Добрица Б.Т., Пелевина А.Ф., Янов И.О. Элементы теории устойчивости (2001) (1135783), страница 3
Текст из файла (страница 3)
2. Корни Лн Лз характеристического уравнения действительные и равные (Л~ = Ъз).' Л, = Лз < 0 =» точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел); Л~ = Лз > 0 =» точка покоя неустойчива (неустойчивый узел); Л~ =Лз = О и х~ =си"ха = сз =» все точки плоскости являются устойчивыми точками покоя; х+у=2с е ', -2! х — у=2с е 2 е с -2! О х=с,е +с е, -2! и у= — с е +с е . ! 2 (3,6) ! х = — х + я у, у=х-у, 4 4 и исследуем корни этого уравнения. Х! = Х2 О и х, = с, + с2 6 х2 = с; + с21=» точка покоя неустойчива. 3. Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные: Х! = а + р 1, Х2 = а — () 1, б 44 О: а = О, б ~ 0 =» точка покоя устойчива (пентр); а к О, () ~ О ~ точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус); а > О, б м 0 =» точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус). Пример ЗЛ, Построить фазовые траектории системы Реше4н4е.
Составим характеристическое уравнение 4! ! Оно имеет корни Х! = — 2 и 2 =4, Найдем соответствующие собственные векторы и запишем общее решение системы: При с, =О получаем прямолинейну2о фазовую траекторию х = у. С возрастанием 1 возрастают по модулю х и у, поэтому лки направлены от начала координат (рис,,33), При с = О получаем вторую прямолинейную фазовую траекрию у = — х, С возрастанием г убывщот по модулю х и у, поэму стрелки направлены к началу координат. Сложим и вычтем щие решен!и (3.6); стра то об 26 Из второго уравнения найдем е и гюдставим в первое уравне- 2! ние: Это семейство кривых типа гипербол, асимпготами которых яв- ляются две построенные прямые (см.
рис. 3.9). Точка покоя не- устойчива и является седлом, Пример 3.2. Определить тип точки покоя в зависимости от .параметра а для системы: Рещеипе, Характерис224ческое уравнение системы ~впишем в виде: х, =Г;(бхп ... „х), =Х (бх,,х), х„=~„'(г,хн ...,х„), 11.
х=2х+у, ' у=х- 2у. (х х-бу, '-(у= 2х+у, 12 х=х-2У у =2х у. .„~х= 2у, ' (у'=-У. х, ~~'„а х+Я,(г,хн...,х„), ~ь3 !х=Зх-у, .' (у=х-у. 13. ~х х+у, '(у=х+2У. 19, х=Зх-у, ' У=4х+у. . 14. ' У=-Зх-2у, При а > 1 корни действительные и имеют разные знаки. Точка покоя неустойчива и является седлом (рис. 3.1, 3.9). При а = 1 Х, = О, Хз = — 2, т.е. точка покоя устойчива, но не асимптотически. На рис. 3.3 показаны фазовые траектории. При 0 с а < 1 корни действительные, различные и отрицательные. Точка покоя асимптотически устойчива и является устойчивым узлом (см. рис.
3.2). При а = О Х~ = Хз = — 1. Точка покоя асимптотически устойчива и является устойчивым узлом (см. рис. 3.5). При а к 0 корни комплексные и имеют отрицательную действительную часть, позтому точка покоя асимптотически устойчива и является устойчивым фокусом (см. рис. 3.8). Примеры для самостоятельного решения Определить тип точки покоя заданных систем: 15. )х= — х+2у,,'3 ~х 2х+Зу, '(у=х-Зу. ', !у=х+4У. 4. ИССЛЕДОВАНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ Исследуем на устойчивость точку покоя х~ = 0 (! а У) системы дифференциальных уравнений где функции ~ (г, х„...
х„) (! е Х) дифференцируемы в начале координат по переменным х„..., х„. Разложим Я (Г, хн ..., х„) (!а 1) по формуле Тейлора в окрестности начала координат, ограничиваясь членами первого порядка, ~(г,хц ...,х„) =,'Е а„.х,+ й,(г,хн ...,х.), !е ) /1 Э~;(б О, ...,О) где а,:* е, а Я, — остаточные члены.
Зх Подставляя эти выражения в систему (4.1), получаем З.г, — ю 2Х+ 2у, ду д):. = — созх+ гу, Зх — = — созх= 2уа Зу д,/; — =узшх+ 2х Зх Оп — Х О2,.... О, о о — Х ,... л „ 1х=-х, Ь=-у. Запишем матрицу этой системы 0-1' ! х = х з(п у = у соз х у = х соз у = у ьдп х х = — зш х+ г х у = у", у=-усозх+ гуз+х2. называется системой дифференциальных уравнений первого приближения для системы (4.1). Если выполняются два условия: 1.
Коэффициенты аа постоянные, тогда характеристическое уравнение системы (4.2) имеет внд: где У, а — положительные постоянные, то справелливы две теоремы Ляпунова,' Теорема 4,1. Если все корни характеристического уравнения (4.3) имеют отрицательные действительные части, то точка покоя системы (4.1) асимптотическн устойчива. Теорема 42.
Если хотя бы один корень характеристического уравнения (4.3) имеет положительную действительную часть, то точка покоя системы (4:1) неустойчива. В этих случаях говорят, что возможно исследование на устойчивость по первому приближшппо, Не охвачен этими теоремами так называемый крнтичесвнй сщчай, когда характеристическое уравнение (4.3) имеет по крайней мере один корень с нулевой действительной частью, при этом остальные корни имеют отрицательнузо действительную часть, В критическом случае на устойчивость точки покоя системы (4.1) начина2от влиять нелинейные члены 4, гго может привести как к устойчивости, так и к неустойчивости, а также к асимптотической устойчивости. Пример 4.Е Исследовать на устойчивость точку покоя нелинейной системы: Решение.
Линеаризуем систему, т. е, найдем систему первого приближения. Для этого находим частные произволные: 1 Подставляя х= О, у= 0 получаем систему первого приближе- 1-1-2, О Характеристическое уравнение ~ 1 х = 0 имеет корни Х, =),2 = — 1 < 0. По теореме 4Л точка покоя заданной системы асимптотически устойчива. Пример 4.2. Исследовать на устойчивость точку покоя нелинейной системы: Решение. Найдем систему первого приближения.
Для этого определим частные производные: ( ЗУ,, 3)) — =з(пу-уз(пх, — =хсозу+сбзх, Зх Зу — = соз у+ у соз х, — = — х вшу + з(п х. ЗУ2 З,6 Зх ду Подставляя х = О, у = О, получаем систему первого приближе- ния Получим новую систему х, = — х, (х, + 1)+ в)пуп у» = 1х» + 1) у~ — у» 2 уг Запишем матрицу этой системы А=10 х = х - ха + в)п у„ у мху-УУ» 2у, ~х= агстйх+е 'т-совх, 1у = 2 яп х+ е'" - е т. 21 х- е-" е-у, у~с е ) х ~ вщ х+ х сов у + 2 у е", ' '1у = 3 х е" + 2 У сов х. 25.
х = в)п х — 5 х ет, ' у м х сов у — у е » .х+ у» у--гу, 5. ВТОРОЙ МКТОД ЛЯПУНОВА 32 Х арактеристическое уравнение ~ = О имеет корни ~-) 1~ ~1-Ц- Х~ = 1 > О, ),т = - 1. По теореме 4.2 точка покоя заданной системы неустойчива. В отличие от линейных систем нелинейная система может иметь одно свое частное решение устойчивое, а другое — исустойчивое. Пример 4.З. Дана нелинейная система Исследовать на устойчивость два решения этой системы а) х О,у= О; б) х=1,У=О.
Решение. а) Запишем систему первого приближения Ойпу у) (1 11 А = ~0 2) - матрица этой системы, Корни характеристического уравнения Х~ ° 1, Хз а -2, поэтому точка покоя х = О, у = О заданной системы неустойчива. б) Для сведения исследования устойчивости решения х 1, у = О к исследованию устойчивости точки покоя произведем замену переменной: х = х~ + 1, у уь Запишем систему первого приближения хи +ун ~У, =Уг 1 (-1 А — матрица этой системы Жорни характеристического уравнения Х~ = Хт = — 1 < О, поэ- тому решение х = 1, у = 0 заданной системы асимптотически ус тойчиво.
' Примеры для еамостоятелыюго решения Исследовать нв устойчивость точку покоя следующих систем: х = е ' - е'+ 1п 11+ у), ~х = у е" - х е", у = 1п 11+ х) — 2 е" + 2 сов у. 1у = у е " — у вш у, Пусть имеется механическая система, состояние которой определяется координатами хн ..., х„. Следовательно„существует механическая энергия Е, которая ямяется 'функцией от этих координат. Точка покоя механической системы будет устойчива, если Функция Е имеет строгий минимум в точке покоя и энер33 гия не увели швается со временем, т.
е, Е я О. Зта интуитивная идея помогает понять весьма обший метод исследования на устойчивость точки покоя системы дифференциальных уравнений х, =/;(Ох,,х, ...,х), (5.1) х =/' (О хп хц ..., х ), = ~~'., — х, дН, <5п,, дх " Заменяя х, правыми частями системы (5,1), получим ч. д1г сьй ~ д .«~(б хн -' «Щ 5 ~5 х, 5.2 ( ) Теорема 52. (теорема Ляпунова' об асимптотической устойчивости), Если сушествует дифференцируемая функция Ляпунова Г(хп ..., х„), удовлетворяющая условиям: 34 разработанный А.М.Ляпуновым в конце Х1Х века и получивший название второго метода Ляпунова. Сущность метода излагается в двух теоремах Ляпунова и теореме Четаева. Теорема 5,3. (теорема Ляпунова об устойчивости).
Если существует дифференцируемая функция 1'(хн ..., х„), называемая функцией Ляпунова, удовлетворявшая в окрестности точки покоя двум условиям: 1) )'(хь ..., х„) Д О, причем Р'= 0 только при х5 = ... = х„= О, т. е. функция р' имеет строп5й минимум в точке покоя; с- ЭР' 2) 1(5л5 = Л~ Х (г~ Хп ~ хл) в 0 при г1 ГО, ~.~ дх; ' то точка покоя х,= 0,1в Х, системы (5.1) устойчива. Производная Р' в .условии 2) вычислена в предположении, что аргументы хн ..., х„заменены решением системы (5.1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
