Богомолов В.Г., Кандаурова И.Е., Шишкина С.И. Дифференциальные уравнения первого порядка (2001) (1135779)
Текст из файла
московский госулАгстввккый твхничвский университет ннннн И.Э. ВАумвНА В.Г. БОГОМОЛОВ, И.Е, КАНДАУРОВА, С.И, ШИШКИНА ЛимжРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Рекомендовано редсоветом МГТУ ам. И.Э. Баумана в качестве учебного пособию ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ НЕ ПОЗЖЕ обозначенного здесь срока 1«н О 0 аз~ Москва Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 2001 Твп, МВТУ, 1969 г, Звк, 23, Тир, 70 000. н,««г О г~ сов1ИЯТЫ О ~ Рецензенты: Е,Г. Еесееа, В.ХО, Чуеь Б'И Богомолов В.Г., Кандаурова И.Ж„Шишкина СД3.
Ннфференннальные ураннення: перного порядка: Учебное пособие. — Мл Нзд-ко МГТУ нм. Н.Э. Баумана, 2001. — 20 с ОГДАВ31БНИВ 1, Осяоанме понятна 18БН $-7036-1950-4 Прмаанзмм кратмме теореткчесмме сзеденкя. Рассмотренъз решеккя днфференцнаяъных уракненкй перяого порядка,' тмпоамх задач.
Даны задачи для самоссоятелъпой подготашм к контрольной работе, Лля сгудентон 1-го курса всех факультетов МГТУ нм. Н,Э. Баумана. Табл. 3, Ил. 4. Бкблкогр. 6 каза, 3, Однородкм» уразкепкя 1 6, Ураапенке Бернуялх 14 УЛК 637.9(ОУ6.6) ВБК $3.33 3. Метод кзохлкк 9. Пркмерм решепкя ткпозмх задач 30 Спксок рекомендуемой лнтературм 1БВН 0.7020-1000-4 Удк 017,07070.6) ББК 22.11 Б74 Ос МГТУ нм.Н.Э. Баумана, 2001 3. Уразнення с раздглясопскмкся переменкммя 4, Лнкейпые дкфференпнальнме уракнення перкого порадка 6 Ураакекяе а полных дкффереяцкааах 7, Уракяенкя Лагранжа к Клеро ...., Залачк для самостоятельного решеккя Частным решением уравнения,1 1) обычно называют рещение этого уравнения прн конкретном значении параметра С.
Если общее решение уравнения (1.2) задано в неявном виде Ф(х,у,С) = Оклик(х,у) = С, 1. ОСНОВНЬП~ПОНЯТИЯ Обыкновенным дифференциальным уравненкем первого порядка называется уравнение вида Р(х, у, у') = О, которое связывает аргумент х, функцию у и ее производную Ф у = —. Предполагается, что à — непрерывная вешественнал Ых , ф1 нкция вещественных аргументов. Уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, имеет вид (1,2) Решением уравнения (1.1) называется днфференцируемая функция у = фх), обращающая зто уравнение в тождество. В геометрическом виде решение уравнения представляет собой кривую на плоскост'и.
Графкх функции у = у(х) на плоскостк (х,у) называется интегральной кривой. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения. Задача интегрирования диФФеренциального уравнения состоит в нахождении всех решений этого уравнения и изучении их свойств. Обпшм решением уравнения (1.1) называется Функция у = = у(х, С), зависящая от аргумента и одной произвольной кокстанты С б Я и обращающая данное уравнение в тождество, причем различным значениям С соответствуют различные частные решения. В геометрическом виде общее решение является множеством хривых на плоскости, то оно называется общим интегралом этого уравнения.
Функция у(х,у) прн конкретном значении С называется частным интегралом уравнения, Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка: найти решение у = ~р(х) дифференциального уравнения у' = Дх, у), удовлетворяющее начальному условию у(хе) = = уе, где хо, уо — некоторые заданные числа. Геометрическая интерпретация задачи Коши; найти интегральную кривую дифференциального уравнения у' = Дх,у), проходящую через точку (хе„уе). Теорема супзествования и единственности решения задачи Коши: Если функция у'(х, у) непрерывна в некоторой области В плоскости х, у н имеет в этой области непрерывную частную ду производную —, го через каждую точку (хе,уо) области Ю ду' проходит и притом только одна интегральная кривая дифференциального уравнения у' = у(х, у). Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка.
Пнфференциальное уравнение вида (1,2) связывает производную с координатами точки (х, у) на плоскости. Геометрически производная задает тангенс угла наклона а касательной к интегральной кривой у = у(х) в точке (х, у) с положительным направлением осн Ох, Поэтому для каждок точки (х, у) уравнение 'задает направление касательной к интегральной кривой в этой точке, Проведя в каждой точке (х, у) нз области задания функции у(х,у) отрезок касательюй с центром в этой точке, получим так называемое поле нзлравлений.
Таким образом, геометрически дифференциальное уравнение задает поле направлений. Общим внд уравнения с разделяющимися переменными", у' = У(х)у(у), или другая форма записи; М(х)й«(у)«1х + М«(х)Ф1(у)«1у = О, где М(х), й«(у), М1(х), «ч1(у) - непрерывные функции', Предполагая, что М1(х) Ф1(у) ~ О, разделим обе части уравнения иа ЛХг(х), Ф(у) и получим уравнение с разделеннымн переменными — Нх+ — Ыу= О, (Мз(х) ~ О, Л(у) ф О). (2.3) М~(х) УД~) Общим интегралом уравнения (2.3), а следовательно', и (2.2) будет — ( )-ах+ — Ыу = С. М х М1(х) ~ Ф(у~ Рассмотрим уравнения Мг(х) = О, Ф(у) = О.
Ксли они имеют вещественные решения вида х = а, у = Ь, то х = а (у ф Ь), у = Ь(х ~ а) будут решениями уравнения (2.2). ау Пример 2.1., Проинтегрировать уравнение х Ф. +у' у(1+ хз) Решение, Разделяя переменные, получим — «зу = у 4Г+ у~ х уеду ' ~ Ых' — — — «1х, Откуда | — Вычи. 1+ хз /1,+ уз 1+я сляя интегралы, находим Д+ у~ = -~~1п(1 + х") + с нлн Ответ: у = й с — -1п(1+ х )~ + 1. 1 з ~ Пример 2,2, Решить уравнение (ху — х)««х + (ху+ х — у— -1)~у = О.
Решение. Преобразовав исходное уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменнымн х(у — 1)«1х + +(х — 1)(у + 1)«1у = О. Разделяем переменные н находим у+ 1 -х«Ь — «1у = —, а затем общий интеграл уравнения у — 1 х-1 х + 1п )х — Ц + у + 2 1п ~у — Ц = С, Прн разделении переменных предполагали, что х — 1 ф О, у,— 1 ф О. Проверим, не произошла лн потеря решений, Подстановка х = 1 н у = 1 в исходное уравнение показывает, что х = 1 и у = 1 являются решеннямн. Пример 2.3. Проинтегрировать уравнение (хуз+ уз) «1х+ ~( 2 зу)йу О Решение, Преобразуем левую часть уравнениях ув(х+ +1)Нх + хз(1 — у) «1у = О. Разделим переменные, поделив на хзув ф 0: 1 — у х+1 ««у ж — — «1х уз хз Интегрируя зто уравнение, получим общий интеграл | 1-у «х+1 1 1 — Ыу = — ~ — «1х + С, 1в 1х1 — — — — — 1п ~у = С; уз хя х у 1п — — — = С. Непосредственнои проверкой можно убедиться, что х = 0 и у = 0 являются решениями данного днфференцивльного уравнения, однако онн ие получаются из общег~ интеграла.
ни прн каком значении С. Они били потеряны при разделении переменных на в~у~ ф О и должны быть включены в решение, З, ОЛНО1зоДНЫЕ УРАВНЕНИЯ Определение, Функция М(х,у) называется однородной Й-го намерения, если М(1х,1у) = $" М(х, у), где г — некоторый параметр. О пределение, Уравнение вида М(х, у)Их + 1у(х, у)Ыу = О незывается однородным, если М(х,у) н 1У(х,у) — одкородные функции одинакового измерения. Уравнение вида у' = Дх,у) является однородным, если Дх,у) — однородкая функция нулевого измерения.
Это уравнение всегда может быть приведено к виду (з.ц Однородное уравнение приводится к уравнению с ра.зделяюшнмнся переменнымн прн помошн замены искомой функции у по формуле и(х) = —, у х' где и(х) — новая искомая функция. Иногда целесообразно вместо подстановки у = хи(х) использовать подстановку х = уи(у), 1у у (у1~ Пример 3.1. Решить уравнение — = -+~-~ .
1х=х (Ц ' Решение. Это уравнение однородно, так как ~(х, у) = = -+ ~-) - однородная функция нулевого измерения. Введем у ковую переменную У = —. Тогда у = Ух; — м У + х —. х Их 4Ь еу ИУ' Подставляя у и — в исходное уравнение, получаем: У+ х — = ~Ь сгх г = У+ Уг нли — = — — уравнение с разделяюшкмися переменах х ными. ФункпияУ(х) зи О является решением этого уравнения. ИУ Их Если У(х) ф О, то, разделяя переменные, находим — = —. ИУ Г,Ь' Интегрируя данное уравнение, получаем ) — = ~ — + С нлн уг ./ 1 у х — — = 1п ~х~ + с.
Заменим У на, —, тогда -- = 1п ~х) + с, откуда У х' находим обшее решение у = —, Кроме того, решением 1пф+ с является функция у(х) аз О. Пример 3.2. Проинтегрировать уравнение (х + 2ху— -уг)Их+ (уг + 2ху — хг)Иу = 0 и найти интегральную кривую, проходящую через точку (0,1). решение. Это уравнение. однородное, так как функции М(х, у) и 1У(х, у) — однородные 2-го измерения, Палим заданное 2у уг ~уг 2у 1 Ыу уравнение на хзох: 1+ — — — + ~ — + — -1~ — =. О. Вводим х хг хг * Ых новую переменную и = †. Тогда у = их; а у = и х + и, так у что 1+ 2и — иг + (иг + 2и — 1)(и'х + и) = О. Преобразуем это уравнение н разделим переменнысс (й + и + и + 1)~1х+ (и + 2и — 1)хИи = 0; из+ 2и — 1 ~Ь (ив+1)(и+1) " х ' Отсюда 1п ~х~ — 1п(и + 1~ + 1в(иг + 1) = 1п + ~Сг~, тогда х(иг + 1) у — = С (С = ~Сг).
Учитывая, что и = —, получаем и+1 х' хг+ уг обшнй интеграл уравнения = С, Проверим, не потеряно х+ у лк решение и + 1 = О, или и = -1, т.е. у = -х при разделении переменных. Подстановка у = -х в уравнение показывает, что у = -х является решением уравнении.
Подставив начальные условия, найдем частный интеграл *"Р =1. х+у Пример 3,3, Найти частное решение уравнения 2хгНу =- = (хг + уг) Нх, удовлетворяющее условию у(1) = О. '-2 й — ж1пф+С; — — 1' ' 2х х у' 1п~х~+ С -2х — = 1п ~в~+ С; у — х 2х — = 1пф+ С; х — у 2х . у =х 1п1х~+ С' у'+ 2ху = 2хс ~ . 2 0=1 — — -+С=2; 1п1+ С (4.3) у = С(х)с ", (4.4) у'+ р(х)у = у(х), У У= х хз Решение.
Уравнение однородное, так как обе фуккцни М(х,у), 1У(х,у) — однородные 2-го измерения. Разделив обе части равенства, на хзс(х, получим уравнение 2 — = 1+~'-) . 1у У у~' Ь) Положим —; тогда у = ех, у' = ха' + е,и запишем уравне- У. х' нне с разделяющимися деременнымн в виде 2ха'+ 2к = 1+ ез; лы з 2дп пх 2х — = е -2а+1; 4х ' (н — 1)З х = —.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
