет два 1ас-Х вы ан 'агг - Х корня Х! и Хг, Рассмотрим следующие случаи. 1.
Корни Х„Х характеристического уравнения действительны и различны Х, ~Х . В этом случае матрица А= систе(ас! а! ') ~аг! а С мы (3.1) имеет два линейно независимых, собственных вектора. Составим матрицу гс из этих векторов и проведем замену пере;сенной х = Ву, тогда матрица системы (ЗЛ) примет диагональный вид, а саму систему (3.1) можно будет записать следующим с' ",савом: 1.1, Если корни Хь Хг характеристического уравнения имеют разные знаки, например Х, > О, Хг с О, то семейство кривых (3.3) Г ..
представляет собой кривые типа гипербол в системе коорлинат Оу! уг. Оси координат являются асимптотами гипербол, а также фазовыми траекториями. Заметим, что если оси 0 х, н 0хг были взаимно перпендикулярны, то оси Оу! н 0уг уже не 'ь ': ' будуг, вообще говоря, образовывать прямой угол. На рис. 3.1. представлено расположение траекторий около точки покоя. По теореме 2.3 точка покоя неустойчива и назьиается седлом. Стрелками показано движение по фазовым траекториям при возрастании г. Из решения (3.2) видно, что при , ' возрастании ! возрастает ус, а уг убывает по модулю. 1.2.
Если корни характеристического уравнения отрицательные Х, < О, Хг < О, то по теореме 2.2 точка покоя асимптотически устойчива. Пусть )Хс~ > )Хг~, тогда множество (3,3) представляет собой кривые типа парабол, изображенных на рнс. 3.2. Точка покоя называется устойчивым узлом. Из решения (3.2) видно, что при возрастании г у! и уг убывают по модулю. 1.3. Если корни характериспсческого уравнения положитель, ные Х! «О, Хг > О, то по теореме 2.3 точка покоя неустойчшса и называется иеустойчгпсым узлом (см, рис.
3,2), но стрелки направлены в противоположную сторону. 14. Один из корней нулевой Х! =О, второй, меньше нуля Хг < О, Семейство (3.3) прелсташиет собой прямые у, = с. Каждая точка прямой уг = О является точкой покоя. ))се они устойчивы, но асимптотической устойчивости нет (рнс, 3.3). 1.5. Один из корней нулевой Х~ = О, второй больше нуля Хз > О. Траектории расположены так же, как на рнс. 3.3, но стрелки направлены в противоположную сторону. Все точки покоя неустойчивы по теореме 2.3. г .зд 2.
Корни действительные,и равные Х~ = Хт. 2.1. Матрица А имеет два линейно независимых собственных вектора. В зтом случае система (3.1) примет вил (3.4) откуда х, = с х (рис. 3.4). Корни Х~ =Аз отрицательные. По теореме 22 точка покоя асимптотически устойчива и называется устойчивым узлом.
Направление движения по фазовым траекториям указано на рис. 3,4. Корни Х~ = Хз положительные. По теореме 2.3 точка покоя неустойчива и. называется неустойчивым узлом. Направление ! движения по фазовым траекториям противоположно указанному на рис. 3.4. Корни нулевые. Решение системы (3.4) х~ = сн хз = сз, т. е. каждая точка фазовой плоскости является точкой покоя.
Все они устойчивы, но асимптотической устойчивости нет, х,=е' (с,созДт+с з1пбб, (с, созбг+с з(п(10, (3.5) Рнс. З.а 3, Корни Ль Лз характеристического уравнения комплексные Лгд = а 1 11 Ъ 1) ~ О. В этом случае решение системы (3.1) имеет вна: 4. где с, и с, — некоторые линейные комбинации произвольных постоянных с, и с, 3.1. Если а = О, то функции (3.5) периодические, поэтому фазовыми траекториями являются замкнугые кривые типа эллипсов, содержащие внутри себя точку покоя (рис, 3.7), называемую центром. Ыентр всегда устойчивый в силу ограниченности тригонометрических функций, входящих в решение (3,5).
Но асимптотической устойчивости нет, так как х, и хз не стремятся к нулю при г -» 3.2. Если а с О, то точка покоя асимптотически устойчива по теореме 2.2. Наличие стремящегося к нулю, с возрастанием г множителя е" превращает замкнутые кривые (3.5) в спирали, аснмптотнчески приближающиеся к началу координат (рис. 3.3). Точка покоя называется устойчивым фокусом. 3.3. Если а > О, то точка покоя. неустойчива по теореме 2.3. Фазовые траектории не отличаются от траекторий (см. рис.
3.8), но движение по ним происходит в противоположном направлении. Точка покоя называется неустойчивым фокусом. Суммируя вышеизложенное, приходим к следующей классификации типов точек покоя системы (3.1): 1. Корни Ль Лз характеристического уравнения действительные и различные (Л~ й Лгй Л~ > О, Лз < О (Ъ~ «О, Лз > О) =» точка покоя неустойчива (седло); Л~ < О, Лз < О =» точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел); Ъ, > О, Лз > О =» точка покоя неустойчива (неустойчивый узел); Л, = О, Лз < 0 (Л~ < О, Лз = О) ~ точка покоя устойчива; Л~ = О, Лз > О (Лз = О) ~ точка покоя неустойчива.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
